湖南省高三高考数学冲刺试卷（三）

2021年湖南省高考数学冲刺试卷（三）已知p：∃x0∈R，使得2x0A.∀x∈R，2x<x2 B.∃x0∈R，棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限已知奇函数y=f(x)为R上的增函数，且在区间[-2,3]上的最大值为9，最小值为-6A.3 B.1 C.-1 D.魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术.他在《九章算术》之方田章之圆田术中指出：“割圆之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程.数学中这类问题多着呢!比如：在正数121+121+....中的“…”代表无限重复，设x=121+121+....，则可列方程x=12A.3 B.5 C.7 D.9某商场经营的某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布N(10,σ2)，根据检测结果可知P(9.9≤ξA.10 B.20 C.30 D.40已知三棱锥P-ABC的底面是边长为3的正三角形，且PA=3，PB=4，PC=5，则三棱锥A.3 B.10 C.11 D.2已知a>0，b<0，则x=2a，y=A.x>z>y B.y>x已知函数f(x)=ex+e-A.f(a2+1)≥f(2a) 一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同.

赵说：“我选的是A.”

钱说：“我选的是B，C，D之一.”

孙说：“我选的是C.”

李说：“我选的是D.”

已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是A.赵 B.钱 C.孙 D.李已知数列{an}满足a1=a，aA.∀a>0，∃n≥2，使得an<2

B.∃a>0，∃n≥2，使得an<a已知焦点在x轴上的椭圆过点(3,0)且离心率为63，则( )A.椭圆的标准方程为x29+y23=1

B.椭圆经过点(0,23)

某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”.他决定按如下两种方案打车.方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车，就乘此车，否则直接乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为p1，p2，则下列判断不正确的是( )A.p1=p2=12 B.p1=p已知函数g(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(设a，b是正数，若两直线l1：(m-1)x+(3-2m)y+1=0(已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B-若关于x的方程2|x-1|+a如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60∘，经过对角线AC1的平面和侧棱BB1相交于点F，且B1F=2BF.

(1)求证：平面记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，b=1，且(sinA+sinB+C2)(sinA-sinB+C2)=0.

(1)求∠A的大小和边a的长；

(2)若点P在△ABC的内部或边上运动记点P到边BC，CA的距离分别为x，y，点P数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分.数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动.已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图.

(1)为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上(含60分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记ξ为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求ξ的分布列和数学期望；

(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ可用样本平均数近似代替，σ2可用样本方差近似代替(用一组数据的中点值作代表)，若成绩在46分以上的学生均能得到奖励.本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)

解题中可参考使用下列数据：

P(μ-σ<X≤设m个互异的正偶数与n个互异的正奇数的和为99.

(1)求证：m2+m+n2≤99；

(2)求m+n的最大值.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且满足BF1⋅BF2=0.

(1)求椭圆C的离心率e函数f(x)=lnex-1x，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an).答案和解析1.【答案】C

【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，2x≥x2，

故选：C.

【解析】解：由(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx，

得(cosπ5+isinπ【解析】解：因为函数y=f(x)为R上的增函数，

则f(x)在[-2,3]上是增函数且最大值为f(3)=9，最小值为f(-2)=-6，

又∵f(x)是奇函数，

∴f(-3)=-【解析】解：依题意，得5x=x

，解得x=5，

经过验证满足题意，

∴x=5.

故选：B.

依题意，得5x=【解析】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N(10,σ2).

∴考试的成绩ξ关于ξ=10对称，

∵P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96，

∴P(ξ<9.9)=1-0.962=0.02，

∴公司有2000名职工，则分发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为0.02×21000=20.

故选：B.

根据考试的成绩ξ服从正态分布N(10,σ2).【解析】解：∵三棱锥P-ABC的底面是边长为3的正三角形，PA=3，PB=4，PC=5，

∴PB2+BC2=PC2，∴PB⊥BC，∴△PBC是直角三角形，

如图，由斜线长相等，则射影长相等，可得A在平面PBC内的射影H为直角三角形PBC的外心，

故H为△PBC斜边PC的中点，

∵AP=AC=3，H为PC中点，且PC=5，则AH=32-(52)2=9-25【解析】解：∵a>0，b<0，

∴2a>2b>0，a+1>1，log12(a+1)<log121=0，

∴x>【解析】【分析】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性以及不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由f(-x)=f(x)，可得f(x)在R上是偶函数，函数f(x)=ex+e-x+2cosx，利用导数研究函数的单调性即可得出．

【解答】

解：∵f(-x)=f(x)，

∴f(x)在R上是偶函数．

函数f(x)=ex+e-x+2cosx，

f'(x)=【解析】解：假设赵说了假话，则钱、孙、李说的是真话，钱、孙、李分别选了B，C，D，因为选的恰不相同，故赵选A，即赵没有说假话，矛盾；

假设钱说了假话，则钱选的是A，而赵选A说的是假话，矛盾；

假设孙说了假话，则赵、钱、李说的是真话，一种可能是孙选的是B，钱选的是C，没有矛盾；

假设李说了假话，则赵、钱、孙说了真话，一种可能性是李选了B，钱选了D，也没有矛盾．

故说假话的可能是孙、李．

故选：CD.

