数学（文科）攻略大一轮复习课标版精练4-4解三角形（试题部分）

§4.4解三角形探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点正弦定理与余弦定理①理解正弦定理与余弦定理的推导过程;②掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形的度量问题2019课标全国Ⅱ,15,5分正弦定理的应用同角三角函数基本关系★★☆2018课标全国Ⅰ,16,5分正弦定理与余弦定理的应用三角形的面积公式2017课标全国Ⅰ,11,5分正弦定理的应用诱导公式,两角和的正弦公式2019课标全国Ⅰ,11,5分正弦定理与余弦定理的应用—解三角形及其应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2018课标全国Ⅲ,11,5分解三角形及三角形的面积—★★★2019课标全国Ⅲ,18,12分解三角形及三角形的面积二倍角公式及诱导公式2016课标全国Ⅱ,15,5分解三角形同角三角函数基本关系分析解读从近几年的高考试题来看,本节内容一直是高考考查的重点和热点,命题呈现出如下特点:1.利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题时,要能在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再利用数形结合法求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式之间的联系,会用方程和函数思想解决三角形的最值问题,常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值为5分或12分.破考点练考向【考点集训】考点一正弦定理与余弦定理1.(2020届四川成都摸底考试,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a,cosA),n=(cosC,2bc),且m·n=0,则角A的大小为()A.π6 B.π4 C.π3 答案B2.(2019河北衡水中学三调,7)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,若sinBsinC=sin2A,则△ABC的形状是()A.等腰非等边三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案C3.(2018河南中原名校第三次联考,7)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=3,则c=() B.2 3答案C考点二解三角形及其应用答案C2.(2016课标全国Ⅲ,9,5分)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sinA=(A.310 B.1010 C.55 答案D3.(2019广西南宁二中高三第一次月考,17)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,m=(cosB,2ab),n=(cosC,c),且m∥n.(1)求角C的大小;(2)若c=1,当△ABC的面积取得最大值时,求△ABC内切圆的半径.答案(1)由m∥n得c·cosB=(2ab)·cosC,由正弦定理得sinC·cosB=2sinA·cosCsinB·cosC,(2分)得sin(B+C)=2sinA·cosC,在△ABC中,sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,∴cosC=12,又C∈(0,π),∴C=π3.(4(2)由余弦定理知c2=1=a2+b22abcosπ3即1=a2+b2ab,∵a2+b2ab=1≥2abab,∴ab≤1,当且仅当a=b时,等号成立,(7分)S△ABC=12absinC=34ab≤34当S△ABC=34时,△ABC为等边三角形设△ABC内切圆半径为r内,则S△ABC=12(a+b+c)r内∴34=32r∴r内=36,即当△ABC的面积取得最大值34时,△ABC内切圆半径为36炼技法提能力【方法集训】方法1利用正、余弦定理判断三角形形状的方法1.(2020届皖南八校第一次联考,6)在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形答案B2.(2018千校联盟12月模拟,10)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cosA+cosB),则△ABC为()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案D3.给出下列命题:①若tanAtanB>1,则△ABC一定是钝角三角形;②若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC一定是直角三角形;③若cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1,则△ABC一定是等边三角形.以上正确命题的序号为.

答案②③方法2求解三角形实际问题的方法1.(2020届吉林第一中学第一次调研考试,7)某船从A处向东偏北30°方向航行23千米到达B处,然后朝西偏南60°的方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为()A.3千米 3千米 千米 千米答案B2.(2019宁夏顶级名校联考,17)风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树,记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如图所示,求P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少.答案在△PAB中,∠APB=180°(75°+60°)=45°,由正弦定理得APsin60°=100sin45°在△QAB中,∠ABQ=90°,AB=100,∠QAB=45°,∴AQ=1002,又知∠PAQ=75°45°=30°,则由余弦定理得PQ2=(506)2+(1002)22×506×1002·cos30°=5000,∴PQ=502.因此,P,Q两棵树之间的距离为502m,A,P两棵树之间的距离为506m.3.(2018河南商丘九校12月联考,20)如图所示,某公路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3km,OB=33km,∠AOB=90°,当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且∠MON=30°.(1)若M在距离A点2km处,求点M,N之间的距离;(2)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,试确定M的位置,使△OMN的面积最小,并求出最小面积.答案(1)在△OAB中,因为OA=3,OB=33,∠AOB=90°,所以∠A=60°.在△OAM中,由已知及余弦定理得OM2=AO2+AM22AO·AM·cosA=7,所以OM=7,所以cos∠AOM=OA2+在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=27在△OMN中,由MNsin30°=OMsin∠ONA得MN=7故点M,N之间的距离为74(2)设∠AOM=θ,0<θ<π3在△OAM中,由OMsin∠OAB=OAsin在△OAN中,由ONsin∠OAB=OAsin∠ONA所以S△OMN=12OM·ON·sin∠=12·332sinθ=2716sinθ=274sin2θ+4因为0<θ<π3,所以2θ+π3∈所以当2θ+π3=π2,即θ=π12时,S△OMN取最小值,所以设计∠AOM=π12时,△OMN的面积最小最小面积是27(2-3【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2019课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinAbsinB=4csinC,cosA=14,则bc=(答案A2.(2018课标全国Ⅱ,7,5分)在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=(2 B.30 C.29 5答案A3.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinCcosC)=0,a=2,c=2,则C=()A.π12 B.π6 C.π4 答案B4.(2016课标全国Ⅰ,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b=(A.2 B.3 答案D5.(2019课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.

