信号与系统分析（第3版） 课件【ch04】傅里叶变换及系统的频域分析

第四章傅里叶变换及系统的频域分析新工科建设·电子信息类系列教材信号与系统分析（第3版）01引言引言前面分别讨论了连续时间系统和离散时间系统的时域分析。本章及后面几章将转入系统的变换域分析，包括连续时间信号和离散时间信号的频谱分析，连续时间系统的频域分析和复频域分析，离散时间系统的z域分析和频域分析等。1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier)提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。02信号的正交分解信号的正交分解平面上的矢量A在直角坐标中可以分解为x方向的分量和y方向的分量，如图4-1所示。同样对于一个单位空间矢量，可以在空间坐标中将其分解为x方向的分量、y方向的分量和z方向的分量，如图4-2所示。信号的分解1信号的正交分解图4-3画出了它的前6个波形。正交函数与正交函数集2信号的正交分解系数Ci可以简便地表示为信号分解为正交函数303周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示由4.2节可知，三角函数集{1，cosΩt，cos2Ωt，…，cosmΩt，…，sinΩt，sin2Ωt，…，sinnΩt，…}在区间(t0，t0+T)内是完备的正交函数集。因此，任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，就可以展开为三角形式的傅里叶级数。傅里叶级数的三角形式1周期信号的傅里叶级数表示设周期信号f(t)的周期为T，角频率为Ω=2π/T，则f(t)可分解为式(4-13)表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号ejnΩt之和，其各分量的复数幅度为Fn。傅里叶级数的指数形式2周期信号的傅里叶级数表示前面已经证明，如果函数f(t)可以用傅里叶级数表示，则其系数可以按式(4-6)计算。但并不是所有的函数都可以表示为傅里叶级数形式，因为在数学上存在傅里叶级数的收敛条件，只有满足收敛条件的周期信号才可以表示为傅里叶级数。傅里叶级数的收敛性与吉布斯现象3周期信号的傅里叶级数表示0102周期信号的波形与其谐波特性是对应的。将信号f(t)展开为傅里叶级数时，如果f(t)为实函数，且其波形具有某些对称特性，那么有些傅里叶系数就等于零，从而使傅里叶系数的计算变得简单。波形对称分为两类，一类是周期对称，如奇函数和偶函数，此类傅里叶级数展开式中只含有正弦项或余弦项；另一类是半周期对称，如奇谐函数和偶谐函数，它决定了傅里叶级数展开式中只含有奇次谐波或偶次谐波。波形对称与谐波特性404典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数设有一幅度为A，脉冲宽度为z的周期矩形脉冲，其周期为T，如图4-10所示。周期矩形脉冲信号1典型周期信号的傅里叶级数周期三角脉冲信号如图4-14所示。周期三角脉冲信号2典型周期信号的傅里叶级数周期半波余弦信号如图4-15所示。周期半波余弦信号3典型周期信号的傅里叶级数周期全波余弦信号如图4-16所示。周期全波余弦信号405非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换前面几节讨论了周期信号的傅里叶级数，并得到了离散状的频谱。本节将上述傅里叶分析的方法引伸到非周期信号中，以推导出其傅里叶变换。如果周期性脉冲的重复周期T足够大，则可以把周期信号当作非周期的信号来处理。从4.4节已经了解到：周期信号的周期T增大，相邻谱线的间隔Ω变小；若周期T趋于无限大，则谱线的间隔Ω趋近于无穷小，这时离散频谱就会成为连续频谱。非周期信号的傅里叶变换同时，T趋于无限大，也使得信号各频率分量的幅度趋于无穷小，但并不为零，各频率分量的振幅仍具有比例关系。为表明这种振幅之间的相对差别，引入一个新的概念——频谱密度函数F(jω)。06常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换1.门函数：门函数的频谱如图4-18所示。常用信号的傅里叶变换2.单边指数函数：其频谱如图4-20所示。常用信号的傅里叶变换3.偶双边指数函数：其频谱如图4-22所示。4.奇双边指数函数：X(ω)的波形如图4-24所示。