双等腰三角形教师版

双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。模型一、如图，AB=AC,AD=AE,求证：nBAD=2nEDC。••・AB=AC,.•.设nABC=nACB=a,••・AD=AE,...设nADE=/AED=B，其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角nEDC邛-a,那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角nBAD=NADC-NABC=2B-2a,.nBAD=2nEDC。模型一变式、①如图，AB=AC,nBAD=2nEDC,求证：AD=AE。②如图，AD=AE,nBAD=2nEDC,求证：AB=AC。

模型二、如图，AB=AC=AD，求证：(1)nCAD=2nCBD;(2)zBAC=2zBDCo•・AB=AD，，设nABD=nADB=a,•・AB=AC,...设nABC=/ACB=B， /其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线， B乙=那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角nDBC=3a,那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角nCAD=NBAD-NBAC=232a,•.nCAD=2nCBDo同理可证，nBAC=2nBDCo模型二变式、①如图，AB=AC,nCAD=2nCBD,求证：AB=AD。②如图，AB=AC,nBAC=2nBDC,求证：AB=AC。模型二思考、等腰MBC与等腰MCD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=AD，求证：(1)nCAD=2nCBD;(2)nBAC=2nBDC;(3)nBAD=2nBCDo「AB=AD，，设nABD=nADB=a,「AB=AC,...设nABC=/ACB=B，

其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么乘U余的底BD与乘"余的底BC的夹角nDBC=B+a,那么剩余的腰AC与剩余的腰AD其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，C・•.nCAD=2nCBD。C同理可证nBAC=2nBDC;nBAD=2nBCD。模型二与模型三都可以看成点A为^BCD的外心。模型一、二、三中两个等腰三角形不光共腰，它们还共点，那是不是一定要满足共点这个条件那？模型四、如图，等腰MBC中，AB=AC,等腰4DEF中，DE=DF,图中AB与DE共线，那么剩余的腰或底在图中没有交点，就需要我们找到剩余A的腰或底所在直线，进而找 A到剩余腰与腰的夹角和剩余底与底的夹角,通过前面的方法可证nCPF=2nFQC。E典型例题赏析例1：如图，RfABC中，AB=AC,D、E分别是BC、AC边上一点，连接AD、DE,若nBAD=2nDCDE,CD=4,AE=4?，求AC的长。

D例1解析：由AB=AC和nBAD=2nCDE,可得AD=AE=4丫2,解MCD,可得AC=2j2+2g。例2:例2:如图，正方形ABCD,过点A作nEAF=90°,两边分别交直线BC于点E,交线段CD于点F,例2解析：由BG是直角三角形ABE的斜边中线，得BG=AG,由正方形ABCD，得nBAC=45°,题中已知nBGH=90°得nBGH=2nBAH,由模型二的变式可得GH=GB，为接下来固定图形起到了至关重要的作用，设AH=k,CH=3k,BC=2J2k,连接BH,得BH=<5k,由gBH为等腰直角三角形，得GB=GH=乎k,AE=2BG=^10k,AB=入2匕得BE-2匕由MD2ABE,DF=BE=Jk,AF=<10k,CF=,/2k,解ACFH，得FH=、5k,得AF=<2FH.ECE=16，求AE的长.DF使zBEC=60。，在CD共腰双等腰部分例3：ECE=16，求AE的长.DF使zBEC=60。，在CD共腰双等腰部分边上取点F,连接EF,且nCEF=1zABE,若CF=4,2 A

DD例3解析：本题由菱形构成，菱形四条边相等，所以不缺少等腰三角形，但是nCEF=1nABE这个2条件不知如何使用。连接DE/ABEm^ADE/ABE=nADE,由DA=DC/CEF=1/人口£,得de=df,2设EO=k,BE=2k,DE=DF=2k,DC=BC=2k+4,CO=16-k,BO=/k,勾股△BOC/得k=5,AE=6。例4:在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,直线AB的解析式为y=-x+3.（1）求抛物线解析式；（2）P为线段OA上一点（不与O、A重合），过P作PQ^x轴交抛物线于Q,连妾AQ,M为AQ中点，连接PM,过M作MN±PM交直线AB于N,若点P的横坐标为t,点N的横坐标为n，求n与t的函数关系；（3）在（2）的条件下，连接QN并延长交y轴于E,连接AE,求t为何值时，MNIIAE.错误!未找到引用源。（2）共腰双等腰部分NMPNMP为等腰直角三角形，过M作xQ例4解析：有已知可容易得（1）答案y——x2+2x+3。(2)nBAO=1nNMP,MA=MP，得MN=”「，得^2(3)MN=MP=MQ，得nNQP=1nNMP=45°,nNHQ=nAHP=45°,得NQNH=90°,得EQ±2AB,MNllAE,由M为AQ的中点，得N为EQ的中点，得AN垂直平分EQ,得AQ=AE,nEAO二zAEB-90°=(45°+zAEQ)-90°=zAEQ-45°又:/AQP=nAQE-45°,，nEAO=nAQP,zEOA=zQPA=90°,aAPQ2OEA,AO=PQ=3,由Q(t,t2+21+3),得—t2+2t+3=3,(=0(舍)，t=2。2强化训练习题

