具有相关失效模式的非线性动态随机结构系统可靠性分析

具有相关失效模式的非线性动态随机结构系统可靠性分析

结构的可靠性是结构的主要目标之一。结构承受的负荷具有随机变化的性质，结构参数的值也具有分散性（例如，材料、几何等特征具有固有的随机性）。这种分散可以反映在结构体系的质量、强度和刚性等参数的随机性上。例如，材料和几何特性的固有随机性肯定会导致结构系统质量和刚度的分散随机性。结构确定由框架组成，结构和部件之间连接着铆钉、链和螺钉等坚固的连接。例如，也有侧面螺钉和结构的连接点，例如，铆钉、链和螺钉。在任何结合面上，都会有相对于建筑系统振动的相对抖动，这种衰减也与材料和几何特性的固有随机性有关。因此，结构系统的可靠性研究非常重要。本研究有助于结构设计人员合理建立结构安全容限，控制随机参数对结构安全的影响，使结构预测的操作性能符合实际运行的性能，实现了足够的安全可靠性和足够的经济性结构结构。虽然具有随机参数的随机结构系统要远比确定结构系统复杂,但是近20年来,以二阶矩法和随机有限元法为主体的随机结构可靠性分析的研究已取得了可观的成果,并发展了一般随机有限元法.具有随机参数的随机结构振动系统要远比静态随机结构系统复杂,所以其可靠性问题的研究还处于初级阶段.再者,在非线性随机结构振动系统中不能使用线性系统中的一些有效的方法(如叠加原理等),导致目前关于具有随机参数的非线性振动系统的可靠性问题的研究还多限于单自由度系统和具有独立失效模式的多自由度非线性振动系统的可靠性分析.而在失效模式相关的情况下,关于具有随机参数的多自由度非线性振动系统的可靠性分析方面的研究还很少见有成果发表.本文提出了在随机参数的联合概率密度函数未知的情况下,具有相关失效模式的多自由度非线性随机结构振动系统可靠性分析的数值方法.首先回顾了多自由度非线性随机振动系统的响应的二维矩阵函数表达式,应用向量值和矩阵值函数的概率摄动法和四阶矩技术,导出了多自由度非线性系统响应和状态函数的前四阶矩,使用最大熵理论,结合不完全概率信息技术,给出了响应和状态函数的联合概率密度函数,从而确定了多自由度非线性随机结构振动系统的可靠度.而在随机参数前四阶矩已知的情况下,本文方法放松了对随机参数的分布概型和随机激励的类型的限制,使之更接近于工程实际中的非线性随机振动系统的首次超限破坏问题,较好地解决了多自由度非线性随机振动系统的可靠性分析问题.1阶音频接口随机结构系统的非线性运动方程可以表示为式中,M,f,x和F分别为广义质量矩阵、非线性函数向量、位移向量和外力向量,上标“·”代表对时间t的导数,B=(bij)s×t为用以描述概率影响的s×t阶的随机参数矩阵,其中,包含随机载荷参数和随机结构参数,这些随机参数的概率统计特性是已知的.若向量q(p×1)为矩阵B(s×t)的函数,则q在标称值B处的二阶Taylor表达式为式中,为d[cs(B)]的二阶Kronecker幂,符号代表Kronecker积,定义为cs(B)定义为,为在k是1,在其他处为0的S维单位向量,Is为s×s阶单位矩阵,矩阵导数定义为.为了推导非线性结构动力学的一般随机有限元法的矩阵方程,把方程(1)两边在附近展开成二阶Taylor表达式,然后合并同阶顶,可以得到与方程(1)相一致的零阶、一阶和二阶方程,求解这些方程,可以得到动力响应的前四阶矩为式中,E(csB),Var(csB),Tm(csB),Fm(csB)和E(x),Var(x),Tm(x),Fm(x)分别代表基本随机变量和响应的均值、方差、三阶矩和四阶矩,和分别为零阶和二阶方程的解,为响应向量的灵敏度矩阵,可以表示为把方程(7)分别代入方程(4)～(6),就可以得到动力响应的方差、三阶矩和四阶矩矩阵.显然可见,在求动力响应的方差、三阶矩和四阶矩时,这里只涉及响应的一阶灵敏度,这给解决工程实际问题带来了相当的方便.当然,如果取高阶矩为一阶以上的精度,会带来数学上的繁琐.依据以上推导过程,发展了国际上通用的概率摄动法和随机有限元法,得到了向量值和矩阵值函数的概率摄动法和随机有限元法.2状态函数的传统模拟多自由度非线性随机振动系统可靠性分析的首次超限破坏问题定义为式中,A=(A1,A2,…,An)T为随机响应向量x=(x1,x2,…,xn)T的门槛值向量,g(A,x)为状态函数,可表示系统的两种状态:这里极限状态方程g(A,x)=0为一个n维曲面,代表极限状态表面,也就是失败面.