自动控制原理课件大三上第五章

1第五章频率域方法2频率法分析的仍然是控制系统的性能，即稳定性、快速性、稳态精度控制系统的性能用时域特性度量最直观，但高阶系统的时域特性很难用分析法确定，目前还没有直接给出时域指标进行系统设计的通用方法频率法是一种间接的研究控制系统性能的工程方法，是一种应用频率特性研究线性系统的经典方法控制系统中的频率特性反映了正弦信号作用下系统响应的性能3频域法的基本思想：把控制系统中的所有变量看成一些信号，而每个信号又是由许多不同频率的正弦信号所合成；各个变量的运动就是系统对各个不同频率信号的响应的总和4设输入ur是正弦波，由于电路是线性的，在过渡过程结束后，输出uc也是同频率的正弦波形，利用复阻抗概念：设ur不是正弦波，则可用富立叶级数和富立叶变换将输入分解成许多叫频率互不相同的正弦函数之和。对不同频率的输入输出，仍满足与上式相同的关系52、控制系统及其元部件的数学模型（频率特性）可通过分析法和实验法获得；频率法的优点1、频率特性物理意义明确；按照频率响应的观点，控制系统的运动是信号在一个个环节之间依次传递的过程；每个信号又由一些不同频率的正弦信号合成；在传递过程中，这些正弦信号的振幅和相角以严格的函数关系变化，从而产生形式多样的运动；与微分方程表示相比，易理解，便于分清主次因素。机理复杂或机理不明而难以列出微分方程的系统3、频域法计算量小，与微分方程求解相比，其计算量可忽略；4、频率法的一部分工作可用作图完成，因而比较直观，便于研究参数变化对系统性能的影响。65－1频率特性5－2典型环节的频率特性5－3系统的开环频率特性5－4频率稳定判据5－5系统闭环频率特性与阶跃响应的关系5－6开环频率特性与系统阶跃响应的关系主要内容5－0富立叶变换7基本要求1.正确理解频率特性的概念。2.熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。3.熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。4.熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。85.熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其它们的应用。6.熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。7.理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系。8.理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。95－0富立叶变换法国的富立叶（J.Fourier）先复习周期函数的富立叶级数，再将其发展为非周期函数的富立叶变换富立叶的两个最主要的贡献：“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”105.0.1周期函数的富立叶级数直流分量基波分量n=1

谐波分量n>1任何满足狄利赫利条件的周期实函数都可以表示为一系列正弦函数和余弦函数之和，即富立叶级数：11直流系数余弦分量系数正弦分量系数12狄利赫利条件：

在一个周期内只有有限个第一类间断点（幅度有限的跳跃，左右极限存在但不相等）；

在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即一般周期信号都满足这些条件

13满足条件时，上式几乎处处成立：在连续点处，右端收敛于f(t)的真值；在间断点处，收敛到左右极限的平均值；傅里叶级数的余弦形式1415正弦形式周期函数的复指数级数161718周期信号的频谱为了能既方便又明白的表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重如何，就采用了称为频谱图的表示方法。如图1所示。这种图就称为频谱图。图中每一条谱线代表一个基波或一个谐波分量，谱线的高度即谱线顶端的纵坐标位置代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表这一正弦分量的频率。19图1从频谱图中可以看出这个信号包含有频率的正弦分量以及每个分量所占的比重。这种频谱因为它只表示出了各分量的振幅，所以称为振幅频谱。有时如果需要，也可以把分量的相位用一个个线段代表并且排列成谱状，这样的频谱就称为相位频谱20这种周期信号频谱有以下几个特点：1.这种频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量，这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱。2.这种频谱的每条谱线，都只能出现在基波频率的整数倍的频率上，频谱中不可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量。3.各条谱线的高度，即各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的；当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅就无限趋小。频谱的这三个特点分别称为频谱的离散性、谐波性、收敛性。并具有普遍的意义。2122周期信号复数频谱图的特点引入了负频率变量F-n，没有物理意义，只是数学推导；只有把正、负频率项成对地合并起来,才是实际的频谱函数.每个分量的幅度一分为二,在正、负频率相对应的位置上各为一半.Cn是实函数，Fn一般是复函数。23周期信号三角函数形式傅里叶级数展开后的频谱为单边频谱,而指数形式展开后的频谱为双边频谱24例周期矩形脉冲信号的频谱f(t)t0E-TT2526x(t)Fnt00ET-T27当周期信号的周期T无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号频率也变成连续变量5.0.2非周期函数的富立叶变换28频谱演变的定性观察-T/2T/2T/2-T/229：周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；离散谱00再用表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。30从周期信号FS推导非周期的FT频谱密度函数简称频谱函数w1nw-j)(dtetf31富立叶变换频谱密度函数的表示

