同济第六版高数答案(高等数学课后模拟题解答)

#/42于是 V301V27+1-2V2・3+1•(—2-2V于是 V301V27+1-2V2・3+1•(—2-2V1是+1碟.27-3).33x3(1+1-1+5)x3.107243336310其误差为IR(30)1=4•(—80丁号).34|<180.27号34=-80-=1.88x10-5.3、，4! 81 4!81 4!31(2)已知six=x-3jx3+^^x4(自介于0与x之间)，所以sin18。，一兀兀1=sin——x—————10103!X0.3090,其误差为;兀一:一匕一sin——IR(之)I=I芈(3)4|< 6(之)4=2.03x10-4.3'10， 4!'10， 4!’10，10.利用泰勒公式求下列极限(1)lim(3'x3+3x2-4x4一2x3);xf+sx2⑵limc0sx-e2;

xf0x2[x+ln(1-x)]1+x2-\；1+x2(3)lim-2 xfo(cosx—ex2)sinx2解(1)lim(3：x3+3x2-4x4—2x3)=limxf+s xf+s1x=limtf+0因为31+3t=1+1+o(t),41—2t=1-11+o(t),所以乙lim(3x3+3x2-4x4-2x3)=limxf+s tf+0[1+t+o(t)]-[1-it+o(t)] 3 1 =lim[3t tf+02一x2 [1——x2+—x4+o(x4)]-[1-—x2+—1—x4+o(x4)](2)limc0sx-e2=lim——4! 2_2!4 iox2[x+1n(1-x)]xf0 x3[1+ln(1-x):]

_1x+o(x4)=lim^2 x3—=0—=0.TOC\o"1-5"\h\zx-0 1 1+e-1<1 1 31+2x2-<1 1 31+2x2-[1+2!x2-4!x4+o(x4)]1+1x2-\'1+x2x-0(COSx-ex2x-0(COSx-ex2)sinx2xf0[(1-2!x2+--x4+o(x4))-(1+x2+2!x4+o(x4))]x23 ，、x4+o(3 ，、x4+o(x4)=lim—3——41 =limx-0--x4--x6+x2•o(x4)x-0 + -4!x4 4! 1 - 311gj(x4)-3 12x2+224 x2 2习题3-4.判定函数f(x)=arctanx-x单调性.解因为f(x)=L-1=--1-<0,且仅当x=0时等号成立，所以f(x)在(-*+8)1+x2 1+x2内单调减少..判定函数f(x)=x+cosx(0<x<2兀)的单调性.解因为f(x)=1-sinx>0,所以f(x)=x+cosx在［0,2兀］上单调增加..确定下列函数的单调区间：(1)y=2x3-6x2-18x-7;(2)尸2x+8(x>0);x104x3-9x2+6xj=ln(x+、-1+x2);⑸y=(x-1)(x+1)3;j=3；(2x-a)(a-x)2(a>0);y=xne-x(n>0,x>0);y=x+lsin2xI.解(1)y=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0,令y=0得驻点x尸一1,x2=3.列表得x(-8,-1)-1(-1,3)3(3,+8)y+00+j/X/可见函数在(-8,增加,在［-1,3］内单(2)-1］和［3,+8)内单调调减少.

y'=2--8=2a-2)(x+2)=0，令y=0得驻点x.=2,/=—2(舍去).X2 X2 1 2因为当x>2时,y>0;当0<x<2时,y<0,所以函数在(0,2］内单调减少，在［2,+s)内单调增加.(3)y，=(3)y，=—60(2x—1)(x—1)(4X3-9X2+6X)2令y=0得驻点X］=1,x2=1,不可导点为x=0.列表得X(-8,0)01(0,|)12(2,1)乙1(1,+8)y不存在0+0yXX0/X可见函数在(-8,0),(0,1］,［1,+8)内单调减少，在［1,1］上单调增加.(4)因为y'=一—(1+)=-^=>0,所以函数在(-8,+8)内单调增加.X+%'1+X2 2a.;1+X2 A：1+X2-(X-7)(6)#3秋2X-a)2(a-x)，(5)y'=(x+1)3+3(x-1)(x+1)2=4(X-2)(X+1)2.因为当x<1时,y'<0;-(X-7)(6)#3秋2X-a)2(a-x)，驻点为X］=2a,不可导点为x2=a,x3=a.J 乙列表得X(-8,ga2(a2a)(2,T)2aT/2a、(3,a)a(a,+8)y'+不存在+0不存在+y//X/可见函数在(-8,a),(a,寺］,(a,+8)内单调增加，在停,a)内单调减少.⑺y，=e-Xxn-1(n-x),驻点为x=n.因为当0<x<n时,y，>0；当x>n时,y，<0,所以函数在［0,n］上单调增加，在［n,+8)内单调减少.x+sin2x+sin2x(8)尸x-sin2xk兀<x<k兀+—兀2 (k=0,±1,±2,…),k兀+<x<k兀+兀2

1+2cos21+2cos2x1-2cos2xkn+—<x<k兀+兀2y是以—为周期的函数，在［0,—］内令y=0,得驻点x=—,x=5—,不可导点为12 26—x=—32列表得x(0,—3)—W除—)—2(—51)(2,6)5—6z5—4(r—)6y+0不存在+0y/X/X根据函数在［0,—］上的单调性及y在(-8,+8)的周期性可知函数在［半,k—+—］上单乙乙J调增加，在［k—+—,k—+—］上单调减少(k=0,±1,±2,…).乙J乙乙4.证明下列不等式：(1)当x>0时，1+1x>J1+x;(2)当x>0时，1+xln(x+<1+x2)>、.1+x2;⑶当0⑶当0<x<、时⑷当0<x<、时,sinx+tanx>2x;(5)当x>4时，2x>x2;证明(1)设f(x)=1+1x-J1+1,则f(x)在［0,+8)内是连续的.因为f(x)=1-—L=="+x-1>0,226+x 2V1+x所以f(x)在(0,+8)内是单调增加的，从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即1+2x—1'1+x>0,也就是1+2x>J1+x.⑵设f(x)=1+xln(x+%1+3)-v1+x2,则f(x)在［0,+8)内是连续的.因为f'(x)=ln乂+%1+x2)+x- , -(1+,x)-,x=lnx+”+x2)>0,x+\,1+x2v1+x2 \-1+x2所以f(x)在(0,+8)内是单调增加的，从而当x>0时f(x)/0)=0,即1+xlnX+v'1+x2)-%1+x2>0,也就是1+xInX+J1+x2)>11+x2.⑶设f(x)=sinx+tanx-2x,则f(x)在［0,与)内连续,(cosx-1)［(cos2x-1)-cosx］f7x)=cosx+sec2x-2=- - .cos2x因为在(0,与)内cosx-1<0,cos2x-1<0,-cosx<0,所以f(x)>0,从而f(x)在(0,与)内单调增加，因此当0<x<与时,f(x)/0)=0,即sinx+tanx-2x>0,也就是sinx+tanx>2x.(4)设f(x)=tanx-x-1x3,则f(x)在［0,与)内连续，f'(x)=secx-1-x2=tanx-x2=(tax-x)(tx+x).因为当0<x吟时,tanx>x,tanx+x>0,所以f(x)在(0,3)内单调增加，因此当0<x<寺时,fx)/0)=0,即也就是tan>x+3x2.(5)设f(x)=xln2-2lnx,则f(x)在［4,+8)内连续，因为2ln42、lne2nf(x)=ln2—= —> —=0,x2x2 4所以当x>4时,f(x)>0,即f(x)内单调增加.因此当x>4时,f(x)>f(4)=0,即xln2-2lnx>0,也就是2x>x2..讨论方程lnx=ax(其中a>0)有几个实根？解设f(x)Tnx-ax.则f(x)在(0,+8)内连续，f'(x)=1-a=上空,驻点为x=1.xx a因为当0<x<1时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)内单调增加当x>1时,f'(x)<0,所a a a以f(x)在(1,+8)内单调减少又因为当xf0及xf+8时,f(x)f-8,所以如果af(1)=ln1-1>0,即a<1,则方程有且仅有两个实根；如果f(1)=ln1-1<0,即aa e aa

