张瑞功解析几何学的产生

姓名:张瑞功学号：281010607班级：08数应六班解析几何的发展史十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。

解析几何的基本思想笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。解析几何的基本内容坐标系解析法变量数学的时期学习用品中的圆锥曲线解析几何的先驱费马是法国数学家，1601年8月出生于生活在富裕舒适的环境中．费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响．《数学论集》是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的．我们现在早就认识到时间性对于科学的重要，即使在17世纪，这个问题也是突出的．费马的数学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好．然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人．此外，费马对物理学也有重要贡献．一代数学大才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．

费马在研究阿波罗尼奥斯著作时发现，如果通过坐标系把代数用于几何，轨迹的研究就易于进行，他定义了以下曲线：直线方程为：b=d=(a¡x)=y；椭圆方程为：a2¡x2=ky2；双曲线方程为：xy=k2;a2+x2=ky2；抛物线方程为：x2=ay;y2=ax．后来又写了一篇短文《平面与立体轨迹引论》(1679年表)，提出了一个很重要的命题：两个未知量决定一个方程式，对应着一条轨迹可以描绘一条直线或曲线．1643年他又在一封信中描述了三维解析几何的思想．1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。

解析几何的发展

对解析几何发展做突出贡献的几个伟人

牛顿在1704年，对于二次和三次曲线理论进行了比较系统的研究．特别是，得到了“直径”的一般理论．例如，二次曲线的平行弦中点的轨迹是直线，这个结论，对于椭圆、双曲线、抛物线都是正确的．对于这个早已熟知的命题，要用综合几何的方法来论证是非常困难的，但用解析几何的方法很容易就证明了．这也显示了解析几何的作用．

1748年，著名数学家欧拉（1707–1783）在他的《分析引论》著作中论述并发展了解析几何，他不仅对二次曲线进行了详细讨论，而且还研究了高阶曲线．他讨论了坐标的平移和旋转，并且得出在坐标变换下，方程的次数不会改变．同时，欧拉还在他的书中详细讨论了带两个变量的二次方程总可以化成9种标准形式中的一种．也就是对平面曲线作了分类

拉格朗日在1788年表的著作《解析力学》中把力、速度、加速度“算术化”了．他把力、速度、加速度表示为有向线段．有向线段沿坐标的分解系数或有向线段在轴上的射影是一组数．这样有向线段就可以和数组对应起来，也就是所谓的“算术化”由于数学和物理在电学的影响下，广泛地讨论和使用有向线段的理论，因此后来就被称为向量．向量理论现己成为解析几何的主要组成部分．

在18世纪前半期，法国的克莱洛（1713–1765）和拉盖尔（1834–1886）把解析几何在空间展开．他们把空间的点与三数组对应起来．含三个变量的方程表示曲面；每个含三个变量的一次方程表示一个平面；直线可作为两个平面的交线，含有三个变量的一般二次方程可经过坐标轴的平移和旋转化简成17种标准方程，它们表示根本不同的17种类型的曲面：有两种椭圆面（实的和虚的），两种双曲面（单叶的和双叶的），两种抛物面（椭圆的和双曲的），两种二阶锥面（实的和虚的）以及9种柱面．所有这些曲面，在力学、物理学和科学技术中都有它们的用场．解析几何的发展欧几里得几何非欧几何坐标几何群的概念几何局部化几何整体化解析几何的应用解析几何的产生对数学发展的影响欧几里得几何

欧几里得在公元前300年左右写了《几何原本》。它的主要结论有两个:(1)毕达哥拉斯定理这条定理就是我们常说的勾股定理:设有一直角三角形，则长边的平方等于其它两边的平方和。(2)三角形三内角之和等于180°如果以弧度为单位，也可以说三角形三内角之和等于π。非欧几何从三角形三内角之和等于180°这个结论，而有接下来的重要发展:(1)球面几何我们所讨论的三角形，并不一定都要在平面上，也可以是一个球面三角形，在这种情形下，三角形三内角之和必然大于180°，并且有一个非常重要的公式:A+B+C-π=S/R2(2)双曲型的非欧几何在这种情形下，三角形三内角之和是小于180°的，即有如下的重要公式:A+B+C-π=-S/R2在空间或者“平面”的曲率，可以是正的，像球面几何；也可以是负的，像双曲几何。而其相对应的三角形三内角和，也分别有大于或小于180°的情形，不再满足欧几里得的平行公理，因此它们也被称作“非欧几何”。坐标几何欧几里得几何之后，第二个重要的发展是坐标几何。有了解析几何，即可用解析的方法进行几何学的讨论。这样的发展不但使几何问题的处理容易些，而且更有其重大的意义:(1)解析化之后，可扩大所研究的图形的范围。(2)研究的图形不再局限在二维的平面上，而可推广至高维空间。群的概念第三个发展是群的概念，这是数学上一个基本的结构。数学总是要运算，加、减、乘、除。要把一个物体从甲地移到乙地，再移到丙地，亦可直接把物体从甲地移到丙地，即两个运动的结果，可经由一次运动来达成；具有这个特殊性质的，便称为一个群，几何学研究的对象，应是经运动群变换后不变的几何性质。研究几何性质在投影群变换之下不变的是投影几何。在几何学的发展之中，有许许多多不同的几何学，像欧几里得几何学、投影几何学……及其他种种几何学，自然就要有一个人把它综合集结起来，他就是德国的数学家克莱因。克莱因把几何学建立在群的观念上:一个空间有一个变换群，允许把空间的图形从这个位置移到另一个位置；因此有了一个群之后，便有一种几何，研究经过这个变换群变换之后保持不变的所有图形的几何性质。几何局部化黎曼所创立的几何把几何局部化，可以说是几何学的第四个发展，这是笛卡尔坐标几何的自然推广。1854年，黎曼在为取得大学教授资格的公开演讲上，发表了关于黎曼几何的第一篇论文。真正使黎曼几何受到重视的是爱因斯坦的广义相对论。几何整体化黎曼几何把几何局部化，但我们不能永远只在一个小区域里面，所以局部化之后又要整体化，又要把它扩充到全空间。几何整体化可说是几何学的第五个发展。而在这个整体化的扩充中，最要紧的就是拓扑学，即俞大维先生说的“橡皮几何学”。大家觉得微分几何应该是很有用的，因为在物理学发展之中，电磁学对人类日常生活是最有影响的；而在遗传工程及其他方面，D