二次函数与一元二次方程不等式5题型分类

2.3二次函数与一元二次方程、不等式5题型分类一、一元二次不等式1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．二、二次函数图象、方程及不等式的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象得等的集不式解y＞0{x|x＜x1_或x＞x2}{x|x1＜x＜x2}Ry＜0{x|x1＜x＜x2}∅∅三、常用数集及表示符号x2－y2>0是一元二次不等式吗？此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.四、不等式解法1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0(＜0),cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0(＞0),cx＋d＜0))法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0(≤0),ax＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0(≥0),cx＋d＜0))法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(（ax＋b）（cx＋d）≥0（≤0）,cx＋d≠0))eq\f(ax＋b,cx＋d)＞keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(<k,≥k,≤k))(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件不等式ax2＋bx＋c>0ax2＋bx＋c<0a＝0b＝0，c>0b＝0，c<0a≠0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法设二次函数y＝ax2＋bx＋c若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k（一）一元二次不等式的解法1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边.2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.（2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.（3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.（4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.（5）写解集.根据图象写出不等式的解集.3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系.(3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.题型1：解不含参数的一元二次不等式11．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式的解集为（

）A．或B． C．D．或【答案】A【分析】利用“三个二次”的关系解二次不等式.【详解】不等式的解集为或.故选：A.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．12．（2023秋·湖南长沙·高二长沙一中校联考阶段练习）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式可得，求交集即可.【详解】因为，所以，故选：B.13．（2023秋·山东德州·高三统考期末）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先解出集合A,然后求．【详解】又所以故选：A【点睛】集合的交并运算：(1)离散型的数集用韦恩图；(2)连续型的数集用数轴．14．【多选】（2023·全国·高一专题练习）下列不等式的解集是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据一元二次不等式的解法及完全平方数的性质判断即可.【详解】对于A：恒成立，即不等式的解集为，故A错误；对于B：不等式，即，即，解得，所以不等式的解集为，故B错误；对于C：不等式，即，因为恒成立，所以不等式的解集为空集，故C正确；对于D：不等式，即，因为恒成立，所以不等式的解集为空集，故D正确；故选：CD15．（2023·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)或(2)(3)(4)(5)或(6)【分析】解一元二次不等式可求解（1）、（2）、（3）、（4）、（5），配方可求解（6）.【详解】（1）由，可得或，故不等式的解集为或.（2）由，得，解得，故不等式的解集为.（3）由，可得，即，解得，故不等式的解集为.（4）由，可得，解得，故不等式的解集为.（5）由，可得，即，解得或，故不等式的解集为或.（6）因为恒成立，所以不等式的解集为.16．（2023秋·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考开学考试）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)或(2)(3)(4)或【分析】根据一元二次不等式的求法直接求解即可.【详解】（1）由得：，解得：或，不等式的解集为或.（2），，不等式的解集为.（3）由得：，解得：，不等式的解集为.（4）由得：，解得：或，不等式的解集为或.题型2：解含有参数的一元二次不等式21．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先不等式转化为，再根据，结合一元二次不等式的形式求不等式的解集.【详解】原不等式可以转化为：，当时，可知，对应的方程的两根为1，，所以不等式的解集为：.故选：A.22．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x的不等式:.【答案】答案见解析【分析】对，，进行分类讨论进而解方程即可.【详解】①当时，不等式化为，解得，此时不等式的解集为;②当时，原不等式化为，解得不等式的解集为:；③当时，原不等式化为:，解得不等式的解集为:.综上所述，当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为23．（2023秋·高一课时练习）解关于的不等式：．【答案】答案见解析.【分析】分，，，，五种情况讨论求解即可.【详解】原不等式可化为，当时，，得，当时，由，得，解得，当时，，得，解得，当时，由，得，此时，，所以解得，或，当时，由，得，此时，所以解得，或，综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或．24．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设，解关于的不等式：．【答案】答案见解析【分析】将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解.【详解】解：由可得.（1）当时，原不等式即为，解得；（2）当时，解方程可得或.①当时，，解原不等式可得或②当时，则，解原不等式可得；③当时，原不等式即为，解得；④当时，，解原不等式可得.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.25．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式【答案】答案见解析【分析】原不等式可化为，分、、三种情况求解即可.【详解】原不等式可化为.当，即时，或；当，即时，；当，即时，或.综上，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或.26．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知，，求关于的不等式的解集.【答案】答案见解析【分析】讨论，、、且三种大情况，解不等式得到答案.【详解】①当时，不等式的解为.②当时，令解得；当时，，解得；当时，，不等式的解集为R；当且时，由基本不等式得，解得或.综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为R；当且时，不等式的解集为或.27．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）设集合，.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)62(2)或【分析】（1）化简集合并得集合的元素个数，从而利用非空真子集的个数公式计算即可；（2）分两种情况讨论，当时，根据计算，当时，由列不等式组，求解集即可.【详解】（1）当时，集合，A中共有6个元素，所以A的非空真子集的个数为.（2）当集合时，无解，即，解得，此时满足；当集合，即时，，若，则集合，因为，所以，所以，不符合题意，舍去；若，则集合，因为，所以，所以，综上所述，实数m的取值范围为或.（二）三个“二次”之间的关系及应用三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．(3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系.题型3：由不等式的解集求参数31．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式的解集是，则（