32富立叶反变换由复指数形式的富立叶级数傅立叶反变换33富立叶变换对34FT的物理意义

(a)F(ω)是一个密度函数的概念

(b)F(ω)是一个连续谱

(c)F(ω)包含了从零到无限高 频的所有频率分量

(d)各频率分量的频率不成谐波关系35富立叶变换存在的充分条件所有能量信号均满足此条件。36傅立叶变换的基本性质对称性和叠加性奇偶虚实性尺度变换特性时移特性和频移特性微分和积分特性卷积定理37例：单边指数函数信号表达式幅频相频38

f(t)t00039富立叶变换与拉氏变换的关系若在区间t<0恒有f(t)=0,则富氏变换的下限可改为0；狄利赫利条件的限制，f(t)不含冲击函数型的部分，所以积分下限取0和0-没区别405－1频率特性在线性对象的传递函数G(s)中用jw代替s，就得到其频率特性函数频率特性函数：零初始值下单入单出的线性定常系统输出量的富立叶变换象函数与输入量的富立叶变换象函数之比输入量和输出量可用富立叶级数和富立叶变换分解成许多频率互不相同的正弦函数之和。对不同频率的输入输出之比，满足相同的关系研究系统的频率特性只需考虑输入为正弦函数的情况41一、控制系统在正弦信号作用下的稳态输出

对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统的闭环传递函数为式中，为闭环n个互异特征根（极点)。42输入信号：其拉氏变换式则：43输出拉氏反变换得瞬态分量稳态分量若系统稳定，则极点都在s左半平面。当，即稳态时：44其中稳态分量同理：45将B、D代入则46式中

可以看出，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。47图系统在正弦信号作用下的稳态响应48设线性系统G(s)的输入为一正弦信号r(t)=Ar

sinωt，在稳态时，系统的输出具有和输入同频率的正弦函数，但其振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化，即cs(t)=Ac

sin(ωt+φ)。二、频率特性的定义49用R(jω)和C(jω)分别表示输入信号Ar

sinωt和输出信号cs(t)=Ac

sin(ωt+φ)，则输出稳态分量与输入正弦信号的复数比即为该系统的频率特性函数，简称频率特性，记作频率特性函数：零初始值下单入单出的线性定常系统输出量的富立叶变换象函数与输入量的富立叶变换象函数之比50

输出与输入的振幅比随ω的变化关系称为幅频特性A(ω),输出与输入的相位差随ω的变化关系称为相频特性φ(ω),

51零初始条件下，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。频率特性的定义既可以适用于稳定系统，也可适用于不稳定系统。稳定系统的频率特性可以用实验方法确定。52