答案346.(2018课标全国Ⅰ,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2a2=8,则△ABC的面积为.

答案2考点二解三角形及其应用1.(2016课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=答案212.(2019课标全国Ⅲ,18,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.答案本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sin因为sinA≠0,所以sinA+C2由A+B+C=180°,可得sinA+C2故cosB2=2sinB2cos因为cosB2≠0,故sinB2=12(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=34由已知及(1)利用正弦定理得a=csinAsinC=sin(由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故12<a<2,从而38<S△ABC<因此,△ABC面积的取值范围是383.(2015课标Ⅰ,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=2,求△ABC的面积.答案(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=a2+c2-(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以△ABC的面积为1.(12分)4.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sin∠(2)若∠BAC=60°,求∠B.答案(1)由正弦定理得ADsin∠B=BDsin∠因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以sin∠Bsin∠C(2)因为∠C=180°(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=32cos∠B+12sin由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=33,即∠B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2016山东,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1sinA).则A=()A.3π4 B.π3 C.π4答案C2.(2019浙江,14,6分)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=.

答案12253.(2019北京,15,13分)在△ABC中,a=3,bc=2,cosB=12(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.答案本题主要考查余弦定理及其推论的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力,以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想.(1)由余弦定理b2=a2+c22accosB及已知,得b2=32+c22×3×c×-1因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c22×3×c×-1解得c=5.所以b=7.(2)由cosB=12得sinB=3由正弦定理得sinA=absinB=3在△ABC中,B+C=πA.所以sin(B+C)=sinA=334.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=5(a2b2c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2BA)的值.答案(1)由asinA=4bsinB及asinA=bsin由ac=5(a2b2c2)及余弦定理,得cosA=b2+c2-(2)由(1),可得sinA=255,代入asinA=4bsin得sinB=asinA4由(1)知,A为钝角,所以cosB=1-sin于是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=12sin2B=3故sin(2BA)=sin2BcosAcos2BsinA=45×-5535×考点二解三角形及其应用1.(2018北京,14,5分)若△ABC的面积为34(a2+c2b2),且∠C为钝角,则∠B=;ca的取值范围是答案π32.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.

答案152;3.(2019江苏,15,14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=2,cosB=23,求c的值(2)若sinAa=cosB2b,答案本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为a=3c,b=2,cosB=23由余弦定理的推论cosB=a2+c2-b即c2=13.所以c=3(2)因为sinAa=由正弦定理asinA=bsinB,得所以cosB=2sinB.从而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1cos2B),故cos2B=45因为sinB>0,所以cosB=2sinB>0,从而cosB=25因此sinB+π2=cos4.(2018天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acosB-(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2AB)的值.答案(1)在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB-π6,得asinB=acosB-π6,即sinB=cosB-π6,可得(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b2=a2+c22accosB=7,故b=7由bsinA=acosB-π6,可得sin因为a<c,故cosA=27因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A1=所以,sin(2AB)=sin2AcosBcos2AsinB=437×1217×5.(2017山东,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB·AC=6,S△ABC=3,求A和a.答案因为AB·AC=6,所以bccosA=6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=1,又0<A<π,所以A=3π又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c22bccosA,得a2=9+82×3×22×-2所以a=29.C组教师专用题组考点一正弦定理与余弦定理1.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cosA=32且b<c,则b=( 2 D.3答案C2.(2013课标Ⅰ,10,5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=()答案D3.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,则sinB=,c=.

答案2174.(2015重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=14,3sinA=2sinB,则c=答案45.(2015福建,14,4分)若△ABC中,AC=3,A=45°,C=75°,则BC=.