a>1,则方程没有实根.如果f(1)=ln1-1=0,即a=1,则方程仅有一个实根.e aa e.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子：f(x)=x+sinx.解单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f(x)=x+sinx在(-8,+8)内是单调增加的，但其导数不是单调函数.事实上，f，(x)=1+cosx>0,这就明f(x)在(-8,+8)内是单调增加的.广(x)=-sinx在(-8,+8)内不保持确定的符号,故f(x)在(-8,+8)内不是单调的..判定下列曲线的凹凸性：y=4x-x2；(2)户shx;(3)产1+1(x>0);xy=xarctanx;解(1)y'=4-2x,y〃=-2,因为y〃<0,所以曲线在(-8,+8)内是凸的.y'=chx,y''=shx.令y〃=0,得x=0.因为当x<0时,y〃=shx<0;当x>0时,y〃=shx>0,所以曲线在(-8,0]内是凸的，在[0,+8)内是凹的.，，

y因为当x>0时,y〃>0,所以曲线在(0,+8)内是凹的.(4)y'=(4)y'=arctanx+x1+x22(1+x2)2因为在(-8,+8)内，y〃>0,所以曲线y=xarctgx在(-8,+8)内是凹的.下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：.y=x3-5x2+3x+5;y=xe-x;⑶y=(x+1)4+ex;y=ln(x2+1);y=earctanx;y=x4(12lnx-7),解⑴y'』2-10x+3,y〃=6x-10.令y〃=0,得x=f.

因为当x<3时，尸<0；当x>3时，尸>0,所以曲线在(f|］内是凸的，在［3,+8)内是凹的拐点为(3,20).J J乙/(2)y'=e-x-xe-x,y"=-e-x-e-x+xe-x=e-x(x-2).令y，，=0,得x=2.因为当x<2时,y〃<0;当x>2时,y〃>0,所以曲线在(-8,2］内是凸的，在［2,+8)内是凹的，拐点为(2,2e-2).(3)y，=4(x+1)3+ex,y〃=12(x+1)2+ex.因为在(-8,+8)内,尸>0,所以曲线y=(x+1)4+ex的在(-8,+8)内是凹的，无拐点..令y”=0,得x1=-1,x2=1.〃2(x2+1)-2.令y”=0,得x1=-1,x2=1.(x2+1)2 (x2+1)2列表得可见曲线在内是凸的，在［-1,点为(-1,ln2)和x(-8,-1)-1(-1,1)1(1,+8)(-8,-1］和［1,+8)1］内是凹的，拐(1,ln2).y，'0+0ycln2拐点uln2拐点cy'=earctanx. ,y〃=e国3”(1-2x).令y〃=0得，x=—.1+x2 1+x2 2因为当x<1时，y〃>0;当x>1时，y〃<0,所以曲线y=earctgx在(-8,J］内是凹的,在［1,+8)内是凸的，拐点是(1,em叫).2 乙y'=4x3(12lnx-7)+12x3,y''=144x2-lnx.令y''=0,得x=1.因为当0<x<1时，y〃<0;当x>1时，y〃>0,所以曲线在(0,1］内是凸的，在［1,+8)内是凹的，拐点为(1,-7).9.利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：(1)2(xn+yn)>(^iy)n(x>0,y>0,x丰y,n>1);⑵竺F>e^(x中y);x+y(3)xInx+yIny>(x+y)ln ，(x>0,y>0,x丰y).证明(1)设f(t)=tn,则f(t)=ntn-1,f〃(t)=n(n-1)tn-2.因为当t>0时，广(t)>0,所以曲线f(t)=tn在区间(0,+8)内是凹的.由定义，对任意的x>0,y>0,x丰y有(2)设f(t)=e,则f'(t)=e，/(t)=e.因为f〃(t)>0,所以曲线f(t)=e在(—%+到内是凹的.由定义，对任意的x,y£(-*+8),x中y有2[f(x)+f(y)]>f(浮),即 空野>刀(x丰y).(3)设f(t)=tlnt,则f(t)=lnt+1,『⑦=Lt因为当t>0时,f〃(t)>0,所以函数f(t)=tInt的图形在(0,+8)内是凹的.由定义,对任意的x>0,y>0,x中y有xlnx+yIny>(x+y)ln.试证明曲线y=士1有三个拐点位于同一直线上.x2+1证明y，=—x2+2x+1 〃=2x3—6x2—6x+2=2(x+1)[x-(2-回][x-(2+同(x2+1)2'y (x2+1)3 (x2+1)3令y”=0,得x1=—1,x2=2—J3,x§=2+V3.例表得x(—8.—1)—1(-1,2—我2—品(2—瓜2+用)2+V3(2+书,+8)y0+00+yC—1U1-招4(2—典)C1+的4(2+,泳)U可见拐点为I-1),(2一"4^)),(2+54(；\.因为1———(—1) 1+*——(—1)4(2—西=1 4(2+<3) =12—、”-(-1)-―4，2+、：3-(-1)-―4，所以这三个拐点在一条直线上..问a、b为何值时，点(1,3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？解y，=3ax2+2bx,y〃=6ax+2b.要使(1,3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点，必须y(1)=3且y"(1)=0,即a+b=3且6a+2b=0,解此方程组得a=-1,b=9..试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的a、b、c、d,使得x=-2处曲线有水平切线,(1,-10)为拐点，且点(-2,44)在曲线上.解y'=3ax2+2bx+c,y"=6ax+2b.依条件有y(-2)=44 ]-8a+4b-2c+d=44y(1)=-10艮0la+b+c+d=-10<y'(-2)=0'即112a-4b+c=0 ^、y〃(1)=0 [6a+2b=0解之得a=1,b=-3,c=-24,d=16.13.试决定y=k(x2-3)2中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.解y=4kx3-12kx,y〃=12k(x-1)(x+1).令y〃=0,得x1=-1,x2=1.因为在x1=-1的两侧y〃是异号的，又当x=-1时y=4k,所以点(-1,4k)是拐点.因为y(-1)=8k,所以过拐点(-1,4k)的法线方程为y-4k=-01a+1).要使法线过8k原点，则(0,0)应满足法线方程，即-4k=--1,k=±最.8k 8同理，因为在x1=1的两侧y〃是异号的，又当x=1时y=4k,所以点(1,4k)也是拐点.因为y(1)=-8k,所以过拐点(-1,4k)的法线方程为y-4k=X(x-1).要使法线过8k原点，则(0,0)应满足法线方程，即-4k=-上,k=±或.8k 8因此当k=±率时，该曲线的拐点处的法线通过原点.814.设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数，如果广(x0)=0,而广〃(x0)M,试问(x0,f(x0))是否为拐点？为什么？解不妨设f〃'(x0)>0.由f'〃(x)的连续性，存在x0的某一邻域(x0-b,x0+5),在此邻域内有f〃'(x)>0.由拉格朗日中值定理，有f”(x)-f〃(x0)=/〃(号(x-x0)《介于x0与x之间)，即 f〃(x)=f〃隹)(x-x0).因为当x0-5<x<x0时,f〃(x)<0;当x0<x<x0+5时,f’‘(x)>0,所以(x0,f(x0))是拐点.习题3-5.求函数的极值：y=2x3-6x2-18x+7;

