从一道几何题谈几何画板与分类讨论思想的整合 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选从一道几何题谈几何画板与分类讨论思想的整合摘要：本文通过一道几何题的分析和猜想，借助几何画板绘图验证，进而完成推能力，积累数学学习成功体验，激发学习兴趣。关键词：初中几何；几何画板；分类思想；猜想、验证、推理、证明一、题目的由来暑假期间在教研组交流群里偶然看到一道几何题，问题如下：ABCDBC与AB的数量关条，并证明你的结论.图1题目附图同仁们在群里交流谈论，各抒己见，没有发现好的解决方法，引起了大家的兴趣。二、猜想与探究出来，进行分析、讨论和探究，进而解决问题。根据题目要求用几何画板将四个点一起绘制出来有些困难，但题干中12022年安徽省中小学教育教学论文评选的“AC⊥AD，AC=AD”可以得到△ACD是等腰直角三角形，因此我们可以先绘出任意长度的CD（CD长度可通过拖动D（如图B的三边所在直线将平面分成了7个部分（如图3），题干告知的是四边形ABCD（未注明能否是凹四边形），因此BBABCD是凸四边形，而在其他四个区域内，四边形ABCD是凹四边形。②A① ④A③C D⑤ ⑦⑥C D图2绘制等腰直角△ACD 图3平面被分成7个部分接着，利用几何画板分情形讨论：1．四边形ABCD为凸四边形由△ACD为等腰直角三角形，因此A点在以CD为直径的⊙O上（如图4），将①区域分成了三个部分，分别为：i区域、ii区域和上。AiiiC O D图4绘制等腰△ACD的外接圆当B点在B点不与CBD=90°、∠ABD=45°，此时∠CBD-∠ABD=45°符合题干条件，B点在上移动22022年安徽省中小学教育教学论文评选不改变上述结论，因此，只要B点在上，与A、C、D三点组成的四边形ABCD均的数量关系不固定，因而这种情况AB与BC的数量关系无法求出。A ABBC O DC O D图5B点在上的情形当B在i区域时（如图6），可以先在此区域任取一点B，测量出∠ABD的度数，再根据题意计算∠ABD+45°，将BD顺时针旋转∠ABD+45°，与射线DC交于点E，通过移动B点使E点与C点重合，此时∠CBD就等于∠ABD+45°，再通过“度量”BC和AB的长度，通过几个状态长度的观察，可以发现AB和BC发生同向变化，并且BC为AB的1倍多，因此我们尝试用“数据”菜单下的“计算”命令求出BC与AB的比值，得到比值为1.41。图6B点在区域i的情形32022年安徽省中小学教育教学论文评选通过改变比值的精确度可以发现1.41为近似值，首先想到该值应为

2，再联想到等腰直角三角形的斜边是直角边的

2倍，再由△ACD是等腰直角三角形，结合旋转相似模型（如图7），以A点为直角顶点作等腰直角△ABF，连接CF交BD于点G，若能证得BF=BC，便能得到上述结论。图7B点在区域i的辅助线接着我们将具体的解题过程书写如下：解：BC与AB的数量关系为BC=

2AB.AAB顺时针旋转交BD于点G.∵∠BAF=∠CAD=90°∴∠BAF+∠BAC=∠CAD+∠BAC即∠FAC=∠BAD又∵AF=AB，AC=AD∴△FAC≌△BAD∴∠FCA=∠BDA∴∠FCA+∠ACD+∠CDG=∠BDA+∠ACD+∠CDG=90°∴∠CGD=90°即BD⊥CF∵∠CBD-∠ABD=45°，∠ABF=45°∴∠CBD=∠ABD+∠ABF=∠DBF∴△BCF是等腰三角形∴BC=BF=

2AB当B点在iiB点在iBC是AB42022年安徽省中小学教育教学论文评选的2倍，因此，类似上述添加辅助线的方式也能推理出分析所得的结论。图8B点在区域ii的情形图9B点在区域ii的辅助线接着我们也可以将具体的解题过程书写出来：解：BC与AB的数量关系为BC=