3、如图，在^ABC中，线段BC的垂直平分线交AB于点F,垂足为E,D为EF上一点，连接AD、BD、CD，若MCD为等边三角形，EF=2，求BF的长.4、如图，在四边形ABDC中，连接AD、BC，AB=BC=BD，nDAC的正切值为1，若AB=5，求

3nDAC的正切值为1，若AB=5，求

3BDCEEBB5、如图，在菱形ABCD中，tan/DAB=4,AE=AB,AH^BE于点H,连接DE交AH于点G,3连接BG,BG=10,求BE的长.6、如图，RfABC中，NB=90°,NBAC=60°,点E是AC边的中点，D为BC上一点，若BA=BD,，/ACB=90°,D是AC的中点，E为，/ACB=90°,D是AC的中点，E为AC垂直平分线上的动点，连接CE,过E作EF^CE,垂足为E,射线EF交直线AB于F,若AC=4，四边形BCEF的面积为4.5时，求AF的长.8、如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD,AC=AD=BC,zABC=60°,AD=2J7,CD=2户,求BD的长.9、如图，等边MBC中，D为直线BC下方一点，满足NBDC=90°,将点C沿直线BD折叠得到点E,连接DE、AE,交射线DB于点F.(1)求证：nAEC=30°;(2)请你猜想AE、CE、BF之间的数量关系，并证明你的结论.10、如图，在RfABC中，NACB=90°,点O在AB边上，OB=OC,点D在OC的延长线上，连接AD,点E在AD上，OE交AC于点F,OE=OC,nABC=nCAD+30°,若OF=4,DE=3，求OD的长.答案：1、nCDE=68°2、nDAC=100°3、BF=44、CD=5、BE=8c6、sinnADE=127、AF=3/或AF=5J28、BD=89、(1)略;(2)233CE+BF=AE10、OD=7共底双等腰接下来我们就一起研究一下两个共底的等腰三角形有什么特性及其应用。共底双等腰是指两个等腰三角形的底在同一直线上，而剩余的腰不在同一直线上，那么两个等腰三角形腰与腰的夹角等于两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角。模型一、如图，AB=AC,BD=DE,(1)求证：nABD=nCDE;(2)延长ED交AB于F,求证：nBDC=nBFE。证明：(1).「AB=AC,...设nABC=nACB二a「「DB=de,...设nDBE=nDEB=B，其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰BD的夹角nABD=nABC-nDBE=a-0,

那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角nCDE=nACB-nDEB=a-B，・•.nABD=nCDE。(2).「AB=AC,.•设nABC=nACB二a「「DB=DE,...设nDBE=nDEB=B，其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰DE的夹角NBFE=180°-NABC-NDEB=180°-a-B，那么剩余的腰AC与剩余的腰BD的夹角NBDC=180°-NACB-NDBE=180°-a-B，・•.nBDC=nBFE。模型一变式、①如图，AB=AC,nABD模型一变式、①如图，AB=AC,nABD=nCDE,求证：BD=DE。模型二、如图，点D为射线CA上一点，点E为BC上一点，AB交DE于F,若AB=AC,DB=DE,求证:(1)zABD=zCDE;(2)zBDC=zBFEo证明：(1).「AB=AC,...设nABC=nACB二a「「DB=DE,...设nDBE=/DEB=B，其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰BD的夹角nABD=nDBE-nABC=p-a,那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角nCDE=nDEB-nACB邛-a,・•.nABD=nCDE。(2).「AB=AC,...设nABC=nACB二a「「DB=DE,...设nDBE=nDEB=0,其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰DE的夹角NBFE=180°-NABC-NDEB=180°-a-B,那么剩余的腰AC与剩余的腰BD的夹角NBDC=180°-NACB-NDBE=180°-a-B,・•.nBDC=nBFE・•.nBDC=nBFE。模型二变式、①如图，AB=AC/ABD=nCDE,求证：BD=DE。②如图，BD=DE/ABD=nCDE,求证：AB=AC。③如图，AB=AC/BDC=nBFE,求证：BD=DE。④如图，BD=DE/BDC④如图，BD=DE/BDC=nBFE,求证：AB=AC。模型三、如图，点D为射线CA上一点，点E为射线CB上一点，若AB=AC, DB=DE,求证：nABD=nCDE。证明：.「AB=AC,...设nABC=nACB二a「「DB=DE,.•.设nDBE=nDEB=0,