(2)尸x-ln(1+x);(3)广一x4+2x2;y=x+■,1-x;1+3x⑸y=:v4+5x2(6)y(6)y=3x2+4x+4

x2+x+11 2v1-x-1y'T- 12、—5(x1 2v1-x-1y'T- 12、—5(x-)(5)函数的定义为(-8,+8),y'=.<(4+5x2)34**12 12因为当x<5时，y'〉0;当x>5时，y'<0,驻点为x=—.5所以函数在x=12处取得极大值，极大值为5,12、<205y(—)= 5 10(6)函数的定义为(-8,+8),y'=-x(x+2),(x2+x+1)2驻点为x1=0,x2=-2.列表(-8,-2) -2(-2,0)(0,+8)y=excosx;1y=xx；1(9)y=3-2(x+1)3;y=x+tanx.解(1)函数的定义为(-8,+8),y'=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1),驻点为/=-1,x2=3.列表x(-8,-1)-1(-1,3)3(3,+8)y+00+y/17极大值\-47极小值/可见函数在x=-1处取得极大值17,在x=3处取得极小值-47.1x(2)函数的定义为(-1,+8),y，=1 =—,驻点为x=0.因为当-1<x<0吐y'<0;当x>0时1+x1+x,y>0,所以函数在x=0处取得极小值，极小值为y(0)=0.(3)函数的定义为(-8,+8),y=-4x3+4x=-4x(x2-1),y〃=-12x2+4,令y'=0,得x1=0,x2=-1,x3=1.因为y〃(0)=4>0,y〃(-1)=-8<0,y〃(1)=-8<0,所以y(0)=0是函数的极小值，y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-8,1],I I I I ,2,1-x 2,1-x 2v1-x(2v1-x+1)

y'0+0y\8极小值3/4极大值\可见函数在％=-2处取得极小值8,在％=0处取得极大值4.3⑺函数的定义域为(-8,+8>y，=ex(cosx-sinx),y〃=-exsinx.TOC\o"1-5"\h\z兀 兀令y=0,得驻点x——+2左兀，x=—+2(k+1)兀，(k=0, ±1, ±2, -).4 4因为y〃(2+2k-)<0,所以y(-4+2k—)=e4+2k兀•皆是函数的极大值.I—因为y〃[-+2(k+1)—]>0,所以y[-+2(k+1)—]=-e:+2(k+1)—•—是函数的极小值.4 4 21(8)函数y=xx的定义域为(0,+8),1y'=1y'=xx・—(1-lnx).X2令y'=0,令y'=0,得驻点1因为当x<e吐y>0;当x>e时,y<0,所以y(e)=ee为函数f(x)的极大值.2 1(9)函数的定义域为(-8,+8),y'=- ,因为y'<0,所以函数在(-8,+8)是单调3(x+1)2/3减少的，无极值.-(10)函数y=x+tgx的定义域为xw—+k兀(k=0,±1,±2,.)..2因为y'=1+sec2x>0,所以函数f(x)无极值.2.试证明：如果函数y=ax3+bx2+ex+d满足条件b2-3ac<0,那么这函数没有极值.证明y，=3ax2+2bx+e.由b2-3ac<0,知aw0.于是配方得到2b c b、 3ac-b2TOC\o"1-5"\h\zy=3ax2+2bx+c=3a(x2+ x+ )=3a(x2+ )2+ ,3a 3a 3a3a因3ac-b2>0,所以当a>0时,y，〉0;当a<0时,y，<0.因此y=ax3+bx2+cx+d是单调函数，没有极值., —...试问a为何值时，函数f(x)=asinx+-sin3x在x——处取得极值？它是极大值还是极小3 3值？并求此极值.解f'(x)=acosx+cos3x,f"(x)=-asinx-3sinx.冗冗 1要使函数f(x)在x=(处取得极值，必有尸亨=0,即a-2-1=0,a=2.当a=2时，f〃(-)=-2.立<0.因此，当a=2时，函数f(x)在x=-处取得极值，而且取得极3 2 3大值，极大值为f(且)=5.2.求下列函数的最大值、最小值：

