20182019学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算讲义含解析苏教版选修2220190416353

3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算 复数的加减法已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 复数的乘法设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．2．复数乘法的运算律对于任意z1、z2、z3∈C，有交换律 z1·z2＝z2·z1结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 共轭复数问题：复数3＋4i与3－4i，a＋bi与a－bi(a，b∈R)有什么特点？提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．2．复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝a－bi.3．当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数． 复数的加减运算[例1]计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨]解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析](1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通]复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝2，则x＋y＝________.解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. 复数的乘法[例2]计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨]应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.[一点通](1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋bi，∴a＝1，b＝3，故a＋b＝4.答案：46．计算下列各题．(1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)；(3)(1－i)(1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i＋9i－12i2＝9＋13i.(3)法一：(1－i)(1＋i)＝(1＋i)＝(1＋i)＝＋i＋i＋i2＝－1＋i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)＝(1－i2)＝2＝－1＋i. 共轭复数的概念[例3]已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.[思路点拨]―→―→.[精解详析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.[一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数．(2)若≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z·－z－1＝________.解析：∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z·＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i－1＝－i.答案：－i8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.解析：设z＝a＋bi，则＝a－bi.∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i，∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，即(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，∴解之得a＝2，b＝1.∴z＝2＋i.答案：2＋i9．已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b＝(a＋2z)2成立．解：∵z＝1＋i，∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a，b都是实数，∴由az＋2b＝(a＋2z)2，得两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0.解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z＝a＋bi看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．一、填空题1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.答案：5－6i2．若复数z＝1－2i，(i为虚数单位)则z·＋z的实部是________．解析：∵z＝1－2i，∴＝1＋2i，∴z·＝(1－2i)(1＋2i)＝5，∴z·＋z＝5＋1－2i＝6－2i.答案：63．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________.解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i.答案：5＋5i4．(北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.解析：(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，由复数相等的定义知x＝2.答案：25．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t＝________.解析：∵z2＝t＋i，∴2＝t－i，∴z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t－3i＋4ti－4i2＝(3t＋4)＋(4t－3)i，又∵z1·2是实数，∴4t－3＝0，即t＝.答案：二、解答题6．计算：(1)＋；(2)(3＋2i)＋(－2)i；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝－i＝－i；(3)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.7．计算：(1)(4i－6)＋2＋i；(2)(1＋i)．解：(4i－6)＋2＋i＝2i＋6i2－3－9i＋2＋i＝－7－6i.