2AB.AAB顺时针旋转CF交DB的延长线于点G.∵∠BAF=∠CAD=90°∴∠BAF+∠BAC=∠CAD+∠BAC即∠FAC=∠BAD又∵AF=AB，AC=AD∴△FAC≌△BAD∴∠FCA=∠BDA∴∠FCA+∠ACD+∠CDG=∠BDA+∠ACD+∠CDG=90°∴∠CGD=90°即BD⊥CF∵∠CBD-∠ABD=45°，∠ABF=45°∴∠CBD=∠ABD+∠ABF=∠DBF52022年安徽省中小学教育教学论文评选∴180°-∠CBD=180°-∠DBF即∠CBG=∠GBF∴△BCF是等腰三角形∴BC=BF=

2AB这样我们便求出B点在区域①时（除外），符合题意的四边形ABCD中，BC的长度是AB的

2倍。2．四边形ABCD为凹四边形当B点在区域⑤、⑦时（如图10），通过延长BC或BD交AD或AC于点E、F，均小于B点不可能在这两个区域，此情形排除。图10B点在区域⑤、⑦的情形及辅助线的作法当B点在区域②时（如图11），受凸四边形的情形的启发，移动B点使C点与E点重合，此时∠CBD=∠ABD+45°，符合条件的点B在区域②内不只一个，而计算得到的BC与AB的比值不是一定的，因而这一区域内符合题干条件的四边形与AB的数量关系无法求出。结合图形，我们还可以发现此时∠ABC的度数保持不变，为45°，因此B点在某ACAC所对圆心角为90°，62022年安徽省中小学教育教学论文评选如图ACO1DA的延长线为点E，B点就在上，当然不能与A、E两点重合，这样我们便利用几何画板绘出区域②内符合条件的B点的轨迹为一条弧，也能通过移动点B在上的位置验证分析的正确性，此过程不再赘述。图11B点在区域②的情形图12B点在区域②的轨迹当BBC与AB的比值为1.41，因而还是联想到比值应为

2，类似添加辅助线的方法可以进行推理论证。图13B点在区域③的情形 图14B点在区域③的辅助线72022年安徽省中小学教育教学论文评选将具体解答过程书写如下：解：BC与AB的数量关系为BC=

2AB.AAB顺时针旋转BF、CF，CF交DB的延长线于点G.∵∠BAF=∠CAD=90°∴∠BAF-∠BAC=∠CAD-∠BAC即∠FAC=∠BAD又∵AF=AB，AC=AD∴△FAC≌△BAD∴∠FCA=∠BDA∴∠FCA+∠ACD+∠CDG=∠BDA+∠ACD+∠CDG=90°∴∠CGD=90°即BD⊥CF∵∠CBD-∠ABD=45°，∠ABF=45°∴∠CBD=∠ABD+∠ABF=∠DBF∴180°-∠CBD=180°-∠DBF即∠CBG=∠GBF∴△BCF是等腰三角形∴BC=BF=

2ABB点在区域①和区域③、且不在以CD为直径的圆的劣弧AC上ABCD符合题设条件，且能计算出BC和AB的数量关系，它们的数量关系

2AB。符合条件且能求出BC与AB的数量关系的B点位置还可以归纳为在∠ADC内部某处且不在及线段AC上（如图15）。图15符合条件的B点所在区域CF与DB或DB延长线的交点G在上、F点与C点关于G点对称，于是我们思索能否通过反向作图绘出B点在此区82022年安徽省中小学教育教学论文评选域的轨迹，作图方法如下：如图16，在上任选一点G，作C点关于G点的对称点F点，连接AF，以A点AF逆时针旋转DB可以发现三点共线，然后拖动点G并追踪点BH（如图17），测量∠DBH的度数，通过拖动点G，发现∠DBH的度数不变，为135°，说明点B在某个圆的弦DH所对的弧上，此时∠DBH为弦DH所对的圆周角，利用“自定义工具”18），记为⊙O'，这样我们便绘出了符合题意且能求出BC与AB的数量关系的B点的轨迹为B点与三点重合以及点B在线段AC上的几种情况。图16符合条件的B点的轨迹图 图17动态测量∠DBH的大小图18符合条件的B点的轨迹所在圆92022年安徽省中小学教育教学论文评选三、反思与体会却解题无数”的感觉。“胜”在几种情形的完美呈