⑴y=2%3-3%2,-1<x<4;(2)尸x4-8%2+2,-1<x<3;(3)y=x+■,1-x,-5<x<1.解(1)y'=6x2-6x=6x(x-1),令y'=0,得xr0,x2=1,计算函数值得y(-1)=-5,y(0)=0,y(1)=-1,y(4)=80,经比较得出函数的最小值为y(-1)=-5,最大值为y(4)=80.y'=4x3-16x=4x(x2-4),令y'=0,得x1=0,x2=-2(舍去),x3=2,计算函数值得y(-1)=-5,y(0)=2,y(2)=-14,y(3)=11,经比较得出函数的最小值为y(2)=-14,最大值为y(3)=11.y'=1--=,令y'=0,得x=3,计算函数值得2vi-x 4y(-5)=-5+%6,y(3)=|,y(1)=1,经比较得出函数的最小值为y(-5)=-5+、6,最大值为y(3)=|.5,问函数y=2x3-6x2-18x-7(1<x<4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.解y，=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1),函数f(x)在1<x<4内的驻点为x=3.比较函数值：f(1)=-29,f(3)=-61,f(4)=-47,函数f(x)在x=1处取得最大值，最大值为f(1)=-29.546,问函数y=x2-5-(x<0)在何处取得最小值？x一 54解y'=2x+一,在(-8,0)的驻点为x=-3.因为x2y〃=y〃=2108,x3y"(-3)=2喈〉0所以函数在x=-3处取得极小值.又因为驻点只有一个，所以这个极小值也就是最小值，即函数在x=-3处取得最小值，最小值为y(-3)=27.7.问函数y=—匚(xN0)在何处取得最大值？x2+11—x2解y'= .函数在(0,+8)内的驻点为x=1.(x2+1)2因为当0<x<1时,y'>0;当x>1时y'<0,所以函数在x=1处取得极大值.又因为函数在(0,+8)内只有一个驻点，所以此极大值也是函数的最大值，即函数在x=1处取得最大值，最大值为f(1)=2..某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20cm长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解设宽为x长为y,则2x+y=20,y=20-2x,于是面积为S=xy=x(20-2x)=20x-2x2.S，=20-4x=4(10-x),S〃=-4.令S，=0,得唯一驻点x=10.因为S〃(10)-4<0,所以x=10为极大值点，从而也是最大值点.当宽为5米，长为10米时这间小屋面积最大..要造一圆柱形油罐，体积为丫,问底半径厂和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？

解由V旬r2h,得h=VXr-2.于是油罐表面积为2V小S=2兀r2+2兀r=2兀r2+——(0<x<+»),r2VS=4兀r 令S，=0,得驻点r=3——.2兀因为S〃=4兀+生>0,所以S在驻点丫r—处取得极小值，也就是最小值.这时相应的高r3 -2兀为h=—=2r.底直径与高的比为2r:h=1:1.兀r20.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆如图，截面的面积为5m2,问底宽％为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h,截面的周长S,贝Uxh+1.(x)2兀=5,h=5-兀x.TOC\o"1-5"\h\z22 x8于是x兀 兀10 40、S=x+2h+ =x+■—x+—(0<x<,,—),S'=1+10x22 4S'=1+10x2令S，=。,得唯一驻点x=\:言因为S因为S〃二十0,所以x飞黑为极小值点，同时也是最小值点.因此底宽为x=\,：■时所用的材料最省..设有重量为5kg的物体，置于水平面上，受力F的作用而开始移动(如图).设摩擦系数日=0.25,问力F与水平线的交角a为多少时，才可使力F的大小为最小？解由Fcosa=(m-Fsina)R得TOC\o"1-5"\h\z口m /八 兀、F= (0<a<一),cosa+目sina 2.目m(sina一目cosa)F一 ,(cosa+目sina)2驻点为a=arctanR.冗 冗因为F的最小值一定在(0,—)内取得，而F在(0,一)内只有一个驻点a=arctan也22所以a=arctanR一定也是F的最小值点.从而当a=arctan0.25=14。时，力F最小..有一杠杆，支点在它的一端.在距支点0.1m处挂TOC\o"1-5"\h\z一重量为49kg的物体.加力于杠杆的另一端使杠杆保持 |：1' ■'''水平(如图).如果杠杆的线密度为5kg/m,求最省力的杆H厂 ]长？ 刀 一解设杆长为x(m),加于杠杆一端的力为F,则有 匚।49kg

~ 5 4.9xF=-x-5x+49-0.1,即F=x+ (x>0).2xF，.5J92x2,驻点为x=1.4.由问题的实际意义知,F的最小值一定在(0,+8)内取得，而F在(0,+8)内只有一个驻点x=1.4,所以F一定在x=1.4m处取得最小值，即最省力的杆长为1.4m..从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图)问留下的扇形的中心角9取多大时，做成的漏斗的容积最大？解漏斗的底周长l、底半径r、高h分别为R9 ,TR~r= ,h=\■R2—r2=—、4K2—92.2K 2K漏斗的容积为1V=—hr2K24k2x;4k2一92(0<^<2k).24k2x;4k2一92(0<^<2k).V'=R39(8k2-392) ——24k24k2一①2，驻点为中=236k.由问题的实际意义,V一定在(0,2k)内取得最大值，而V在(0,2k)内只有一个驻点，所以该驻点定也是最大值点.V 因此当9=个k时，漏斗的容积最大.9,故h=9,故h=15sin①一3tan①一2,一一3h=15cos- cos29.某吊车的车身高为1.5m,吊臂长15m,现在要把一个6m宽、2m高的屋架，水平地吊到6m高的柱子上去(如图)，问能否吊得上去？解设吊臂对地面的倾角为中时，屋架能够吊到的最大高度为h.在直角三角形AEDG中15sin^=(h-1.5)+2+3tan令h'=0得唯一驻点9=arccos-L弋54o.3：5因为h〃=-15sin9-先独<0,所以9=54。为极大值点，同时这也是最大值点.cos39当9=54。时，h=15sin9-3tan9—-~7.5m.2所以把此屋最高能水平地吊至7.5m高，现只要求水平地吊到6m处，当然能吊上去..一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去.当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费.试问房租定为多少可获最大收入？解房租定为x元，纯收入为R元.当x<1000时,R=50x-50x100=50x-5000,且当x=1000时，得最大纯收入45000元.当x>1000时，

R=[50—5(%—1000)]•%—[50—5(%-1000)]-100=-；x2+72x—7000,R'=——x+72.25令R'=0得(1000,+8)内唯一驻点x=1800.因为R"=-]<0,所以1800为极大值点，同时也是最大值点.最大值为R=57800.因此，房租定为1800元可获最大收入.习题3-6描绘下列函数的图形:. 1/1.y=(x4-6x2+8x+7);解(1)定义域为(-8,+8)；y=1(4x3-12x+8)=4(x+2)(x-1)2,y"=4(3x2-3)=12(x+1)(x-1),令y'=0,得x=-2,x=1;令y"=0,得x=-1,x=1.x(一叫-2)-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,+8)y0+++0+y”+++00+y=f(x)、D175极小值/u65拐点/c2拐点/u(3)列表(4)作图：y=，；+x2解(1)定义域为(-8,+8)；(2)奇函数，图形关于原点对称，故可选讨论x>0时函数的图形y，=-(x-1)(x+1),y，，=2x(x-：3)(x+%3,(1+x2)2 (1+x2)3