）A．10 B．6 C．0 D．2【答案】A【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得即可得出结果.【详解】因为不等式的解集是,所以的两根为，则，即，所以.故选：A【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求解参数，一元二次不等式的解法，属于基础题.32．（2023春·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）若不等式的解集为，则．【答案】.【详解】分析：由不等式和方程的关系，可直接代入求的值，进而求出的值．详解：根据不等式解集与方程的关系，将带入得所以由可得点睛：本题考查了不等式和方程的关系，利用不等式解集的边界为方程的解，可直接代入求得的值．33．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于的不等式的解集是，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，是方程的两根，根据韦达定理便可求解．【详解】关于的不等式的解集是，，是方程的两根，，解得，，故选：B．34．【多选】（2023秋·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知不等式的解集为或，其中，则下列选项正确的是（

）A．B．不等式的解集为或C．D．不等式的解集为或【答案】AB【分析】对于A，由不等式的解集进行判断，对于BD，由韦达定理，然后结合一元二次不等式的解法进行判断，对于C，由不等式的解集结合根与系数的关系判断.【详解】不等式的解集为或，所以，，所以A正确，所以，由解集形式可知，由于，所以，所以，所以C不正确，由，得，因为，所以，即，因为，所以，所以不等式的解集为或，所以B正确，D错误，故答案为：AB35．【多选】（2023秋·江苏南通·高一校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是或【答案】ACD【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项.【详解】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；易知，和是方程的两个实数根，由韦达定理可得，则；所以不等式即为，解得，所以B错误；易知，所以C正确；不等式即为，也即，解得或，所以D正确.故选：ACD36．【多选】（2023秋·山西运城·高一校考阶段练习）已知一元二次方程的两个根为，且，那么满足的的取值有（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据一元二次不等式对应方程的根确定其解集即可.【详解】∵一元二次方程的两个根为且，∴由得：或.故选：AB37．（2023秋·重庆·高一开学考试）若一元二次不等式的解集是，那么不等式的解集是.【答案】或【分析】由题意可得方程的解是和，由根与系数的关系可得，，代入不等式，解不等式即可求出答案.【详解】的解集是，所以方程的解是和，且，由根与系数的关系可得：，，解得，，所以不等式变形为，即，其解集是或．故答案为：或38．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据根与系数的关系利用韦达定理求解系数，然后解不等式即可；【详解】由不等式的解集为，知是方程的两实数根，由根与系数的关系，得，解得：，所以不等式可化为，解得：或，故不等式的解集为：.故选：D.39．（2023秋·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）不等式的解集是，集合．(1)求实数a，b的值；(2)若集合A是B的子集．求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意知，且方程的两个根为，代入求解即可；（2）由（1）化简集合，再分类讨论，利用集合的包含关系求参数即可得解.【详解】（1）由题意知，且方程的两个根为，代入得，解得.（2）由（1）知，故集合，于是有，可得，若，可得，解得；若，可得，解得；若符合条件.故实数的取值范围是.310．（2023秋·浙江丽水·高一统考期末）已知函数，若的解集中有且仅有两个整数，则的取值范围是.【答案】【分析】根据，的解集中有且仅有两个整数，得到两个整数为0和1求解.【详解】解：因为，且的解集中有且仅有两个整数，所以，解得，所以的取值范围是，故答案为：311．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（