线性定常系统的传递函数为零初始条件下，输出和输入的拉氏变换之比所以如果的傅氏变换存在，可令

上式的拉氏反变换为53由于频率特性是传递函数的一种特殊形式，因而它和传递函数、微分方程一样，可以表征系统的运动规律，是描述系统的又一种数学模型。

三种系统描述之间的关系54以RC网络为例而RC电路的传递函数为

T=RC频率特性55幅频特性：相频特性：幅频和相频特性都是输入正弦频率ω的函数5657对频率特性的几点说明（1）频率特性不仅仅针对系统而言，其概念对控制元部件、控制装置也都适用；（3）由于系统（环节）动态过程中的稳态分量总是可以分离出来，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性，因此可以将频率特性的概念推广到不稳定系统（环节）。（2）频率特性只适用于线性定常模型，否则不存在这种稳态对应关系；58（4）由频率特性G(jω)的表达式可知，其包含了系统的全部动态结构和参数，所以根据频率法可运用稳态的频率特性间接研究系统的动态响应，避免求解高阶微分方程；（5）根据频率特性的定义可知，即使在不知道系统内部结构和机理的情况下，也可以按照频率特性的物理意义通过实验来确定，这正是引入频率特性这一数学模型的主要原因之一。59三、频率特性的几种表示方法频率特性的图形表示是描述系统的输入频率ω从0到∞变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线。虽然系统的频率特性函数有严格的数学定义，但它最大的优点是可以用图示方法简明、清晰地表示出来，这正是该方法深受广大工程技术人员欢迎的原因所在。601、幅频特性、相频特性、幅相特性=为系统的幅频特性。为系统的相频特性。61幅相频率特性图又称奈奎斯特图（Nyquist）或极坐标频率特性图。极坐标频率特性图是当ω从0到∞变化时，以ω为参变量，在极坐标图上绘出G(jω)的模|G(jω)|和幅角∠G(jω)随ω变化的曲线，即当ω从0到∞变化时，向量G(jω)的矢端轨迹。

G(jω)曲线上每一点所对应的向量都表示与某一输入频率ω相对应的系统（或环节）的频率响应，其中向量的模反映系统（或环节）的幅频特性，向量的相角反映系统（或环节）的相频特性。幅相特性62绘制ＲC电路的幅频特性、相频特性、幅相特性。例解

该电路的频率特性为在不同ω下求出的|G(jω)|及∠G(jω)如表5-１所示。63表5-１不同ω下的|G(jω)|及∠G(jω)的值

1/2T1/T2/T3/T4/T5/T0.450.320.240.2-63.5-71.5-76-78.764RC网络的幅频特性和相频特性1/2T1/T2/T3/T4/T5/T0.450.320.240.2-63.5-71.5-76-78.765图5－3RC网络的幅相特性曲线1/2T1/T2/T3/T4/T5/T0.450.320.240.2-63.5-71.5-76-78.7RC网络的幅相曲线是以为圆心，半径为的半圆66在工程实际中,常常将频率特性画成对数坐标图形式,对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线2、对数频率特性ω的变化范围极广（0→∞），如果采用普通坐标分度，则很难展示出其如此之宽的频率范围。因此，在伯德图中横轴采用对数分度。67对数幅频特性：1)对数幅频特性(1)横轴：μ=lgω①ω轴为对数分度，即采用相等的距离代表相等的频率倍增。68对数幅频特性的坐标系对数幅频特性的坐标系如图所示69表

ω和lgω的关系②对lgω而言为线性均匀分度。70③ω=0在对数分度的坐标系中的负无穷远处④从表中可以看出，ω的数值每变化10倍，在对数坐标上lgω相应变化一个单位。频率变化10倍的一段对数刻度称为“十倍频程”，即对μ而言：Δμ=lg10ω-lgω=171(2)纵轴：L=20lgA(ω),单位为分贝,记作dB。72对数相频特性:2)对数相频特性横轴：ω值，对数分度，即μ=lgω

，与对数幅频特性相同纵轴：φ(ω)值，线性分度，单位：度73图5－4对数坐标刻度图74注意纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。

——这种坐标系称为半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。75绘制RC电路的对数坐标频率特性图（T＝1s）。所以有例解

RC电路的频率特性为76表不同ω下的L(ω)及φ(ω)值

77RC电路的对数坐标频率特性7879

对数幅相曲线又称尼科尔斯曲线或尼科尔斯图。其特点是纵坐标为，单位为分贝（dB），横坐标为，单位为度，均为线性分度，频率为参变量。下图为RC网络时的尼科尔斯曲线。利用尼科尔斯曲线，根据系统开环和闭环的关系，可以绘制关于闭环幅频特性的等M簇线和闭环相频特性的等簇线，根据频域指标要求确定校正网络，简化系统的设计过程。