当X>0时，令y=0,得1=1;令>"=0,得x=0,%>；3.(4)列表X0(0,1)1(1…3)73(5+8)y'++0y〃00+y=f(%)0拐点/c1极大2值\c334拐点、D(5)有水平渐近线产0；(6)作图：(3)列表令y=0,得％=1；令尸=0,得1+g,1也.X-+ X—(3)列表X1五、(8，12)1姮12(1-辛,1)乙1面a—)乙1后1+一2桓(1+—-,+8)乙y'+++0y〃+00+y=f(x)/u1e2拐点/c1极大值\c1e2拐点\u2 2

(2) y，二2X」二二X2X2,,九2 2(x3+1)y=2+ = ，(2) y，二2X」二二X2X2,,九2 2(x3+1)y=2+ = ，X3 x3V2(3)列表X(一哈-D-1(-1,0)0(0,工)血1冢5/1 、(「，十⑹312y'无0+y”+0无+++y=f(x)、D0拐点\n无、D31~-3,22极小值/U(4)有铅直渐近线x=0;(5)作图：5cosX.y= *cos2x解(1)定义域为x丰更+三(n=0,±1,±2,-口-□•)24(2)是偶函数，周期为2口□,可先作［0,口］上的图形，再根据对称性作出［-口，0)内的图形，最后根据周期性作出［-口，口］以外的图形；(3)，=sinx(3-2sinx), 〃=cosx-(3+12sin2x-4sin4x),cos32xcos2cos32x在［0,口］上，令y'=0,得x=0,x=□;令y〃=0,得*>X-

(4)列表X0(0,7)4兀7(衿)兀5(72)’2,4)37T/3兀、(―,兀)4□y0+无+++无+0y”++无0+无y-f(x)1极小值/u无/c0拐点/u无/c-1极大值(5)有铅直渐近线%」及%二把;4 4(6)作图:习题3-7.求椭圆4X2+y2=4在点(0,2)处的曲率.解两边对X求导数得一一.一4x8x+2yy-0,y y|-2|(1+02)3/22(0，2)-0|-2|(1+02)3/2r Iy”IK-(1+y'2)3/2.求曲线y=lnsecX在点(x,y)处的曲率及曲率半径.解y'-——-secx-tanx-tanx,y"=sec2x.secx所求曲率为

K=।y''I(1+y'2)3/2曲率半径为Isec2xI , , —IcosxI,(1+K=।y''I(1+y'2)3/2曲率半径为Isec2xI , , —IcosxI,(1+tan2x)3/2C1 1IIp——— —IsecxI.KIcosxI.求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径.解y-2x-4,y〃-2.令y'-0,得顶点的横坐标为x=2.y，L—2—0,y"x—2—2.所求曲率为(1+y'2)3/2 (1+02)3/2曲率半径为11p==—K2.求曲线x=acos31,y=asin31在t=tQ处的曲率.(a ,(asin31)' ,解y— —-tant(acos3x)'所求曲率为(-tanx)'(acos3x)1.3asint-cos4tIIyI —-(1+y'2)3/223asint-cos41I-=l(1+tan21)3/2 3asintcos313Iasin2tIt—t 3Iasin21I0 0.对数曲线y—Inx上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.Iy〃lI-—I

x2(1+y'2)3/2 (1+1)3/2 (1+x2)3/2，x23(1+x2)2

P— ,xP'3 1,(1+x2)2-2x-x-(1+x2)2门一x2(2x2-1)x2x2令P'=0,得因为当0<x<"2吐p<0;当x>"2时，P〉0,所以x—”2是P的极小值点，同时也最小值点.22 2当x-3时，尸匿.因此在曲线上点（*—）处曲率半径最小，最小曲率半径为P-9

6.证明曲线y=ach-在点(,y)处的曲率半径为二.a a解y'=sh—,y"Jch-.aaa在点-,y)处的曲率半径为(1+y'2(1+y'2)3/2

Iy''I-(1+Sh2-)3/2

a11ch-1-

(ch2一)3/2

a11ch-1=ach2aaaaaa一2一飞机沿抛物线路径y=―。y轴铅直向上,单位为m作俯冲飞行，在坐标原点O处飞10000机的速度为v=200m/s飞行员体重G=70Kg,求飞机俯冲至最低点即原点O处时座椅对飞行员的反力., 2一一 1 1解y'=-2^=,y〃=—;y'I==0,y"I=—.100005000 5000 -0 一=05000(1+y'2)3/2 (1+02)3/2pI= = =500.0-=0 Iy〃I 15000=560(牛顿).飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为79x9.8+560=1246(牛顿).8.汽车连同载重共5t,在抛物线拱桥上行驶，速度为21.6km/h,桥的跨度为10m,拱的矢高为0.25m.求汽车越过桥顶时对桥的压力.解如图取直角坐标系，设抛物线拱桥方程为y=a-2,由于抛物线过点(5,0.25),代入方程得0.25a= =0.01,25于是抛物线方程为y=0.01一2.y'=0.02一,y〃=0.02.(1+y，2)3/2 (1+02)3/2TOC\o"1-5"\h\zPI= =一=0 Iy''I0.02…5x103(- )2向心力为F=m= 3600 =3600(牛顿).p 50因为汽车重为5吨，所以汽车越过桥顶时对桥的压力为5x103x9.8-3600=45400(牛顿).*9.求曲线y=ln一在与一轴交点处的曲率圆方程.冗*10.求曲线y=tan一在点(―,1)处的曲率圆方程.4*11.求抛物线y2=2p-的渐屈线方程.总习题三1.填空：设常数k>0,函数f(-)=ln+k在(0,+8)内零点的个数为,e解应填写2.TOC\o"1-5"\h\z11 1提示：f(x)=—,f(x)= .xe x2在(0,+8)内，令f(x)=0,得唯一驻点x=e.因为f以x)<0,所以曲线f(x)=lnx-x+k在(0,+8)内是凸的，且驻点x=e一定是最大值点,e最大值为f(e)=k>0.又因为limf(x)=-8,limf(x)=-8,所以曲线经过x轴两次，即零点的个数为2.x—^+0 x—^+8.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：设在［0,1］上f〃(x)>0,则f'(0),f'(1),f(1)-(0)或f(0)-f(1)几个数的大小顺序为( ).(A)f'⑴—'(0)/1)-(0)； (B)f'(1)>f(1)-f(0)>f'(0);(C)f(1)-f(0)>f'(1)>f'(0)； (D)f'(1)>f(0)-f(1)>f'(0).解选择B.提示：因为f〃(x)>0,所以f(x)在［0,1］上单调增加，从而f⑴旷'(x)>f'(0).又由拉格朗日中值定理，有f(1)-f(0)=f'(m),徐［0,1］,所以f'(1)>f(.1)-f(0)>f'(0)..列举一个函数f(x)满足:f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内除某一点外处处可导，但在(a,b)内不存在点己，使f(b)-f(a)=f化)(b-a).解取f(x)=1xI,xe［-1,1］.易知f(x)在［-1,1］上连续，且当x>0时f'(x)=1;当x>0时,f'(x)=-1;f'(0)不存在，即f(x)在［-1,1］上除x=0外处处可导.注意f(1)-f(-1)=0,所以要使f(1)-f(-1)=f化)(1-(-1))成立，即f'(&=0,是不可能的.因此在(-1,1)内不存在点己，使f(1)-f(-1)=f隹)(1-(-1))..设limf'(x)=k,求lim［f(x+a)-f(x)］.x-8 x-8解根据拉格朗日中值公式,f(x+a)-f(x)=f叱).a,己介于x+a与x之间.当x—8时,己—8,于是lim［f(x+a)-f(x)］=limf化)-a=alimf迂)=ak.x―8 x-8 &-8.证明多项式f(x)=x3-3x+a在［0,1］上不可能有两个零点.证明f'(x)=3x2-3=3(x2-1),因为当xe(0,1)时,f'(x)<0,所以f(x)在［0,1］上单调减少.因此,f(x)在［0,1］上至多有一个零点.aa.设a+―1+ 1——«-=0,证明多项式f(x)=a+ax+--a•+在(0,1)内至少有一个零点.TOC\o"1-5"\h\z02 n+1 01na a证明设F(x)=ax+■—1x2+ 1——n-xn+1,则F(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且0 2 n+1F(0)=F(1)=0.由罗尔定理，在(0,1)内至少有一个点己，使F6)=0.而F，(x)=f(x),所以f(x)在(0,1)内至少有一个零点..设f(x)在［0,a］上连续，在(0,a)内可导，且f(a)=0,证明存在一点^(0,a)，使f(M+f'©=0.证明设F(x)=xf(x),则F(x)在［0,a］上连续，在(0,a)内可导，且F(0)=F(a)=0.由罗尔定理,在(0,a)内至少有一个点己，使F©)=0.而F(x)=f(x)+xf(x),所以f(己)+f(己)=0..设0<a<b,函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,试利用柯西中值定理,证明存在一点b氏(a,b)使f(a)-f(b7t)lnb.a证明对于f(x)和lnx在［a,b］上用柯西中值定理，有

