数列不等式证明方法

1/1数列不等式的证明方法

求证：当

时:

数列不等式证明的几种方法

数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点学问的联袂、交汇融合，更能考查同学对学问的综合理解与运用的力量。这类交汇题充分体现了“以力量立意”的高考命题指导思想和“在学问网络交汇处”设计试题的命题原则。下面就介绍数列不等式证明的几种方法，供复习参考。

、奇妙构造，利用数列的单调性

例1.对任意自然数n，求证：（3X1垢）?…（"右八乔

2n.十2

■+2

加4

-1十2

所以耳“f，即&〕为单调递增数列

--^>1

所以

'，即

点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可

构造数列，通过数列的单调性解决。二、放缩自然，顺理成章

例2.已知函数f（对=护7”，数列区）為九）的首项衍°】，以后每项按如下方式取定：曲线厂

f⑻在点血（仏小处的切线与经过（0，0）和（轧F（xJ）两点的直线平行。

证明:“W』T）需朋詈?

2□十2

l）（Zn+

弓）

构造数列

（1）為J+%=了召『+2盘曲；

(2)

证明：（1）由于3）=3宀血，所以曲线沪聴）在（3』（如））处的切线斜率为召J+刼讪。

又由于过点（0,0）和’…7■'两点的斜率为'；'_,所以结论成立。

（2）由于函数唸）=，斗耳当Q耐单调递増则有衬斗弧=轧J+%】三

%J斗刼站广（％+1沱+（和1）

?

鱼g丄

所以召'厶+1，即耳二，因此

靭衍^-12

因此,

2

所以点评：本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多学问点的综合题，在证明过程中多次运用放缩，放缩自然，推理规律严密，顺理成章，奇妙敏捷。三、导数引入，更显神威

1丄亠…丄如①昱

例3.求证：234n

2

a

1h1

n+1

n，且当仃12时，沈_i?S仏氐■如+丄

证明：令

，所以

lnn=ln—

11

。要证明原不等式，只须证

1

1;1

X+1K

-1

所以

W占弓而芦詬訂

隘-畧厂诚叶1）-

设

二:-.，

所以h（t）＞xi）=o，即

所咖耳

同理可证

丄讪江L丄艮卩丄皿皿』所以■-1

:-

||1丄丄…亠山丄―

n-l，得234n

234n+1

点评：导数进入中学数学新教材，为解决数列与不等式的交汇问题展现了新的思路和宽阔的空间，其解题方法新奇独特，尤其是对数、指数次幕形式消失的一类问题，更显导数在解题中的工具性和独特的神威。四、裂项求和，简捷明白

，证明

號十1

1

In>-

x:S所以所以h(t)在(g

上为增函数

。对上式中的n分别取1，2，3,…,

例4.设二是数列-

的前n项和，且

(1)求数列迢J的首项匀，及通项-；

(2)

解:(1)首项哲=2代=軒_严?=1,&3…)

（过程略）。

得-*—扣叫|寻7）（~）

而达到证题目的，整个证题过程简捷明白五、独辟蹊径，敏捷变通

独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法,活变通，独自开拓新思路、新方法。

例5.已知函数n=R伐7。设数列｛3JSS足引+"伽)足足|\HV3LSH=bj+ba+-+

VUGM')

（i）求证：九'埠

（2）求证：11

3

点评：本题通过对

T■

乳的变形，利用裂项求和法化为“连续相差形式，从

（2）证明：将

4

24-咖V訊

而是擅长灵33

（后M7■2爲绰屮■,削

证明：（1证法1:由2（J3十D

令屁I）%,则只须证C^2；易知6?2,只须证九"』。

由分析法：C祸WOQ】严叽机￡0（*+L）|%】-妁

莎十丽血刖音皿叫"冃占刃―即

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所以耳》10%+1匕2,得证

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证法2:由于心）"得f㈤的两个不动点为土霭。又2"%",所

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