其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰DB的夹角NABD=180°-NABC-NDBE=180°-a-B，那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角NCDE=180°-NACB-NDEB=180°-a-B，azABD=zCDEo模型三思考：图中两个等腰三角形的底BC与BE共线，腰AC与腰腰DB的夹角为nBDC,那么剩余线，进而找到的腰AB与剩余的腰DE在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直D剩余腰与腰的夹角nAFD,通过前面的方法可证nBDC=nAFDo线，进而找到典型例题赏析例1：如图，等腰直角△ABC,nBAC=90°,AB=AC,D是AB上一点，连接CD、DE,若CD=DE,AC

AC例1解析：:AB=AC,CD=DE,由共底双等腰，得nBDE=nACD,过D作DFIIBC交AC于F,导角得/CFD=nDBE=135°,可得^CD恒^EDB,「.BE=DF,由DF=y2AD,，BE=、2AD。例2:如图，^ABC为等边三角形，D为AB上一点，点E为CD延长线上一点，CE=CB，连接BE例2解析：题目中已经具备了等边三角形ABC和等腰三角形CBE,并且两个等腰三角形还是共腰的

双等腰，但是并不足以解决求CD的问题，所以我们在CF上取点G，连接BG，使得FG=BG，再构造出一个等腰aGFB,由CE=CB，形成共底双等腰，得nGBC=NFCE,再由题目中的等边三角形ABC,就出现了我们非常熟悉的△ACD^^BCG,「.AD=CG=3,FG=CF-CG=7-3=4,S△ACD^^BCG,「.CD=BG=FG=4。例3：如图，在半OO中，AB为直径，C在半OO上，且AC=BC，当AB=4时，连接AC.(1)求AC的长；(3)在(2)的条件下，CD上有一点E,过E作EF平行AC交AD于F,醯BE(3)在(2)的条件下，CD上有一点E,过E作EF平行AC交AD于F,醯BE、BF,若BE=BF,OE,:/EMO=90°,AOE,:/EMO=90°,A P O聚। \\.•.在^OEM中，OE2=OM2+EM2,dN ANM B F/例3解析：由已知条件，很容易求出(1)AC=2。,(2)AD=855。(3)题目中已经具备等腰三角形BEF,延长EF交AB于P「「EFllAC,「.NEPB=nCAB=45°,过E作EM±AB于M，构造出第二个等腰三角形MEP，由共底双等腰得，nBEM=nFBP,过F作FH,AB于N,.”EMB2BNF,「. c FN=BM，设BM=k,则FN=匕由tan/DAB=1,^^^E 2・•.AN=2k,BN=4-2k,// D^E.•.EM=4-2k,〈BM二卜，「.0乂=2次，连接

10土2、5 122=(2—k)2+(4—2k)2,•.k=一二(取加号时，k>2,.••加号舍去)，••・tan/DAB=5,AF=2J5-2。强化训练习题1、如图，等边MBC中，D是BC的中点，P为射线AD上一点，若^BPA 为等腰三角形，求NBCABCBPC的度数.2、如图，等边MBC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC,交直线BC于点E.nABC的平分线BF,交CD于点F,过点A作AH±CD于H，当nEDC=30°,CF=4，求DH的长.3、如图，等腰直角△ABC,nBAC=90°,AB=AC,D是射线BA上一点，E是直线BC上一点，连接BCD、BCBCD、BC5、如图、等腰MBC,AB=AC,将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AD,交BC于E,过D作AAD的垂线交AC延长线于F，gAE=9，DF=8，求DE的长.6、如图在M