数学研究性学习报告(二次函数)

班级：高二（6）班课题组长：余杭银课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋指导老师：王少波研究性学习课题开题报告2014年5月30日班级高二（6）班研究课程数学课题名称二次函数图象特点的应用小组成员王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋组长余杭银指导教师王少波选择本课题的主要原因随着新课程标准如火如荼的实施，其核心理念“为了我们每一个学生的发展”越来越受到人们的关注与重视。课程改革已成为转变学习方式的一场革命，学习已成为人的主体性、能动性、独立性、创造性不断生成、张扬、发展和提升的过程。在这一背景下，我们成立了“二次函数图像的特点和应用”的课题研究小组。开展本课题研究的目的与意义(1)顺应当前教育发展的需要。在如今交流工具网络化和全球经济一体化的推动下，知识更新的速度越来越快，教育面临着前所未有的挑战。按照素质教育要求，教师的职责不仅仅是传道授业解惑了，单单让我们学生从书本上获取知识是很难面向未来的。人要在一生中不断学习，才能适应社会的快速发展，所以学校教育不但要教给我们学生各方面的知识，更重要的是，激发我们学生自主探究的积极性，培养我们学习的能力，为今后持续不断的发展打下坚定的基础。我们学生一旦学会了学习的方法与能力，知识的获取将是无限的。(2）促进我们学生发展的需要。教育的核心应着眼于我们学生的全面发展，应立足于我们学生本位教育。教学改革的真实意义：“即是使每个人发展自己的才能和创造潜力。”因此，坚持以我们学生为本的改革方向，坚持教育培养的应该是有主体性的人，只有这样的人才能主动、积极地参与社会活动，并为社会进步作出贡献。教育过程中通过启发、引导受教育者内存的教育需求，创设和谐、宽松、民主的教育环境，有目的、有计划地组织、规范各种教育活动，从而把我们培养成为自主地、能动地、创造性地进行认识和实践活动的社会主体。这就必须让我们从小在“探究”的教育活动中锻炼自己，养成良好的学习品质，获得终身发展的知识和能力。(3)具体到专题上，二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习，而且在生活二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上也相当重要，如速度等，组织我们学生个人研究，小组讨论，探讨，进而形成结论有利于我们学生形成正确的知识体系，体会研究的快乐，激发我们学生的的兴趣。称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

抛物线与x轴交点个数

Δ=

b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=

b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=

b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=

-b±√b^2－4ac

的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

当a>0时，函数在x=

-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

定义域：R

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

奇偶性：偶函数

周期性：无

二次函数图像的应用

二次函数可谓应用广泛。在具有代表性的信息时代技术领域，计算机鼠标的每一举动，都会变为一系列的二次函数命令，于是荧幕上的箭头，才得摆动。信息的传递，传递和存储也少不了二次函数。在日常生活中。许多常见事物中都有二次函数的身影。如桥梁建设，篮球出手时的抛物线等。

典型题目如：（一）、图像与性质问题：已知函数f（x）=x2-6x+8并且函数的最小值是f（a），则实数a的取值范围是？解得a的取值范围是（1,3].

利用图象可以直观的解决和图象有关的问题。

（二）、最值问题：已知函数分f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的表达式。

解的函数的表达式为h（t）=t2+5t-1……

运用函数与方程的思想方法。

（三）、实根问题：设二次函数f（x）=x2+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x1和x2，满足0＜x1＜x2＜1，求a的取值范围。解得0＜a＜3-2√（2）.

用数型结合的思想来做的。

（四）、综合应用问题：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c=o（a，b，c∈R且a≠0），求线段AB在x轴上的影射A1B1之长的取值范围。解得A1B1的取值范围是（√3,2√3）.

二次函数和一次函数的共同问题。

生活实际运用如：（一）、某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。现在准备多种一些橙子树以提高质量，但若多种树，那么树之间的距离和每一棵树所受的阳光就会减少。据经验分析，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x棵橙子树，果园橙子总产量为y个。

（1）请写出y与x之间的关系式；

（2）增种多少棵橙子树，可使果园的橘子总产量最高？最大值为多少？

解：（1）由题意得：y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+6000。

（2）由y=-5x2+100x+6000得

当x=-b/2a=10时，

Ymax=（4ac-b2）/2a=60500

所以增种10棵橙子树时，橙子的总产量最高，为50600个。

（二）、利用二次函数解决图形面积极值的问题。

已知矩形的周长为6，设矩形的一边长为x，它的面积为y，写出它们的关系式，并求出当x为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值。

解：关系式为y=-x2+3x（0＜x＜3）

Y=-（x-3/2）2+9/4，又因为0＜x＜3

所以当x=3/2时，矩形的面积最大，为9/4。

（三、拱桥问题。

有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD宽为10米,

求抛物线的的关系式；现有一辆卡车需通过，汽车以每小时40千米的速度从距此桥280千米的地方开来，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度上涨，卡车按原来的速度行驶，是否能安全通过此桥，请说明理由；如不能，卡车的速度应达到多少？

解：由题意可知，抛物线的关系式为y=-（1/25）x2

；

计算可知卡车不能安全通过，若要安全通过i，速度应超过60

千米/时。

……

二次函数在生活上具有非常广泛的应用，地位很高，所以我们要认真学习该部分知识。3.

二次函数图象在古代建筑中的应用

赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。赵州桥是入选世界纪录协会世界最早的敞肩石拱桥，创造了世界之最。河北民间将赵州桥与沧州铁狮子、定州开元寺塔、正定隆兴寺菩萨像并称为“华北四宝”。桥长50.82米，跨径37.02米，券高7.23米，两端宽9.6米,桥的设计完全合乎科学原理，施工技术更是巧妙绝伦。唐朝的张嘉贞说它“制造奇特，人不知其所以为”。根据相关数据，计算得出，赵州桥满足了y=（-28/1369）x2+（28/37）x，这就是二次函数图像的实际应用。研究性学习课题结题报告（成果报告）课题名称二次函数图象特点的应用完成时间2014年5月30日课题评价小组自评通过以上的研究和探讨，我们解决了有关二次函数的性质和应用问题，我们发现二次函数的图象在解决各