）A． B． C． D．2【答案】CD【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可.【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数，当时，不等式化为，则解集中有无数个整数.当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误；所以，，，所以所以不等式的解集为：，根据0一定属于此集合，则由不等式的解集中恰有3个正整数，则这3个整数中一定为：，则，解得故可取和2，故C,D正确，AB错误；故选：CD.（三）分式不等式的解法（1）解分式不等式的策略:对于形如的不等式可等价转化为来解决;对于形如:的不等式可等价转化为来解决.（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．题型4：解分式不等式41．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式的解集是．【答案】或【分析】分式不等式转化为一元二次不等式，求出答案.【详解】等价于，解得或，故解集为或.故答案为：或42．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】应用分式不等式的解法，结合解一元二次不等式求解集即可.【详解】由题设，可得，故解集为.故选：D43．（2023秋·河南商丘·高一统考期中）不等式的解集是．【答案】【分析】分式不等式可转化为整式不等式求解，但要注意分母不为零.【详解】不等式等价于，解得.故解集为：.故答案为：44．（2023秋·高一课时练习）解不等式.【答案】或【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式进行求解即可.【详解】移项得，左边通分并化简得，即，可转化为解得或，所以原不等式的解集为或45．（2023·全国·高一专题练习）解不等式.【答案】或【分析】解分式不等式即可.【详解】因为，所以，即，所以，解得或，所以原不等式的解集为或.46．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，则．【答案】【分析】根据分式不等式的解法求解即可.【详解】解：原不等式等价于，化简得，所以，又等价于，解得：所以，故答案为：．（四）不等式恒成立问题1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，题型5：不等式恒成立问题51．（2023春·湖南·高二开学考试）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】根据基本不等式“1”的代换求得的最小值，从而可得恒成立，根据一元二次不等式即可解得实数m的取值范围.【详解】，当且仅当，即时等号成立，所以，解得，即实数m的取值范围是．故答案为：.52．（2023秋·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考阶段练习）设.(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)已知解关于的不等式【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，转化为对一切实数恒成立，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；（2）根据题意，求得的两个根为，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：由对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立，当时，，不满足题意；当时，则满足，解得，综上所述，实数的取值范围为.（2）解：由不等式，即，方程的两个根为，①当时，不等式的解集为②当时，不等式的解集为③当时，不等式的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，解集为.53．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）对进行分类讨论来分析恒成立问题.（2）解不等式时要对进行分类讨论.【详解】（1）不等式.当时，，即不等式仅对成立，不满足题意，舍.当时，要使对一切实数恒成立.则解得.综上，实数的取值范围为.（2）当时，解得.当时，.①若，的解为；②若，当即时，解得.当时，，的解为或.当时，，的解为或.综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或.54．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）函数类型不定，需对的系数分类讨论，结合图象即得答案.（2）对应函数类型不定，需对的系数分类讨论，对应方程有根大小不定，需分类讨论，结合图象即得答案.【详解】（1）由已知得，在R上恒成立.①当时，显然不满足题意.②当时，只需满足，解得.综上所述，实数的取值范围为.（2）不等式，即为，即，可化为.①当，即时，，解集为；②当，即时，，解集为或;③当，即时，i当，即时，解集为；ii当，即时，解集为；iii当，即时，解集为.综上所述：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.55．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析.【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.(2)分类讨论解一元二次不等式即可作答.【详解】（1），恒成立等价于，，当时，，对一切实数不恒成立，则，此时必有，即，解得，所以实数的取值范围是.（2）依题意，，可化为，当时，可得，当时，可得，又，解得，当时，不等式可化为，当时，，解得，当时，，解得或，当时，，解得或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或.56．（2023秋·高一单元测试）设.(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围;(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由题意等价于对于一切实数x恒成立，由可得答案；（2）转化为不等式，分、、讨论解不等式可得答案.【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数x恒成立，等价于对于一切实数x恒成立，所以，解得，故实数a的取值范围为；（2）不等式，即，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.一、单选题1．（2023秋·高一课时练习）不等式的解集是（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】先将原不等式转化为，然后解不等式组可得答案【详解】原不等式可化为，所以解得或，故原不等式的解集为或．故选：D2．（2023秋·高一课时练习）若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据得到，从而求出不等式的解集.【详解】因为，所以，即，则，解得：，所以不等式的解集为，故选：D.3．（2023秋·江苏盐城·高一统考期中）已知关于的不等式的解集为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，由此可求得的值.【详解】因为关于的不等式的解集为，则关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得，解得，因此，.故选：B.4．（2023·全国·高一专题练习）关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意，求得一元二次不等式的解集，结合端点的大小列出不等式，即可求解.【详解】由不等式，可得，当时，即时，可得，即不等式的解集为，若满足解集中恰好有2个整数，则，解得；当时，即时，可得，即不等式的解集为，若满足解集中恰好有2个整数，则，解得；当时，即时，即不等式的解集为，显然不成立，综上可得，实数的取值范围是.故选：C.5．（2023·全国·高一专题练习）已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（

