第06讲向量法求空间角（含探索性问题）（原卷版）

第06讲向量法求空间角1．异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).一．异面直线所成的角例1．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值．例2．如图所示，设有底面半径为的圆锥．已知圆锥的侧面积为，为中点，．(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线与所成角．【复习指导】：(1)求异面直线所成角的思路：①选好基底或建立空间直角坐标系．②求出两直线的方向向量v1，v2.③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．(2)两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围是θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．二．直线与平面所成的角例3．如图，在多面体中，已知是正方形，，平面分别是的中点，且．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．例4．已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且有．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【复习指导】：(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．(2)若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝eq\f(π,2)－β或θ＝β－eq\f(π,2)，故有sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|l·n|,|l||n|).三．平面与平面的夹角例5．如图，已知六面体ABCDPE的面ABCD为梯形，，，，，棱平面ABCD，，，，F为PD的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．例6．如图，平面四边形为矩形，平面，平面，．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【复习指导】：(1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量．②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解．四．立体几何中的探索性问题例7．已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角M－EC－F的余弦值，若不存在，说明理由．例8．如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2.(1)求证：A1E⊥平面BCDE；(2)求二面角E－A1D－B的余弦值；(3)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求eq\f(BP,BD)的值；若不存在，说明理由．【复习指导】：对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．1．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（

）A． B． C． D．2．在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（

）A．B．C．D．3．如图，在正方体中，E为棱上一点且，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．4．在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是线段上的动点，则当线段最短时，异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．7．在三棱锥中，两两垂直，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（

）A． B． C． D．9．已知点是平行四边形所在平面外的一点，，，，为线段的中点，为线段的中点，则（

）A．直线与直线所成角的余弦值为 B．是平面的法向量C． D．10．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是（

）A．120° B．45° C．150° D．60°11．在平行四边形中，角，将三角形沿翻折到三角形，使平面平面.记线段的中点为，那么直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．12．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则面与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．13．如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．14．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（

）A．1 B．2 C．3 D．415．在三棱锥中，面ABC，，，且，若G为△PAB的重心，则CG与平面ABC所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．16．如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（

）A． B． C． D．17．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则二面角的正弦值为（

）A． B． C． D．18．已知梯形如图（1）所示，其中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．已知当上一点满足时，平面平面，则的值为（

）A． B． C． D．19．如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．20．已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（

）A．2 B． C． D．21．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角APCB的余弦值为__________．22．已知E､F､G､H分别是正方体，边AB，CD，，的中点，则异面直线EH与GF所成角的余弦值为___________.23．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．24．在菱形ABCD中，，将沿BD折叠，使平面ABD⊥平面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.25．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．26．如图所示，在四棱锥PABCD中，，且，若，，则二面角APBC的余弦值为______．27．如图，在正三棱柱中，、分别是、D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.28．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________.29．如图所示，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为，则________.30．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是___________.①直线平面，②三棱锥的体积为定值，③异面直线与所成角的取值范围是④直线与平面所成角的正弦值的最大值为31．如图：在多面体中，底面是正方形，，．底面．(1)证明：平面．(2)求异面直线与所成角的余弦值．32．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为．（1）设圆锥的母线长为，求圆锥的体积；（2）设，、是底面半径，且，为线段的中点，如图．求异面直线与所成的角的余弦值．33．如图，三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，，．，分别为，的中点，平面，点在线段上．(1)求证：面面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．34．如图，已知直三棱柱中，，为中点，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．35．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面的夹角.36．如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.(1)求证：平面平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.37．如图所示，在直四棱柱ABCD中，底面ABCD为菱形，，，E为线段上一点.(1)求证：；(2)若平面与平面ABCD的夹角的余弦值为，求直线BE与平面所成角的正弦值.38．如图，四棱锥的底面是梯形．，，，．(1)证明：；(2)求平面APB和平面APC所成角的正弦值．39．如图所示，在直角三角形中，，，，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.(1)证明：；(2)求二面角的余弦值.40．如图，四面体，为上的点，且与平面所成角为，(1)求三棱锥的体积；(2)求二面角的余弦值.41．如图，在三棱锥中，平面，，，､分别为的中点.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.42．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥平面PBD；(2)求二面角P－AM－D的正弦值．43．如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，且，，平面ABCD，，．(1)求证：．(2)求二面角的余弦值．44．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面，点为线段上一点，且.(1)证明：平面；(2)若，，且三棱锥的体积为18，求平面与平面的夹角的余弦值.45．在如图所示的三棱锥中，已知，为的中点，为的中点，为的中点.(1)证明：平面.(2)求平面与平面所成锐角的余弦值.46．如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．47．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为