lnb-lna 1bs―f(a)-f(b)=tf(m)ln,,b).a.设f(x)、g(x)都是可导函数，且f，(x)l<g'(x),证明：当x>a时,lf(x)-f(a)l<g(x)-g(a).证明由条件f'(x)l<g'(%)得知,<1,且有/(x)>0,g(x)是单调增加的，当x>a证明由条件f'(x)l<g'(%)得知,因为f(x)、g(x)都是可导函数，所以f(x)、g(x)在［a,x］上连续，在(a,x)内可导，根据柯西中值定理，至少存在一点k(a,x)，使f(x)-f(a)=坐).g(x)-g(a) g化)因此,<1,f(x)-f(a)l<g(x)-g(a因此,.求下列极限:(1)1imx-xxxf11-x+lnx1im[-^--1]xf01n(1+x)x/…./2 (1)1imx-xxxf11-x+lnx1im[-^--1]xf01n(1+x)x/…./2 、lim(—arctanx)x.xf+w兀1 1lim[(ax+ax+•xf81••+ax)/n]nx(其中解(1)(xxy=(ex1nxyn=exlnxa1?a2,•••,an>0).(1nx+1)=xx(Inx+1).x-xx (x-xx)'lim =lim =limxf11-x+lnxxf1(1-x+lnx)'xf11-xx(1nx+1)-1+-x=lim-xf1x-xx+1(lnx+1)

1-x 1 1-xx+1(lnx+1+--)(lnx+1)-xx=lim x =2.xf1 -1⑵lim[-1——-]=limx-1n(1+x)=lim[x-1n(1+x)]xf01n(1+x)xxf0x1n(1+x)xf0[x1n(1+x)]'，-=lim-xf01-11+xxln(1+x)+ 1+x=lim x =limxf0(1+x)1n(1+x)+xxf0ln1什x)+1+1=22 x(lnarctanx+ln2)(3)lim(—arctanx)x=lime 兀..在xf田 xf隹因为2八 1 2、limx(Inarctanx+1n—)=limxf+^八 ，2、,(lnarctanx+ln)兀limxf+^ arctanx1+x2 2所以lim(—arctan%)x=lime2、 2x(lnarctanx+ln) -兀=elim(—arctan%)x=lime2、 2x(lnarctanx+ln) -兀=e兀.X-+8兀1 1X-+81(4)令y=[(ax+ax+ +ax)/n]n%.1 2 n1n[ln(axlimlny=lim 1X―8 X—81贝Ulny=nx[ln(ax1 1+ax+ +ax)-lnn],因为2n1+ax+•211…+ax)-lnn]

nn 1 1ax+ax+ +a=lim 1 2 X-8—•(axlna+axlna1 1 1 2 2xn + +axlna)•(—)rnnx=lna1+lna2+--ln-+^=ln(a]a2…an).1 _1即limlny=ln(a]a2…an),从而lim[(a1+a2cX-811.证明下列不等式:.一 冗一(1)当0<x<X<—时,122tanxx

2->T

tanxx

11

arctanx⑵:当x>0时，ln(1+x)> .1+x1+ +ax)/n]nxn=limy=a-a…a12nX—8TOC\o"1-5"\h\z证明⑴令f(x)=3nx,xg(0,g).x 2xsec2x-tanxx-tanx八因为f(X)= > >0,所以在(0,g)内f(x)为单调增加的.因此当0<%<x2<]时有]tanx tanx tanx x1< 2,即2>2.xx tanx x1 2 1 1(2)要证(1+x)ln(1+x)>arctanx,即证(1+x)ln(1+x)-arctanx>0.1设f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx,则f(x)在[0,+8)上连续，/(x)=ln(1+x) 1因为当x>0时,ln(1+X)>0,1 >0,所以f'(x)>0,f(x)在[0,+8)上单调增加.1+x2因此，当x>0时,f(x)/0),而f(0)=0,从而f(x)>0,即(1+x)ln(1+x)-arctanx>0.12.设f(x)=卜 X>0,求f(x)的极值.[x+2x<0解x=0是函数的间断点.当x<0时,f，(x)=1;当x>0时,f，(x)=2x2x(lnx+1).令f'(x)=0,得函数的驻点x=Le列表:X(-8,0)0(0,-)e1e1(一，+8)e

