两个计数原理,排列与组合,二项式定理知识点

基础--综合--能力--创新排列,组合,二项式定理一.两个基本计数原理㈠分类计数原理(加法原理)：做一件事情,完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.㈡分步计数原理(乘法原理)：做一件事情,完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法， ,做第n步有m〃种不同的方法，那么完成这件事有N=mxmx…xm种不同的方法.㈢分类计数原理和分步计数原理的联系与区别:两个原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题.它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算只不过利用分类计算原理时,每一种方法都可能独立完成事件;如需连续若干步才能完成的则是分步.利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性;利用分步计数原理,重在分步;步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步.★乘法原理:可以有重复元素的排列(“邮筒投信”问题)•••••••★从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二......第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数为m・m・...m=mn..例1.将n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？(解:mn种)例2.有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？(解：35种)三排列与排列数排列的概念:从n个不同元素中，任取m(m<n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m(m<n)个元素的一个排列.排列数的定义:从n个不同元素中，任取m(m<n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m(m<n)个元素的排列数。排列数用符号A；表示.排列数公式Am=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=~、(n,meN,m<n)n \n一m刀 +全排列数公式Am=n・(n一1).(n一2)...3.2.1=〃!(叫做n的阶乘)规定：1)0!=1注意：1)n-n!=(n+1)!-n! 2)Am1=A^1+Am'Cm-i=Am+mAm-i 3)Am=nAm-i☆含有可重元素的排列问题：•••••••对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素%，a2・・・ak其中限重复数为n1>n!n2 nk,且n=n1+n2+ nk,则S的排列个数等于〃!n!...n!1,2•…k*例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n=d+2)!=31!2!3!一又例如:数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数n=3j=1.四.组合与组合数(1)组合的定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m<n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m(m<n)个元素的一个组合.⑵组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m<n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m(m<n)个元素的组合数.组合数用符号C：表示.组合数公式Am n(n-1)(n-2)・・・(n-m+1) n!%=Am= m =mGF(n,心+，m<n)m特别地i)co=cn=1组合数的性质:①Cm=Cn-m, ②Cm=Cm+Cm-1nn n+1 nn说明:1.排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”一.取出元素后交换顺序，一如果与顺序.有关是排列,一如果与顺序无关即是组合解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”.②要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数及组合数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解,检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果.四字口诀:求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘.”对组合数性质的解释:①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，是一样多.就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中,n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有Cm-1.C1=Cm-1一类是不含红球的选法有Cm)n1n n根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有Cm-1,n. , m 一如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素,所以共有Cn种,依分类原理有Cm-1+Cm=Cm常用的证明组合等式方法裂项求和法.如：1+-+-+ 。=1——L(利用上1=-^--1)2!3!4! (n+1)! (n+1)! n! (n-1)!n!导数法； iii.数学归纳； iv.倒序求和法.V.递推法(即用Cm+Cm-1=Cm递推)如:C3+C4+C3+…。3=C〃+4.nnn+1 345 nn+1vi.构造二项式.如:(C0)2+(C：)2+…+(Cn)2=C2n证明:这里构造二项式(X+1)n(1+X)n=(1+X)2n其中蜀的系数，左边为CoCn+C1Cn-1+C2Cn-2+…+Cn。。=(Co)2+(C)2+…+(Cn)2，而右边=C2；几个常用组合数公式C0+C1+C2+・・"n=2nnnn nnnn nunCm+Cm+Cm...+Cm=Cm+1m m+1 m+2 m+n m+n+1五解决排列及组合问题的常见方法:另见资料★六.二项式定理及其应用：㈠二项式定理:(a+b)n=Coan+Clan-1b+•・•+C’an-rbr+•.・+Cnbn及其展开式叫做二项式定理。其第r+1项为匕+1=Cran-rbr，其中C；(r=0,1,2…,n)叫做第r+1项的二项式系数.㈡二项式定理:(a+b)n=C0anb0+C1an-1b+…+C；an-rbr+…+C：a0bn.展开式具有以下特点：项数:共有n+1项；②系数:依次为组合数C0,C1,C2,…,C：,…,Cn;③每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列,b的升幂排列展开.二项展开式的通项.(a+b)n展开式中的第r+1项为:T,+1=C：an-rbr(0<r<n,reZ).二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；二项展开式的中间项二项式系数最大.n1.当n是偶数时，中间项是第；+1项，它的二项式系数Cn最大;n—1 n+1II.当n是奇数时,中间项为两项,即第号项和第号+1项,它们的二项式系数C2n=C2n最大.C0+C1+…+Cn=2n系数和：nnnC0+C2+C4+•.=C1+C3+•.=2n-1nnn nn附:一般来说(ax+by)n(a,b为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解.

当I当I』。1或Ib。1时,一般采用解不等式组J"Ak-A+1(a为t 的系数或系数的绝对值)A<A k k+1lk k-1的办法来求解.如何来求(q+b+c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,rgN,且p+q+r=n把(a+b+c)n=[(a+b)+c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cr(a+b)n-rCr，另一方面在(a+b)n-r中n含有bq的项为Cqan-r-qbq=Cq』Pbq，故在(』+b+c)n中含aPbqc，的项为C^Cn户必强’.其系n-r n-r nn'数为"-=；!^-q、。)!=湍."n一归-二项式定理实质是公式(a+b)2=a2+2ab+b2、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3等的推广,它揭示了二项式的n次幕的展开式在项数、系数、次数等方面的联系，特别是通项公式即展开式第r+1项七+1=Cran-rbr，学习时注意其结构特征及a,b的指数n,r间的内在联系.因通项公式中含有a、b、n、r、T五个元素,故只需知其中的四个元素,可以求第五个元素.r+1对一般的系数和问题，可在二项式定理中令b=x，则二项式定理转化成函数f(x)=(a+x)n=a0+a1x+a2x2+..•+axn的形式，展开式的各项系数和便化归为求函数值的问题，其各项系数和a0+a1+a2+....+an为f(1),奇数项系数和为f(1)：f(I,一，…ff(1)-f(-1)偶数项系数和为f()f();对于整除或求余数(余式)问题，常需灵活配凑变形成利于问题