有限元分析梁单元内力计算

§3.5梁单元内力计算由单元刚度矩阵迭加,得总体刚度矩阵,代入边界条件,解线性方程组,可求出各节点的位移(整体坐标)这些量都是对应于整体坐标系,应转换成单元的局部座标系,以便于计算内力转换关系:1.轴向内力一.由变形量直接计算

向位移:1节点:2节点:2节点相对于1点的桡度2节点相对于1点的转角2.弯曲内力由两端固定梁的公式:解得:方向平衡力方程节点1力矩平衡力方程二.由单元刚度矩阵计算矩阵相乘，求出各分量三.有非节点载荷时单元内力计算局部座标下的单元节点等效载荷由单元刚度方程得：思考:如何求任一截面上的应力§3.6平面刚架结构计算实例已知：如图刚架由两根等截面工字钢构成，两端固定。截面积A=0.006m2,截面惯性矩J=6.87×10-5m4,弹性模量E=2.1×108kN/m2,每根杆长l=5m。求：每根梁的内力。解：1.建座标系，对梁单元各节点编号如图所示。2单元，三节点系统(即自然划分。也可以在集中力作用处设一节点)。由于每一节点有3个自由度，故系统有9个自由度。总刚度矩阵[K]为9×9阶①②2.求局部座标下的单元刚度矩阵由于①②单元的E、l、A均相同,故其局部座标下的单元刚度矩阵相同3.单元刚度矩阵的座标变换①单元②单元若局部坐标与整体坐标方向一致,则4.求总刚度矩阵节点号为i,j的单元,其刚度矩阵元素在总刚度矩阵中的位置3i－13i3j－13j3j－23i－13i3i－23i－23j－23j3j－1单元刚度矩阵元素编号(相当于在总刚度矩阵中的位置)1单元2单元单元刚度矩阵迭加成整体刚度矩阵5.求节点载荷分两步：1).将非节点载荷转化成节点等效载荷

2).与作用在节点上的原载荷迭加①单元①故,①单元的等效结点力:1节点2节点转换成整体座标:②②单元转换成整体座标:2节点3节点总体载荷6.引入约束条件,构成总体方程展开(1)(2)(3)7.解方程由(2)解得:(转角单位为rad)代入(1)(2)解得:8.验算整体x方向合力整体y方向合力对2点取矩:计算正确9.求各梁内力局部座标下的单元结点等效载荷①单元②单元§3.7有关计算的程序设计一.矩阵乘法[n,m][m,s]→[n,s]main(){floata[5][6]={…..},b[6][4]={…},c[5][4];floatsum=0;

int

i,j,k;

for(i=0;i<5;i++)

for(j=0;j<4;j++){sum=0.0;

for(k=0;k<6;k++)sum=sum+a[i][k]*b[k][j];

c[i][j]=sum;}

for(i=0;i<5;i++){for(j=0;j<4;j++)

printf(“%f”,c[i][j]);

printf(“\n”);}}二.矩阵转置行列交换main(){floata[5][6]={…..},b[6][5];

int

i,j;

for(i=0;i<5;i++)

for(j=0;j<6;j++)

b[j][i]=a[i][j];

for(i=0;i<5;i++){for(j=0;j<6;j++)

printf(“%f”,b[i][j]);

printf(“\n”);}}三.线性方程组求解介绍Jordan列主元消去法1.计算过程写成矩阵形式在第一列中找绝对值最大元素,整行与第一行交换1).第一轮消元2).第二轮消元对第2列,在每2,3行中找绝对值最大者,然后换至第2行(本例中不换)2).第三轮消元对第3列,在每3行中找绝对值最大者,然后换至第3行(本例中不换)故:2.程序/*解线性方程组*/#include"math.h"#include"stdio.h"#defineN3/*行数*/main(){doublea[3][4]={{11,-3,-2,3},{-23,11,1,0},{1,-2,2,-1}};doublemax,temp;

int

i,j,k,t;

for(k=0;k<N;k++){printf("#########第%d轮######\n",k+1);max=fabs(a[k][k]);t=k;

for(i=k+1;i<N;i++)

if(fabs(a[i][k])>max){max=fabs(a[i][k]);t=i;}

for(j=k;j<=N;j++){temp=a[k][j];a[k][j]=a[t][j];a[t][j]=temp;}temp=a[k][k];

for(j=k;j<=N;j++)

a[k][j]=a[k][j]/temp;

for(i=0;i<N;i++){if(i!=k){temp=a[i][k];

for(j=k;j<=N;j++)

a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*temp;}}

for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<=N;j++)

printf("%f",a[i][j]);

printf("\n");}