f(x)+不存在0+f(x)/2极大值\2e-e极小值/函数的极大值为f(0)=2,极小值为f(1)=e-2.e13.求椭圆l2_%y+y2=3上纵坐标最大和最小的点.解2x-y-xy'+2yy'=0,y'=?xy.当x=—y时,y'=0.TOC\o"1-5"\h\zx-2y 21 11将x=-y代入椭圆方程，得y2—y2+y2=3,y=±2.2 4 2于是得驻点x=-1,x=1.因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在，且在驻点处取得，又当x=-1时,y=-2,当X=1时,y=2,所以纵坐标最大和最小的点分别为(1,2)和(-1,-2)..求数列｛册)的最大项._ 1解令f(x)=x：x=xx(x>0),贝UInf(x)=—Inx,x—1--f'(x)=- —lnx=—(1-Inx),f(x) x2x2x2. 1-2..]f(x)=xx(1-lnx).令f(x)=0，得唯一驻点x=e.因为当0<x<e时,f'(x)>0;当x>e时,f'(x)<0,所以唯一驻点x=e为最大值点.因此所求最大项为mx{V2,V3}=0.曲线弧y=sinx(0<x<兀)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解y'=cosx,y〃=-sinx,(1+y'2)3/2P-Iy(1+y'2)3/2P-Iy〃1 ； (0<x<兀),sinx3 1 3—(1+cos2x)2(-2cosxsinx)-sinx-(1+cos2x)2cosxP，=2 sin2x-(1+cosx)2cox(3sinx+cosx+1)= .sin2x在(0,兀)内，令江=0,得驻点x/.2 冗. .冗 冗一因为当0<x<—时，p'<0;当一<x<兀时，p'>0,所以x=—是P的极小值点，同时也是P的最小22 2(1+cos2—)3/2值点，最小值为P 2——=1.—sin—216.证明方程x3-5x-2=0只有一个正根.并求此正根的近似值，使精确到本世纪末10-3.解设f(x)=x3-5x-2,贝Uf(x)=3x2-5,f〃(x)=6x.

当x>0时,f〃(x)>0,所以在(0,+8)内曲线是凹的，又f(0)=-2,lim(x3-x-2)=+s,所以在(0,xf+8+8)内方程x3-5x-2=0只能有一个根.(求根的近似值略)17.设f〃(x0)存在，证明区f(x0+h)+fT)-2f0)=f.(x0).证明limhf0f(x0+h)+f(x-h)-2证明limhf0f(x0+h)+f(x-h)-2f(x)f(x+h)-f，(x-h) 0 0 0—=lim 0 0 1r=—lim-2hf01r=—limh2f(x0+h)-f(x0-h)2hh[f'(x0+h)-f(x0)]+[f(x0)-f'(x0-h)]lim[hf0h“X0+h；一…0)+f(x0)-f，(x0-h)]=/小)+f〃(x。)]=f〃(x。).h h 20 0 018.设f(n)(x0)存在,且f(x0)=f'(x0)=…=f(n)(x0)=0,证明f(x)=o[(x-x0)n](xfx0).证明因为f(x)lim =limxfx0(x-x0)nxfx0f(x)n(x-x0)n-1=lim f〃(x)xfx0n(n-1)(x-x0)n-2=limf(n-1)(x)xfx0n!(x-x0)1r=—lim

n!nxfx0f(n-1)(x)-f(n-D(x0)1x-x0n!f(n)(x0)=0,所以fx)=o[(x-x0)n](xfx0).19.设f(x)在(a,b)内二阶可导，且f〃(x)>0.证明对于(a,b)内任意两点x1,x2及0<t<1,有f[(1-t)x1+tx2]<(1-t)f(x1)+tf(x2).证明设(1-t)x1+tx2=x0.在x=x0点的一阶泰勒公式为因此f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f^(x-x0)2(其中己介于x与x0之间).因为f〃(x)>0,所以fx)fx0)+f'(x0)(x-x0).于是有fx1)Nfx0)+f'(x0)(x1一x0),fx2)fx0)tf'(x0)(x2-x0).于是有(1-)f(x1)+tf(x2)>(1-1)[f(x0)+f，(x0)(x1-x0)]+1fx0)+f，(x0)(x2-x0)]=(1-1fx0)+1fx0)+f'(x0)[(1-1)x1+1x2]-f'(x0)[(1-1)x0+1x0]4(x0)+f'(x0)x0-f'(x0)x0即所以20.=f(x即所以20.f(x0)<(1-1)f(x1)+tf(x2),f[(1-1)x1+tx2]<(1-1)f(x1)+tf(x2)(0<t<1).试确定常数a和b，使f(x)=x-(a+bcosx)sinx为当xf0时关于x的5阶无穷小.解f(x)是有任意阶导数的，它的5阶麦克劳公式为f〃(0)2,f〃'(0)3f((4)(0)jf(5)(0)f(x)=f(0)+f(0)x+ 2!-x2+ 3—x3+ 4!—x4+ 5—x5+o(x5)a+4b -a-16b=(1-a-b)x+——3—x3+ 5!——x5+o(x5).

要使f(x)=x—(a+bcosx)sinx为当xf0时关于x的5阶无穷小，就是要使极限「f(x) 1—a-ba+4b一a—16bo(x5)lim=lim[ 1 1 1 TOC\o"1-5"\h\zxf0x5 xf0xJx23；xdxJx23；xdx;解Jx2&dx=Jx:dx=止-x3+1-+13存在且不为0.为此令11-a-b=0[a+4b=0，….一4 1斛之得a=—,b=—.3因为当a=—,b=——时，33f(x)—a—16b1lim= =w0,x-0x5 5! 301所以当a=3,b=—3时,f(x)=x—(a+bcosx)sinx为当xf0时关于x的5阶无穷小.习题4—1.求下列不定积分：⑴J——dx；x2解J—dx=Jx-2dx=-——x-2+1+C=—-+C.x2 —2+1 x2)Jx\：xdx；解Jxyxdx=Jx2dx=解J—!=dx=Jx-2dx=x1-1+1x-2+1+C=2G+C3 .+C=—x33x+C.10(5)dx;解J—d-=dx=Jx2tx5 x2dx=151 +12x-2+1+C=—3- +C.2xvxJmxndx;解Jmxndx=Jn解Jmxndx=Jxmdx= xm+C= xm+C.n n+m—+1

J5%3dx;解J5x3dx-5Jx3dx=—x4+C.4J(x2-3x+2)dx;解J(x2-3x+2)dx-Jx2dx-3Jxdx+2Jdx—-x3--x2+2x+C.3 2J*(g是常数)；<2gh解J-dh=-工Jh-2dh-■v2gh2ggJ(x-2)2dx;解J(x-2)2dx-J(x2-4x+4)dx-Jx2dx-4Jxdx+4Jdx-3x3-2x2+4x+C.J(x2+1)2dx;解J(x2+1)2dx-J(x4+2x2+1)dx-Jx4dx+2Jx2dx+Jdx-5x5+3x3+x+C.J(、,x+1)(wx3-1)dx;x2dx+Jx2dx-Jdx解J(x.x+1)(v：x3-1)dx-J(x2-%'x+\x3x2dx+Jx2dx-JdxJ■(1zx)2dx;vx解J史上dx-J