常用信号的傅里叶变换5.单位冲激函数：常称这种频谱为“均匀谱”或“白色频谱”，如图4-25所示。6.单位直流函数：其频谱如图4-27所示。常用信号的傅里叶变换7.符号函数：其频谱如图4-29所示。07傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质傅里叶变换揭示了信号的时域特性与频域特性之间的内在联系。一个信号的特性可以在时域中用时间函数f(t)完整地表示出来，也可以在频域中用F(jω)完整地表示出来。在求解一些信号的傅里叶变换时，如果已知傅里叶变换的某些性质，可以使运算过程简化。08周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换其频谱如图4-37所示。正、余弦信号的傅里叶变换1周期信号的傅里叶变换傅里叶系数F和其频谱F(jω)分别如图4-38(b)、(c)所示。单位冲激序列δr(t)的傅里叶变换2周期信号的傅里叶变换对于一个周期为T的连续信号，记为fr(t)，其指数形式的傅里叶级数为对上式两边取傅里叶变换，利用线性性质和频移特性，且考虑到F与时间t无关，可得一般周期信号的傅里叶变换3周期信号的傅里叶变换我们在推导非周期信号的傅里叶变换时，把非周期信号看成周期信号在T亠∞时的极限，因此周期信号fr(t)的傅里叶级数和非周期信号f(t)的傅里叶变换之间有密切联系。同一个周期信号的两种求傅里叶变换的表达式为傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系409功率谱与能量谱功率谱与能量谱0102对于能量有限信号f(t)，其能量为根据傅里叶逆变换能量谱1功率谱与能量谱功率有限信号的平均功率为式中，T是指从f(t)中任取的一段时间，而并不是指周期。功率谱210LTI连续时间系统的频域分析LTI连续时间系统的频域分析h(t)、f(t)与y(t)之间的关系如图4-43所示。频率响应1LTI连续时间系统的频域分析这里主要研究两种类型频率响应的计算，一种是已知LTI连续系统的微分方程，采用傅里叶变换的微分性质，把微分方程变为代数方程，再由定义求出其频率响应；另一种是已知LTI连续系统的电路模型，采用类似正弦稳态电路分析的方法，先把电路元件换成以频率jω为变量的等效阻抗，然后利用电路的基尔霍夫定律，求出输出和输入信号傅里叶变换的关系式，再用定义求得其频率响应。LTI连续时间系统频率响应的计算211信号的传输与滤波信号的传输与滤波0102一个给定的LTI连续系统，在激励f(t)的驱动下产生输出y(t)。LTI连续系统的这种功能，在时域和频域中分别表示为y(t)=h(t)*f(t)Y(jω)=H(jω)F(jω)也就是说，信号通过该系统之后，将会改变原来的形状，成为新的波形。从频率来讲，就是系统改变了原有信号的频谱结构，成为新的频谱。显然，波形的改变或者频谱的改变，取决于系统的单位冲激响应h(t)或系统函数H(jω)。无失真传输1信号的传输与滤波LTI连续系统频率响应的另一个重要特性在于建立信号的滤波和滤波器的概念。在信号处理中，一个常用的方法是改变一个信号中各频率分量的大小，这种方法称为信号的滤波，实现滤波功能的系统就叫作滤波器。“理想滤波器”就是将滤波器的某些特性理想化而定义的滤波网络。理想滤波器按不同的实际需要，可分为低通滤波器(LPF)、高通滤波器(HPF)、带通滤波器(BPF)、带阻滤波器(BSF)等。本节主要讨论具有矩形频谱特性和线性相移特性的理想低通滤波器。信号的滤波与理想滤波器212抽样定理抽样定理带限信号信号f(t)的频谱F(jω)只在区间(-ωm，ω)为有限值，而在此区间外为0，这样的信号叫作频带有限信号，简称带限信号。抽样信号抽样信号是指利用抽样脉冲序列s(t)，从连续时间信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值而得到的离散信号，用fs(t)表示。相关定义1抽样定理如果f(t)-F(jω)，s(t)-S(jω)，由频域卷积定理可得抽样信号f，(t)的频谱密度函数，为Fs(jω)=1/2πF(jω)*S(jω) 可以看出，抽样信号的频谱与抽样脉冲s(t)有着密切关系。抽样信号的频谱2抽样定理(1)f(t)必须是带限信号，其频谱函数在|ω|>ωm各处为0。(2)抽样频率不能过低，必须满足ωs≥2ω(或fs≥2fm、Ts≤1/2fm否则将发生混叠。时域抽样定理3抽样定理频域抽样过程如图4-56所示。频域