分别假设赵、钱、孙、李说了假话，由此进行推理，即可得到答案．

本题考查了简单的合情推理的实际应用，考查了学生分析问题的能力与逻辑推理能力，属于基础题．

10.【答案】ABC【解析】解：对于A：由于∀a1=a>0，

当n≥1时，an+1=an2+1an≥2an2⋅1an=2，当且仅当an=2时，等号成立，

所以对一切n≥2(n∈N+)都有an≥2，故A错误；【解析】解：焦点在x轴上的椭圆过点(3,0)且离心率为63，可得a=3，c=6，所以b=3，

所以椭圆方程为：x29+y23=1.所以A正确；

因为b=3，所以B不正确；

椭圆的焦点坐标(±6,0)，双曲线x2-y2=3的焦点坐标为(±6,0)，所以C正确；

直线y-1=k(【解析】解：设“好”“中”“差”三辆车的序号分别为1，2，3，

三辆车出车的顺序可能为：123，132，213，231，312，321，

方案一坐车可能为：213，231，312，∴P1=36=12，

方案二坐车可能为：123，132，∴P2=26=13.

故选：ABD.

【解析】解：函数f(x)=3cos2x+sinxcosx-3=3×1+cos2x2+sin2【解析】解：设a，b是正数，

若两直线l1：(m-1)x+(3-2m)y+1=0(m∈R)和l2：ax+by+2=0恒过同一定点，

而(m-1)x+(3-2m)y+1=0(m∈R)，即m(x-2y)-x+3y+1=0，经过定点(-2,-1)，

故ax+by+2=0也经过定(-2,-1)，故-【解析】解：由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，

∵sin2A+sin2B-sin2Cc=sinAsinBacosB+bcosA，

∴a2+b【解析】解：令t=|x-1|≥0，则原方程可化为2|t|=-acost，

又y=2|t|，y=-acost均为偶函数，其图象关于y轴对称，而方程只有一个解，

故-a=1，解得a=-1.

故答案为：{-1}.

令t=|x-1|≥0，则原方程可化为2|t|=-acost，而y=2|t|，y=-acost均为偶函数，由题意可知，方程的解只能为t=0，由此求得a的值．

本题考查函数零点与方程根的关系，考查对称性，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．

17.【答案】解：(1)证明：设C1F的延长线交CB的延长线于点E，连接AE，

设四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，

∵B1F=2BF，△B1C1F∽△BEF，∴BE=a2，

由∠DAB=60∘=∠ABE，∠ABC=120∘，

得AE=3a2，AC=3a，

∵CE=3a2，∴AE2+CE2=AC2，∴AE⊥CE，

∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，C1C⊥平面ABCD，【解析】(1)设四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，由已知推导出AE⊥CE，由直四棱柱性质得C1C⊥ABCD，从而AE⊥平面BCC1B1，由此能证明平面AC1E⊥平面BCC1B1.

(2)过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH，由已知得∠CGH是二面角E-AC1-C的平面角，由此能求出二面角E-AC1-C的平面角的余弦值．

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心思想，是中档题．

18.【答案】解：(1)∵(sinA+sinB+C2)(sinA-sinB+C2)=0，可得sin2A=sin2B+C2.

【解析】(1)利用三角函数的倍角公式，结合余弦定理进行求解即可．

(2)点P到AB边的距离为z，根据S△ABC=S△PBC+S△PAC+S△PAB，建立方程关系，结合距离公式建立不等式组关系进行求解即可．

本题主要考查解三角形的应用，结合余弦定理，三角函数的倍角公式以及三角形的面积公式是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．

19.【答案】解：(1)由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02)×20×10=6，不合格的人数为10-6=4，因此ξ的可能取值为0，1，2，ξ01234

P

1

8

3

41∴ξ的数学期望为E(ξ)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85；

(2)由题意可知，μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64，σ2=(30-64【解析】(1)分析可知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，求出对应的概率，进而得到分布列，由此求出期望；

(2)求出μ及σ的值，由X服从正态分布N(μ,σ2)，可计算P(46<X≤82)，P(X>82)，P(X>46)，由此得解．

本题考查分层抽样，频率分布直方图，离散型随机变量的分布列及数学期望，正态分布等知识点，考查运算求解能力，属于中档题．

20.【答案】解：(1)证明：记m个互异的正偶数为a1，a2，...，am，n个互异的正奇数为b1，b2，...，bn，

则a1+a2+...+am+b1+b2+...+bn=99，

由a1+a2+...+am≥2+4+6+...+2m【解析】(1)记m个互异的正偶数为a1，a2，...，am，n个互异的正奇数为b1，b2，...，bn，运用等差数列的求和公式和不等式的性质，即可得证；

(2)由均值不等式可得[(m+12)+n2]2≤(m+12)2+n22=99+142，化简整理，结合m，n为正整数，可得所求最大值．

本题考查等差数列的求和，以及均值不等式的运用：求最值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)因为BF1⋅BF2=0，所以△BF1F2为等腰直角三角形，则b=c，

又a2=b2+c2=2c2，可得e=ca=22；

(2)由(1)可得b=c，a=2c，则椭圆的方程为x22c2+y【解析】(1)由向量的数量积的性质，可得b=c，结合a，b，c的关系和离心率公式，可得所求值；

(2)由直径所对的圆周角为直角，结合向量数量积的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得P的坐标，以及圆的半径，假设存在过点F2的直线与该圆相切，

由点到直线的距离公式，解方程可得所求斜率．

本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆、