物理学类课件刚体力学

第七章刚体力学基础FoundationofRigidBodyMechanics§1刚体的运动§2定轴转动定律§3定轴转动的功和能§5平面平行运动§4定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律§1刚体的运动MotionofaRigidBody1.刚体

内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生大小及形状改变的物体。

刚体是实际物体的一种理想的模型(

物理抽象）

刚体可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质元组成的质点系。2.刚体的运动

刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动2.1平动：运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。特点：刚体内所有质元具有相同的位移、速度和加速度。（why?)2.2转动：刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。若转轴固定不变，则称为定轴转动。特点：刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和角加速度。O3.刚体定轴转动的描述角位置：

3.1定轴转动的角量描述角位移：

角速度：角加速度：

xOP

rv

角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。3.2角量和线量的关系矢量表示：

xOP

rv§2定轴转动定律LawofFixed-AxisRotation1.力对转轴的力矩

力对转轴上任一参考点的力矩矢量沿转轴方向的分量为力对转轴的力矩:zFrOP

dFzF

结论：z

dPOrFFzF

2．刚体对转轴的角动量2.1质点对转轴的角动量：

质点对转轴上任一参考点的角动量矢量沿转轴方向的分量为质点对转轴的角动量:z

dmOrppzp

结论：z

dmOrppzp

2.2刚体对转轴的角动量zOri

组成刚体的所有质元对转轴的角动量的和:刚体对转轴的转动惯量：刚体对转轴的角动量：3．刚体定轴转动定律若，则简写为：——刚体定轴转动的转动定律连续体：4.2转动惯量的计算

转动惯量与刚体的质量、形状及转动轴有关。4．转动惯量4.1转动惯量的物理意义：刚体定轴转动惯性大小的量度。

例1

计算下列刚体对给定转轴的转动惯量：（1）均匀细棒对与过细棒端点且细棒垂直的转轴；（2）均匀圆盘对垂直于圆平面并过圆心的轴；（3）均匀球体对通过球心的轴。

ROzORzOzl（1）（2）（3）Ozdxdmx解：（1）（2）rROzdr（3），，ROryz4.3平行轴定理与垂直轴定理平行轴定理：COz'zd垂直轴定理:OzxyxiyirimROxy例：（1）（2）5.转动定律的应用解题要点:m2m1RR

m1gFm2gT1MgT2a质量m=16kg、半径为R=0.15m的实心滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为m的物体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。解：mMmmgT课堂练习mMmmgTO

CO

mg(1)（2）(2)§3定轴转动的功和能WorkandEnergyofFixedAxisRotation1.力矩的功和功率1.1力矩的功

id

O

izP0PFiridli2.2力矩的功率2．刚体的转动动能与重力势能2.1刚体的转动动能O

z

ri

mivi2.2刚体的重力势能hi

mi3.刚体定轴转动的动能定理四、刚体定轴转动的功能原理及机械能守恒若

对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即含刚体系统的机械能守恒定律O

解：Mmk

R

练习一质量为M、半径R

的实心滑轮,，一根细绳绕在其上，绳端挂有质量为m

的物体。问物体由静止下落高度

h

时，其速度为多大？mgTmMm解：mgTmMm解得：亦可：练习一质量为m

、长为l的均质细杆，转轴在O点，距A端l/3。杆从静止开始由水平位置绕O点转动。求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置时的角速度和角加速度。解：coBA（1）水平（2）垂直机械能守恒coBA势能零点OcoBA

（3）任意位置势能零点O§4定轴转动的角动量定理与角动量守恒定律TheoremofAngularMomentumandLawofConservationofAngularMomentumforFixedAxisRotation1.刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律简写为——刚体定轴转动的角动量定理——刚体定轴转动的角动量守恒定律2．含质点和刚体的系统的角动量定理和角动量守恒定律

角动量守恒现象举例m2m1RmF例7

如图，长为l，质量为M的均匀细棒可饶过O点的转轴在竖直面内自由转动。一质量为m的质点以初速v0沿水平方向运动，与静止在竖直位置的细棒的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞后两者一起上摆。求（1）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度

；（2）两者一起上摆的最大角度

。Olm

v0练习一长为l，质量为M

的杆可绕支点O自由转动。一质量为m

，速度为

v

的子弹射入距支点为a的棒内,若棒偏转角为30°,问子弹的初速度为多少?解：角动量守恒（过程1）机械能守恒（过程2）oalv30°练习质量为M

，半径为R

的转台，可绕中心轴转动。设质量为m

的人站在台的边缘上，初始时人、台都静止。如果人相对于台沿边缘奔跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转过了多少角度？解：角动量守恒：练习质量为m1和

m2的两物体，分别挂在两条绳上，绳绕在鼓轮上（如图所示）。已知鼓轮的转动惯量为J，求两物体的加速度。R2R1m1m2解：系统角动量为：m1gm2gQR2R1m1m2T1T2m1gm2gQ练习一半径为R、质量为m

的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为

o，绕中心O旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为

）oRdrr解：oR用角动量定理§5平面平行运动PlaneParallelMotion1．平面平行运动的描述OCPrCryxr

1.1平面平行运动：刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行。

1.2平面平行运动的描述平面平行运动=质心的运动+绕过质心的转轴的转动2．平面平行运动的基本动力学方程2.1质心运动2.2刚体绕质心的转动

惯性力的合力矩为零：

OCrCriyxri

mi－miaC3．刚体平面运动的动能CrCriyxviri

miOCrCriyxviri

miO4．刚体的平面纯滚动CrCABCFABCFFrRFfrRRr

OCABRr

OCABmgNfRr

OCABmgNf例匀质细杆直立在光滑地面上，因不稳定而倾倒。在细杆全部着地前，它的下端是否会跳离地面？杆在倾倒过程中无水平外力杆的质心竖直向下运动杆跳离地面的临界条件质心速度与角速度的关系机械能定理将角速度代入，两边对时间求导支持力杆的下端不会跳离地面

l/2Cyl/2N（1）

（2）

复习题2：

水平面内有一静止的长为l，质量为m的细棒，可绕通过棒一端O点的铅直轴旋转。今有一质量为m/2、速率为v0的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射击棒的中点，子弹穿出时速率减为v0/2。当棒转动后，设棒上各点单位长度受到的阻力正比于该点的速率（比例系数为k）。试求：（1）子弹穿击瞬时，棒的角速度

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