从高考题“断臂维纳斯”看数学学科素养 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选从高考题“断臂维纳斯”看数学学科素养摘要：以著名的雕塑“断臂维纳斯”为命题背景，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育，考查了学生的数学阅读能力、数学建模能力、估算与近似计算能力，渗透了数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养。从命题立意、思想方法、学情分析、教法分析、迁移拓展、考题价值与备考启示六个方面展开本题的具体阐述，题目中所给数据体现了黄金分割与斐波那契数列的密切联系，思路二中的优化计算充分说明了这一点，思路五则从数学的角度证明了美术生在绘画人体时“立七坐五蹲三”中“立七”的原因所在，引导学生关注美学知识，提炼有价值信息，调动各种思维解决问题,使不同的人在数学上得到不同的发展。关键词：断臂维纳斯，美育教育，估算与近似计算，数学建模能力，数学核心素养。爱因斯坦说过，“什么是教育？当你把受过的教育都忘记了，剩下的就是教育。”所以说，最重要的不是你所学到的知识，而是你学习新事物和解决新问题的能力，以及你在2019年全国一卷数学选择题第4题为例展开说题，让我们通过一道数学题来认识一下数学教育的育人价值所在。原题再现：图1断臂维纳斯本题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为命题背景，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育，考查了学生的数学阅读能力、数学建模能力、估算与近似计算能力，渗透2022年安徽省中小学教育教学论文评选了数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养。命题探源:人教版小学数学六年级上册第51页的阅读资料《你知道吗》就谈到了“黄金比”——0.618:1。人教版中学数学九年级上册第18页的阅读与思考《黄金分割数》中也谈到了黄金分割比例。人教版高中数学必修五第67页，第三章《不等式》引言部分也提到了黄金分割值0.618.芭蕾舞演员在表演时，脚尖立起给人以美的享受，原来脚尖立起调整了身材的比例。女士们追求美而穿高跟鞋，其目的之一就是在追求这个比值。所以高考的公平性，不仅要体现在组织形式上的公平性，更重要的是在命题内容上的公平性。我将从以下六个方面具体展开我对本题的阐述。一、命题立意1.核心价值角度有效落实了服务选才、引导教学这一根本任务。2.学科素养角度从高考数学学科素养的角度来看，本题对学生在数学应用、理性思维、数学运算、数学文化等方面都提出了一定的要求。近几年来，高考数学命题从数学文化角度对命题内容进行了积极有益的尝试，出现了一些渗透数学文化的精彩题目。3.关键能力角度高考评价体系中要求以关键能力为重，本题突出考查了学生的数学阅读能力、数学建模能力、运算求解能力以及创新能力。4.必备知识角度本题考查了“线段成比例模型”、“一元一次不等式模型”以及估算与近似计算。知识为基”这一高考命题理念！二、思想方法2022年安徽省中小学教育教学论文评选图2数学思想与方法从数学方法的角度来看，本题使用了估算与近似计算方法、类比归纳方法、建模法、类比归纳思想；数学思想和数学方法二者并不是孤立的，而是辩证统一的。为了提高教学的针对性与有效性，我提前做了试题调研，得到以下数据：三、学情分析为了提高教学的针对性与有效性，我提前做了试题调研，得到以下数据：表1试题作答情况表本班得分数据正确人数错误人数合计猜答案325连算带猜14420分析计算解答27330合计441155从表格中我们可以看出:知识能力基础：1.线段成比例模型与一元一次不等式模型。2.估算与近似计算。3.类比推理与合情推理。2022年安徽省中小学教育教学论文评选欠缺能力：1.数学阅读能力整体偏弱。2.数学建模能力不足。3.对估算及近似计算掌握不够灵活。然后依据前苏联教育家、心理学家维果茨基的最近发展区理论，设计针对性问题，引导学生提取题目有效信息，进行数学抽象，在小组合作讨论中建立数学模型，设计运算过程，最终解决问题。四、教法分析思路一：构建数学模型高中数学课程标准要求学生会用数学的眼光观察世界，数学的眼光就是数学抽象，而学生的数学抽象能力严重不足。在这道题目中，我将引导学生把维纳斯抽象为某人，把某人的身高抽象为某条线段的长度。通过小组合作提取题目有效信息，把头顶至肚脐的长度抽象为字母a，把肚脐至足底的长度抽象为字母b，把头顶至咽喉的长度抽象为字母c，把咽喉至肚脐的长度抽象为字母d，另外根据题干中的数据，头顶至脖子下端的长度为26cm，腿长为a+b语言，也就是符号之后，我们可以得到如下数学模型，这就是数学建模的过程。在建立了数学模型之后，又该如何解决问题呢？探究运算思路、选择运算方法，设计运算程序来解决问题是我们本节课的教学重点。经过分析之后得知，本题是在确定a+b的范围，属于数学中常见的范围计算问题。解：设某人身高为ℎ，则ℎ=a+ba①因为b>105,

=0.618⇒a=0.618b,所以ℎ=a+b=1.618b>169.8c②因为c<26,

b=0.618⇒d=

c c⇒c+d=c+

<68.07,d 0.618

0.618a即a<68.07，又

=0.618⇒b=

a,所以ℎ=a+b<178.22.b 0.618所以169.89<ℎ<178.22，故某人的身高可能是175cm。2022年安徽省中小学教育教学论文评选总结：这种思路体现了数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养。思路二：构建数学模型后的优化计算提升学生的数学运算素养，理解运算对象的含义、作用至关重要，优化计算、估算在高考评价体系中也提出了明确的要求。由于本题处在选择题第4题的位置，而且又是计算某人身高可能是多少，所以在本题中有学生采取把0.618用21分之13代替，而且他还能发现26与13的关系、105与21的关系，在这要的优化计算之下，可以大大减少我们的计算时间。解：设某人身高为ℎ，则ℎ=a+ba①因为b>105,

