直线与圆的位置关系 省赛获奖

242直线和圆的位置关系第3课时切线长定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1掌握切线长的定义及切线长定理（重点）2初步学会运用切线长定理进行计算与证明（难点）导入新课情境引入同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？讲授新课切线长定理及应用一互动探究问题1上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线如左图所示，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？POBAO.PABP1切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．AO①切线是直线，不能度量②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．2切线长与切线的区别在哪里？知识要点若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。APO。BPA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOPHL∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。切线长定理APO。B几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法BPOA切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角PA、PB分别切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB几何语言:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法注意知识要点O.P已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点求证：PA=PB，∠APO=∠BPO证明：∵PA切☉O于点A，∴OA⊥PA同理可得OB⊥PB∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO推理验证AB想一想：若连结两切点A、B，AB交O你又能得出什么新的结论并给出证明OP垂直平分AB证明：∵为顶角的平分线∴OP垂直平分ABO.PABM想一想：若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论并给出证明证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB∴PC=PC∴△PCA≌△PCB，∴AC=BCCA=CBO.PABCBPOAPA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3（1）若AP=4,则OP=;（2）若∠BPA=60°,则OP=56练一练、，1求△PCD的周长．2如果∠P=46°,求∠COD的度数C

·OPBDAE典例精析例2已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H求证：ABCD=ADBC·ABCDO证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H，EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH∴AEBECGDG=AHBFCFDH∴ABCD=ADBC圆的外切四边形的两组对边的和相等AB＋CD＝AD＋BC例3为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得，求铁环的半径．解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．O在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°即铁环的半径为小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？三角形的内切圆及作法二互动探究问题1如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？OOOO最大的圆与三角形三边都相切三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？问题2如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？1如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？2在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？已知：△ABC求作：和△ABC的各边都相切的圆MND作法：1作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O⊥为圆心，OD为半径作圆O☉O就是所求的圆做一做1与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆2三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心3这个三角形叫做这个圆的外切三角形BACI☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形知识要点三角形的内心的性质三BACI问题1如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB,OC有什么特点？互动探究线段OA，OB,OC分别是∠A，∠B，∠C的平分线.BACI问题2如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？EFGIE=IF=IG知识要点三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上三角形的内心到三角形的三边距离相等BACIEFGIA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG例5△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？BACEDFO解:设AF=cm，则AE=cm∴CE=CD=AC-AE=9-cm，BF=BD=AB-AF=13-cm由BDCD=BC，可得13-9-=14，∴AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程解得=4ACEDFOABCOcDEr3如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，FF则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AFBF=c,所以a-rb-r=c,所以例3如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数解：连接IB，ICABCI∵点I是△ABC的内心，∴IB，IC分别是∠B，∠C的平分线，在△IBC中，（3）若∠BIC=100°，则∠A=度（2）若∠A=80°，则∠BIC=度130203如图，在△ABC中，点I是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____ABCI（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？120°例4如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径该木模可以抽象为几何如下几何图形CABrOD解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD∵圆O是△ABC的内切圆,∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线∵△ABC是等边三角形,∴∠OAB=∠OBA=30o∵OD⊥AB，AB=3cm，∴AD=BD=AB=15cm∴OD=AD·tan30o=cm答:圆柱底面圆的半径为cm比一比三角形三边中垂线的交点=OB=OC2外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1到三边的距离相等；、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3内心在三角形内部．ABOABCOCABOD1求边长为6cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形内切圆半径外接圆半径练一练变式：求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比sin∠OBD=sin30°=CABRrODABCODEFABCDEFO2设△ABC的面积为S，周长为L，△ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？A2.如图，已知点O是△ABC

的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=

.1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO=

,PB=

.BPOA第1题BCO第2题当堂练习20°4110°4如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D求证：DE∥OC证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB，OC＝OC∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．方法二：证