3、对数幅相曲线805－2典型环节的频率特性一、比例环节（放大环节）幅频特性相频特性G(s)=K对数幅频特性和相频特性81图5－5比例环节的频率特性曲线82二、积分环节幅相特性传递函数幅频特性和相频特性

频率特性83图5－6积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线84对数幅频特性和相频特性

幅频特性和相频特性

85对数频率特性86三、惯性环节（一阶系统）传递函数幅相特性幅频特性和相频特性

频率特性87图5－8惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线

幅频由1衰减到0，没有谐振峰值，相频由0至-90度惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5,0),半径为0.5的半圆

88对数频率特性给不同的ω值，可逐点求得对数幅频的分贝值和相角值，并绘制曲线图如下89图5－9惯性环节的对数频率特性曲线90对数幅频特性是一条曲线，这给作图带来了不便惯性环节对数幅频特性曲线的绘制方法工程上为了方便常常用两条直线代替，这两条直线组成的对数幅频特性称为渐近特性91192

在低频段,

ω很小,

ωT<<1,

(ω)

0°;惯性环节对数相频特性曲线的绘制

(ω)=0°和

(ω)=-90°是曲线

(ω)的两条渐近线在高频段，ω很大，

ωT>>1,φ(ω)

-90°93在交接频率处有94因此有

这表明

(ω)是关于ω=1/T,

(ω)=-45°这一点中心对称的。证明:取两个关于ω=1/T对称的频率ω1=α/T和ω2=1/(αT),则有

惯性环节对数相频特性曲线是一条以点(1

T,

(1

T))为中心对称点的曲线。9596四、振荡环节（二阶系统）传递函数频率特性971.幅频特性、相频特性、幅相特性（1）幅频特性98振荡环节的幅频特性采用描点法在ζ>0.707时，A(ω)单调衰减，没有峰值在ζ较小时，A(ω)出现“谐振”峰值，对应的频率称为谐振频率

振荡环节的幅频从1衰减到零99令dA(ω)/(dω)=0，得谐振频率谐振峰值谐振峰值只与阻尼比有关100振荡环节的幅频特性外加正弦信号的频率与自然振荡频率相同将引起共振，环节临界稳定阻尼比越小峰值越大，表明平稳性越差、超调量越大，最佳阻尼比时，既快又平稳。（与时域结果一致）101（2）相频特性102图5－11给出不同的阻尼比可得出一组相频特性曲线103图5－11104(3)幅相频率特性105振荡环节的幅相频率特性给出不同的阻尼比可得出一组幅相特性曲线1062.对数频率特性对数幅频特性和相频特性为107(1)对数幅频特性画二阶振荡环节的伯德图时仿照惯性环节,先求对数幅频特性的渐近特性,再在渐近特性的基础上进行修改108

图

5-15二阶振荡环节的对数幅频特性图109作渐近特性时,没有考虑阻尼比的影响,所以在交接频率附近,对数幅频特性与渐近线存在一定的误差误差值取决于阻尼比

的值。当0.4<

＜0.707时,误差不大;

＜0.4,误差随

的减小而增大;=0时误差为无穷大.对误差进行修正:在转折频率附近计算几点：110对数相频特性与ω

和有关，给出不同的阻尼比

值,可绘制出一组

(ω)与ω的曲线(2)对数相频特性111二阶振荡环节的对数相频特性图振荡环节的对数相频特性曲线，在参数ωn变化时，其曲线左右平移，而曲线形状不变；曲线对点具有奇对称性质112五、微分环节其幅频特性和相频特性为

对数幅频特性和相频特性为

113微分环节的幅频特性与频率ω相等,相频特性恒为90°微分环节的对数幅频特性lgω的一次线性函数，其直线斜率为20dB/dec，直线在ω=1时与横轴相交φ(ω)是一条纵坐标为90°的平行于横轴的直线114六、一阶微分环节幅频特性和相频特性为

115一阶微分环节的幅相特性

当ω由0→∞时，一阶微分环节的幅频特性A(ω)从1→∞,相频特性φ(ω)由0°→90°。A(ω)φ(ω)一阶微分环节