全等三角形与旋转问题

七年级数学下全等三角形【1】如图，点为线段上一点，、是等边三角形．请你证明：⑴；⑵；⑶平分．【2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．【3】如下图，在线段同侧作两个等边三角形和()，点与点分别是线段和的中点，则是_____________。A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形【4】如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．【10】在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系。⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时=__________⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)【13】已知：如图，、、都是等边三角形，且、、共线，．求证：也是等边三角形．【11】(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF＝BEFD。如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．【14】如图所示，在五边形中，，，求此五边形的面积。【15】在五边形中，已知，，，连接．求证：平分．【16】如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．【17】在梯形中，，，，，，是中点，试判断与的位置关系，并写出推理过程．【18】在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化． 【19】等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．答案：【1】⑴∵、是等边三角形，∴，，∴，∴；⑵由易推得，所以，又，进而可得为等边三角形．易得．⑶过点作于，于，由；利用进而再证，可得，故平分．【2】∵，∴，；又∵、分别是、的中点，∴，∴，；∴；∴是等边三角形【3】易得．所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的．又为线段中点，为线段中点，故就是绕着点顺时针旋转而得．所以且，，故是等边三角形，选C．【4】∵是等边三角形，∴，．∴，同理，．∴在与中，∴，∴．【5】连接，将条件，这两个条件，易得()，得，由，，(公共边)，知()，∴．故的度数是定值．【6】连结由上可知，，，，而，．∴，∴，∴．【7】如图，将绕点顺时针旋转，得，连结，则，，，∴．∴，∴又易得，∴在中，有，故应选(B)【8】⑴证明：根据绕点顺时针旋转得到；∴∴，，，；在中；∵；∴；∴；即；∴；又∵；∴；∴；即；∴；∴；∴；⑵关系式仍然成立；证明：将沿直线对折，得，连∴；∴，；，；又∵，∴；∵；；∴；又∵；∴；∴，；；∴；∴在中；即；【9】如图所示，延长到使．在与中，因为，，，所以，故．因为，，所以．又因为，所以．在与中，，，，所以，则，所以的周长为．【10】BM+NC=MN;(2)猜想：仍然成立；证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE；；由是等边三角形，，；，；在与中； ；；的周长==；而等边的周长；；(3)；【11】证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG．∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝，AB＝AD，∴．∴AG＝AF，．∴．∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴．∴EG＝EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE＋FD(2)(1)中的结论仍然成立．【12】连接与；∵，∴，；∴在与中；；∴；∴在与中；∴；∴；∴为平行四边形，∴，互相平分．【13】连结，∵，，，所以，并且与的夹角为，延长交于，则．又因为，．所以．所以，．【14】连接，则发现≌，且，，，是底、高各为的三角形，其面积为，而与全等，从而可知此五边形的面积为．【15】连接．由于，．我们以为中心，将逆时针旋转到的位置．因，所以点与点重合，而，所以、、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，．所以．在与中，因为，，，故≌，因此，即平分．【16】答案：∵，，；∴∴；又∵；∴；【17】答案：延长交延长线于点．是中点，，，，，在和中，；，；又，在和中，；，【18】答案：连接．因为且，所以．因为是的中点，所以，且，则．因为，所以，所以，所以．因此是等腰直