13= ⇒a=

13b,所以ℎ=a+b=

34b>170bc②因为c<26, =d

2113⇒d=21

2113

⇒c+d=

13

21<a即a<68，又 =b

13⇒b=21

21a13

,所以ℎ=a+b=

34a<178.13所以170<ℎ<178，故某人的身高可能是175cm。总结：这种思路充分体现了逻辑推理、数学运算的核心素养。思路三：估算与近似计算很多情况下，数学问题的解决大都离不开转化与化归，转化与化归思想是一种非常重要的思维方式，在高考中占有十分重要的地位，那么在这道题目中，我发现有不少同学都采用了转化与化归思想来解决问题，通过把不等关系转化为等量关系进行计算。解：设某人身高为ℎ，则ℎ=a+b估算一：估算b=105,a=13⇒a=13b,所以ℎ=a+b=34b=170--不足近b 似值估算二：估算c=26,c=13⇒d=21c⇒c+d=34c=d a 过剩近似值即a=68，又= ⇒b= ,所以ℎ=a+b= a=178--过剩近似值b 2022年安徽省中小学教育教学论文评选故某人的身高可能是175cm。总结：这种思路考查了估算与近似计算方法，转化与化归思想.估算与近似计算不仅在数学学科上有着广泛的应用，在其他学科上也有广泛的应用，例如，地理学科中，同一经度线或者同一纬度线上两个城市之间的距离计算。除了前三种思路之外，我发现学生还有另外两种不同的思维角度，学生美其名曰“秒杀”。思路四：“秒杀一”考虑到腿长为105cm，而且满足两个黄金分割，于是想到如果选择C、D，作为女性太高了，又由于维纳斯是西方美女，于是排除了A，故选择B。你可能会说，你这是纯蒙，那我想说，你错了，这是在考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理与直观想象的核心素养。总结：体现了逻辑推理与直观想象的核心素养。思路五：“秒杀二”美术生这样完成的，人的身高大约是头长的726cm是大于头长的，所以可以估计头长大约在24至25之间，那么这个人的身高在175是最有可能的，故选择B。a下面我从数学的角度来论证美术生的结论。我们知道，当b=

5−12

时，有a

b+b=

5−1,2AB=即一条线段ABC,当=BC

5−12

BC=时，则有=AC

5−12a7

，其中13

5−12 ≈a8

=21

≈0.619时，已经接近5−1，后面的各项都有

lim

an 5−1= 。再来看本试题所研究的数学模型：2 n→+∞an+1 2当我们已知a时，由上述关系可知，b=

5+12 a，c=a+b=

5+32 a，l=5+3

5+32

5+32c+d=

2 c=(

2 )

2 ) =≈估算成l≈7a。这正是绘画人体时“立七坐五蹲三”中“立七”的由来。2022年安徽省中小学教育教学论文评选∗ =26，a∗ >a，d∗ =105，d∗ <l∗ <7a∗ =7×26=∗ <6.85×26=178.1cm。5+32

5−1

5+1又因为l=(

2 )a的关系，改用d表示可得l=c+d=

2d+d=

2 d≈∗ >1.618×105=<l∗ <178.1（#），故某人的身高可能是175cm。5−1 13

21 2

342

342用=(

+1)a=(

)∗ =26时，l<() ×2 21 13 13 1321 2126≈178cm，又l=

13d=

13×105≈169.6cm，所以169.6<l∗ <178，与（#）的估计差距很小，所以某人的身高可能是175cm。105除以人的身高最有可能是上了解到，人的肚脐至足底的长度与身高的比例也是0.618.总结：由此可见，引导学生关注美学知识，提炼有价值信息，调动各种思维解决问题,使不同的人在数学上得到不同的发展。一道题带给我们的思考远远没有结束，为了进一步培养能力、提升素养，从改变题目的条件、结论等角度做了如下拓展：五、迁移拓展总结：通过一题多变，培养学生的创造性思维。 图3断臂维纳斯拓展二：(黄金分割)古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论,利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点,具体方法如下(如图):2022年安徽省中小学教育教学论文评选图4(1)作线段AB=2,过点B作AB的垂线,并用圆规在垂线上截取BC=1AB,连接AC;2(2)以C为圆心,BC为半径画弧,交AC于点D;(3)以A为圆心,以AD为半径画弧,交AB于点E.则点E即为线段AB的黄金分割点.若在线段AB上随机取一点F,则使得BE≤AF≤AE的概率约为(参考数据:

5≈2.236)( )A.0.236 B.0.382 C.0.472 D.0.618总结：仍以黄金分割为背景，与概率计算相结合，体现数学知识的综合性。图5总结：将中国传统文化融入黄金分割背景中，渗透美育教育的同时弘扬中国传统文化。数学教育不仅要体现在德育、智育上，还要关注美育、劳动教育、体育，实现五育并举，综合育人。数学讲究学以致用，所以我给学生留了一道课后实践作业：设计最适合你的高跟鞋的高度。六、考题价值与备考启示总之，此题以知识为基，重点考查了数学阅读能力、逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力和创新能力等关键能力，对理性思维、数学应用、数学探索、数学文化这些高考数学学科素养均有很好的考查