）A．2 B．1 C．1 D．2【答案】A【分析】先根据一元二次不等式的解集求参，再结合基本不等式求最值即可.【详解】的解集为，故为方程的两个根，且（当且仅当时等号成立）.故选：A.6．（2023秋·高一单元测试）已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件得到有两个不等的实根，得出的取值范围，再根据的范围得出，所以要满足题意，则有，解之可得实数的取值范围.【详解】函数，集合，中为整数的解有且仅有一个，所以方程有两个实根，即，解得或（舍去），当时，又，，所以要使集合有且只有一个元素，则有，解得，故．故选：．7．（2023秋·吉林长春·高一校考期中）如图是函数的图象，则不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.【详解】由二次函数图象可得：若，则或，故不等式的解集为或.故选：C.8．（2023春·山西朔州·高一校考阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】根据一元二次不等式恒成立，结合判别式列出关于m的不等式，即可求得答案.【详解】由题意得关于的不等式对任意的恒成立，故恒成立，即，故的最大值为，故选：C9．（2023·全国·高一专题练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】转化存在量词命题的否定为真命题，列式求解.【详解】命题“，使得”是假命题，即“成立”是真命题，故，解得.故选：C.二、多选题10．（2023秋·高一单元测试）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数的值可以是（

）A．2 B．1C．3 D．5【答案】AD【分析】将“不等式有解”转化为，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【详解】因为不等式有解，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，即，解得或.故选：AD．11．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．的解集为或【答案】ABC【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项.【详解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或，那么，所以，所以，且，故ABC正确；不等式，即，解得:,所以不等式的解集为，故D错误.故选：ABC12．（2023秋·福建泉州·高一统考期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（

）A．0 B． C．1 D．【答案】BC【分析】原不等式可化为，根据一次函数和二次函数的图象可知和为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求的范围即可.【详解】可化为，因为关于的不等式的解集中恰有两个整数，由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数，所以解得，故选：BC13．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）下列结论正确的是（

）A．不等式的解集为或B．不等式的解集为或C．不等式的解集为或D．不等式的解集为或【答案】AD【分析】由分式不等式的解法求解不等式后判断，【详解】由得，解得或，由得，即，解得或，故选：AD14．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式的解集为，则实数可能是（

）A．0 B．2 C．9 D．13【答案】ABC【分析】根据二次函数的性质，结合不等式恒成立，可得答案.【详解】当时，不等式为，显然不成立，符合题意；当时，令，显然函数为开口向上的抛物线，由不等式的解集是，则，解得.当时，令，显然函数为开口向下的抛物线，所以不等式显然解集不可能是.所以.故选：ABC.三、填空题15．（2024秋·吉林通化·高三校考阶段练习）不等式的解集是.【答案】【分析】根据一元二次不等式的求解即可得作答.【详解】由得，故答案为：.16．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式的解是或，不等式的解集为.【答案】或【分析】由题意可得，2和3是方程的两个根，然后利用根与系数的关系表示出，代入中求解即可【详解】因为不等式的解是或，所以，2和3是方程的两个根，所以，解得，所以不等式可化为，因为，所以，得，解得或，所以不等式的解集为或，故答案为：或，17．（2023·全国·高一专题练习）对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接检验即可；在第二种情况下，根据二次不等式恒成立，可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】对任意的实数，不等式恒成立，当时，即当时，则有恒成立，合乎题意；当时，即当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.18．（2023·全国·高一课堂例题）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】根据二次函数的性质分类讨论求解最值即可求解，或者利用参数分离，结合基本不等式求解最值.【详解】方法一

∵当时，不等式恒成立，∴只需求出函数的最小值，令最小值大于0即可.二次函数的图象的对称轴为.当，即时，函数在处取得最小值，则，，∴.当，即时，函数在处取得最小值，∴，解得，∴.综上，实数a的取值范围为.方法二:∵，∴由得.∵，当且仅当，即时等号成立，∴的最大值为，∴.故a的取值范围为.故答案为：19．（2023秋·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）不等式的解集为.【答案】【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.【详解】根据不等式整理可得，即，等价于，解得；所以不等式的解集为故答案为：20．（2023秋·全国·高一专题练习）若不等式对一切实数x都成立，则的取值范围为.【答案】【分析】根据题意，分和，两种情况，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由不等式对一切实数都成立，当时，即，可得，此时对一切实数都成立；当时，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题21．（2023秋