%x(14)J3x4+3x2+1,1-2x+x2 - = dx=J(x、：xdx;1 132-2x2+x2)dx-2x2-x2+13x4+3x2+1 1解J dx-J(3x2+ )dx=x3+arctanx+C.x2+1 x2+1J-x^dx;1+x2解J——dx=Jx+「1dx-J(1-)dx-x-arctanx+C.1+x2 1+x2 1+x2(16)J(2ex+-)dx;x解J(2ex+3)dx-2Jexdx+3J1dx=2ex+3lnlxI+C.xxJ(———^=)dx;1+x211-x2解J(― =1+x2V1-x2)dx=3J-1-dx-2,J] dx=3arctanx-2arcsinx+C.vl-x2(18)Jex(1-e=)dx;Y,x解Jex(1-^=r)dx=J(ex(19)J3xexdx;x-x-2)dx=ex-2x2+C.解J39dx=J(3e)xdx=m+C=居+C.(20)J2，x-52xdx;3x解J2Sx-52xdx=J[2-5(2)x]dx=2x-5^—+C=2x 5—(2)x+C.3x 3 12 ln2-ln33In3(21)Jsecx(secx-tanx)dx;解Jsecx(secx-tanx)dx=J(sec2x-secxtanx)dx=tanx-secx+C.(22)Jcos2±dx;2解Jcos2鼻壮%=J1+cosXdx=—J(1+cosx)dx=-(x+sinx)+C.22(23)J1—dx;1+cos2x11+cos2Xdx=J 12cos2xdx-1tanx+C.2cos2x(24)J dx;cosx-sinxcos2X(25)Jcosx-sinxcos2X(25)Jcosx-sinxcos2xdx=Jcos2x-sin2xcosx-sinxdx=J(cosx+sinx)dx-sinx-cosx+C.cos2xsin2xdx;--)dx=-cotx-tanx+C.解J cos2x dx=--)dx=-cotx-tanx+C.sin2xcos2xcos2xsin2x cossin2xcos2x(26)J(1--—)vx<xdx；x2-、，47 ，-上「4-x4)dx=—x4+4x4+C.

7一曲线通过点(e2,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y=f(x),则由题意得y'=f(x)=1,x

所以 y=fdx=lnlx1+C.x又因为曲线通过点(e2,3),所以有=3-2=13=f(e2)=ln|e2|+C=2+C,C=3-2=1.于是所求曲线的方程为y=ln|x|+1.一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2(m/s),问(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？(2)物体走完360m需要多少时间？解设位移函数为s=s(t),则s'=v=3t2,s=J3t2dt=13+C.因为当t=0时,s=0,所以C=0.因此位移函数为s=13.⑴在3秒后物体离开出发点的距离是s=s⑶=33=27.(2)由13=360,得物体走完360m所需的时间t=^360x7.11s.证明函数-e2x,exshx和exchx都是—ex一的原函数.2 chx-shx证明ex ex ex证明= =—=e2x.chx-shxex+e-xex-e-xe-x22因为(2e2x)'=e2x,所以;e2x是』的原函数.因为(exshx)，=exshx+exchx=ex(shx+chx)=ex=ex(ex—e-x-2-ex+e-x+-2-)=e2x,所以exshx是 的原函数.chx-shx因为(exchx)'=exchx+exshx=ex(chx+shx)=e=ex(■ex+e-x+ex—e-x所以exchx是'的原函数.chx-shx习题4-2.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立(例如：dx=-d(4x+7):4dx=dd(dax);d解dx=dd(ax).adx=d(7x-3);d解dx=1d(7x-3).7xdx=d(x2);解xdx=1d(x2).％dr=d(5%2)；解%d%=—d(5]2).10%d%=d(1一％2)；解xdx=-2d(1-%2).%3dx=d(3x4-2);解%3d%=—d(3]4-2).12(7)e2%d%=d(e2%);解e2%d%=1d(e2%).乙e-%d%=d(1+e-2);解e-%d%=-2d(1+e-2).33sin—%d%=d(cos—%);223 23解sin—%d%=——d(cos—%).2 32d%—=d(5lnl%I);%d%1解一=1d(5lnI%I).%5d%=d(3-5lnI%I);%d%1解一=--d(3-5lnI%I).%5d%d(arctan3d(arctan3%);1+9%2d%1解 = d(arctan3%).1+9%2 3. =d(1-arctan%);<1-%2d%解. =(-1)d(1-arctan%).v1-%2%d%t/ 7、. =d(v；1-%2).\：1-%2%d% / Ji~~解, =(-1)d(%1-%2).v11-%2.求下列不定积分(其中a,b,①,①均为常数):⑴Je5tdt;解Je5tdt=5Je5%d5%=5e5%+c.(2)J(3-2%)3d%;解J(3—2%)3dx=—2J(3—2x)3d(3-2x)=—1(3-2x)4+C.11-2xdx；TOC\o"1-5"\h\z解J-1-dx=--J-1-d(1-2x)=-1lnl1-2x1+C.1-2x 21-2x 2dx1 1 13 2 1 2解J. =—J(2-3x)3d(2-3x)= (2-3x)3+C=——(2-3x)3+C.3.：2-3x 3 ) 32 7 2 7(5)J(sinax-eb)dx;解J(sinax-eb)dx=—Jsinaxd(ax)-bJebd(x)=--cosax-beb+C.a ba解J""Itdt=2JsinvtdYt=-2cosvt+C.解Jtan10x-sec2xdx解Jtan10x-sec2xdxJtanJtan%：1+x2--.xdxJtan%：1+x2--.xdx;v1+x2J1dx;ex+e-x11(8)JdxxInxInlnx(8)JdxxInxInlnxdxxInxInlnx=JInxInlnxdlnx=J——dlnlnx=lnllnlnxl+C.lnlnx解Jtanv'1+x2--.xdx=Jtanv1+x2d%1+x2=JY1+x2sinF1+x2-dx-1+x2cosv1+x2=-J 1 dcosJ1+x2=-lnlcos\1+x2l+C.cos<1+x2(10)J.dx;sinxcosx解J dx =Jsecxdx=J-d—dtanx=lnltanxl+C.sinxcosx tanx tanx解J dx=Jex+e-xe2x+1dx=J--—dex=arctanex+C.1+e2xJxe-x2dx;解Jxe-x2dx=--Je-x2d(-x2)=-—e-x2+C.2 2

Jx-cos(x2)dx;解Jx-cos(x2)dx=1Jcos(x2)d(x2)--1sin(x2)+C.TOC\o"1-5"\h\zJ. •dx;v2-3x2解J；x dx-1J(2一3x2)-；d(2一3x2)-i(2一3x2)；+C--L；2-3x2+C.(15)JH1-x4解J(15)JH1-x4解J工1-x4dx=--Jd(1-