方程(8)表示一组n个方程:可以认为响应xi与门槛值Ai为相互独立的随机变量,由此可以确定状态函数gi(Ai,xi)的前四阶矩表示式:在非线性系统中,叠加原理已经不能成立,对正态输入已不再遵循正态输出,这样不论输入如何,都很难确定输出的分布概型,由此很难得到系统的可靠度.根据最大熵理论,借助于计算出的响应和状态函数的各阶矩,可以得到输出的一个解析形式的概率密度函数.3最大熵概率密度函数对于连续随机变量,熵定义为式中,f(gi)为随机状态函数gi的概率密度函数,Ω为积分域.根据最大熵理论,有其约束条件为式中,为第k阶中心矩.利用Lagrange乘子λ0,λ1,λ2,λ3和λ4组成目标函数:使用乘子(0+1)实际上比使用乘子λ0会获得更方便的结果.调整f(gi)使熵达到最大,即由得到在积分号内合并各项,有要使上式为零,则必有据此得到最大熵概率密度函数的解析表达式:可见,只要得到λ0和λj(j=1,2,3,4),最大熵概率密度函数就完全确定了.把(23)式代入(17)式,得两边乘以,有由此可以确定λ0的计算公式:为了确定λj(j=1,2,3,4)的计算公式,将(25)式对λj求微分,得到或根据(18)和(23)式,上式可以写成同理将(26)式对λj求微分,有应用(29)式,以代替方程左边,得为了便于使用,可以把上式表示成为余量的形式:式中,Wj是以数值技术减小接近于零的余数.利用非线性最小二乘估计,有当W<ε(ε为允许误差)或当所有的|Wj|ε时,上式达到收敛,从而求得λj(j=1,2,3,4).代入(26)式求得λ0,依据数值方法(非线性规划技术)(32)式被求解,于是方程(23)便完全确定了,即求得了状态函数的边缘概率密度函数.4状态函数的概率统计特性及可靠度函数可靠性分析的一个目标是确定系统的可靠度,根据状态函数的定义,非线性多自由度随机振动系统的可靠度可表示为式中,fg(g)为状态函数g(A,x)的联合概率密度函数.显然可见,关键的问题是确定状态函数g(A,x)的联合概率密度函数.根据不完全概率信息理论,状态函数g(A,x)的联合概率密度函数为式中,为状态函数gi(Ai,xi)的边缘概率密度函数,F(gi)为状态函数gi(Ai,xi的边缘概率分布函数,φ(Gi)为标准正态变量Gi的概率密度函数,φn(G,R0)为零均值、单位标准差、相关矩阵为R0的n维正态联合概率密度函数,这里标准正态随机变量Gi可以通过下面变换获得:式中,Φ()为标准正态分布函数.相关矩阵R0的元素ρ0,ij可通过下面的积分关系式获得:式中,这里,ρij为状态函数gj和gj的相关系数,可由下式确定:式中,Cov(gi,gj)为状态函数gi和gj的协方差.由概率统计理论,有式中,y=(A1,…,An,x1,…,xn)T为槛值和响应的联合变量.至此,完全确定了状态函数的联合概率密度函数,从而可得系统的可靠度函数,进行可靠性分析.5随机参数随机参数分布概型如图1所示,两个自由度非线性随机振动系统——车载包装箱,箱体受水平加速度为y(t),在质量m1和m2与箱体间的允许间隙分别为A1和A2.由于弹簧和阻尼的存在,以保证箱体在受到外部作用时,两个质量不至于与箱体发生刚性碰撞,从而使结构系统安全.系统的振动方程为初始条件为式中,这里假定质量m1,m2和c1,c2,c3为确定参数,其数值为m1=m2=4.0kg,c1=c2=c3=0.15N·s/mm,随机弹性刚度k1和k2分别服从方差系数为0.05的正态分布,其均值分别为.间隙A1和A2为概率相关的失效模式,相关系数为ρ12=0.25,其前四阶矩分别为随机参数矩阵B=[k1k2A1,A2]T.分别取ε=0.0,ε=0.3和ε=0.5计算出系统的可靠度随时间变化的曲线,绘于图2,用MonteCarlo方法模拟系统可靠度,计算结果与之相比较.当ε=0.0,ε=0.3和ε=0.5时的比较图见图3.本例题只给出了间隙的前四阶矩和其相关系数,而没有给出其分布概型,应用本文所阐述的方法,就可以计算出系统的可靠度函数随时间的变化曲线,这对工程实际有着十分重要的意义.因为在工程实际中,很难有足够的资料确定出随机参数的分布概型.另外,这里只考虑系统参数的随机性,如果要体现激励的随机性,应该根据具体问题的要求考虑构成激励的参数的随机性.6数值方法的应用本文应用四阶矩技术、最大熵理论及不完全概率信息