答案26.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求△ABC的面积.(1)因为m∥n,所以asinB3bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB3sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=3,由于0<A<π,所以A=π3(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c22bccosA,而a=7,b=2,A=π3得7=4+c22c,即c22c3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为12bcsinA=3解法二:由正弦定理,得7sinπ从而sinB=217又由a>b,知A>B,所以cosB=27故sinC=sin(A+B)=sinB=sinBcosπ3+cosBsinπ3=所以△ABC的面积为12absinC=37.(2015天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为315,bc=2,cosA=14(1)求a和sinC的值;(2)求cos2A+答案(1)在△ABC中,由cosA=14,可得sinA=15由S△ABC=12bcsinA=315,得bc=24,又由b解得b=6,c=4.由a2=b2+c22bccosA,可得a=8.由asinA=csinC,得sin(2)cos2A+π6=cos2A·cosπ6sin=32(2cos2A1)12×2sinA·cosA=8.(2012课标全国,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=3asinCccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为3,求b,c.答案(1)由c=3asinCc·cosA及正弦定理得3·sinA·sinCcosA·sinCsinC=0.由于sinC≠0,所以sinA-π6又0<A<π,故A=π3(2)△ABC的面积S=12bcsinA=3,故而a2=b2+c22bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.9.(2011全国,18,12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,asinA+csinC2asinC=bsinB.(1)求B;(2)若A=75°,b=2,求a,c.答案(1)由正弦定理得a2+c22ac=b2.又b2=a2+c22accosB.故cosB=22,又因此B=45°.(2)sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=2+故a=b×sinAsinB=2c=b×sinCsinB=2×sin6010.(2010全国Ⅰ,18,12分)已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.答案由a+b=acotA+bcotB及正弦定理得sinA+sinB=cosA+cosB,sinAcosA=cosBsinB,从而sinAcosπ4cosAsinπ4=cosBsinπ4sinBcossinA-π4又0<A+B<π,故Aπ4=π4B,A+B=π2,所以考点二解三角形及其应用1.(2013课标Ⅱ,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC的面积为(3+2 B.3+1 32 D.31答案B2.(2015湖北,15,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.

答案10063.(2014课标Ⅰ,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.

答案1504.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=23,求cosC的值答案(1)证明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(AB).又A,B∈(0,π),故0<AB<π,所以B=π(AB)或B=AB,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由cosB=23得sinB=5cos2B=2cos2B1=19故cosA=19,sinA=4cosC=cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB=22275.(2016天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin2B=3bsinA.(1)求B;(2)若cosA=13,求sinC的值答案(1)在△ABC中,由asinA=bsinB,可得asinB=bsinA,又由asin2B=3bsinA,得2asinBcosB=3bsinA=3asinB,所以cosB=32(2)由cosA=13,可得sinA=2则sinC=sin[π(A+B)]=sin(A+B)=sinA=32sinA+12cosA=6.(2015山东,17,12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cosB=33,sin(A+B)=69,ac=23,求sinA和c答案在△ABC中,由cosB=33,得sinB=6因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=69因为sinC<sinB,所以C<B,可知C为锐角,所以cosC=53因此sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=63×539+33×由asinA=csinC,可得a=csin又ac=23,所以c=1.7.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tanπ4(1)求sin2Asin2(2)若B=π4,a=3,求△ABC的面积答案(1)由tanπ4+A=2,得tan所以sin2Asin2A+co(2)由tanA=13,A∈(0,π),sinA=1010,cosA=3又由a=3,B=π4及正弦定理asinA=bsinB由sinC=sin(A+B)=sinA+π4得sin设△ABC的面积为S,则S=12absin8.(2015四川,19,12分)已知A,B,C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于x的方程x2+3pxp+1=0(p∈R)的两个实根.(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC=6,求p的值.答案(1)由已知得,方程x2+3pxp+1=0的根的判别式Δ=(3p)24(p+1)=3p2+4p4≥0.所以p≤2,或p≥23由根与系数关系,得tanA+tanB=3p,tanAtanB=1p.于是1tanAtanB=1(1p)=p≠0,从而tan(A+B)=tanA+tanB1-所以tanC=tan(A+B)=3,所以C=60°.(2)由正弦定理,得sinB=ACsinCAB=6解得B=45°,或B=135°(舍去).于是A=180°BC=75°.则tanA=tan75°=tan(45°+30°)=tan45=1+331所以p=13(tanA+tanB)=13(2+3+1)=19.(2014课标Ⅱ,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.答案(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD22BC·CDcosC=1312cosC,①BD2=AB2+DA22AB·DAcosA=5+4cosC.②由①②得cosC=12,故C=60°,BD=7(2)∵四边形ABCD的内角A与C互补,C=60°,∴A=120°.四边形ABCD的面积S=12AB·DAsinA+12BC·CDsin=12×1×2×sin120°+12×3×2×sin60°=2【三年模拟】时间:50分钟分值:80分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020届河南、河北重点中学摸底考试,8)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)2=c2+ab,B=30°,a=4,则△ABC的面积为() 3 3 3答案C2.(2020届西南地区名师联盟8月联考,8)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若角C>π3,ab=sinAsin2C,则关于△ABC的两个结论:①一定是锐角三角形;②一定是等腰三角形A.①错误,②正确 B.①正确,②错误C.①②都正确 D.①②都错误答案C3.(2019湖南怀化一模,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若2S=(a+b)2c2,则tanC的值是()A.43 B.34 43答案C4.(2020届广东佛山实验中学第一次联考,9)如图,在△ABC中,D为BC上一点,AB=15,BD=10,∠ADC=120°,则cos∠BAD=()A.33 B.223 63或6答案D5.(2019江西临川、南康九校联考,10)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosC+ccosA=2bcosB,且cos2B+2sinAsinC=1,则a2b+c=()A.22 B.2 答案D6.(2018山西晋城一模,9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinB+π3=32a,CA·CB=20,c=7,则△ABCA.2 D.3答案D7.(2020届河北枣强中学9月月考,12)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,c=3,且2sin(B+C)cosC=12cosAsinC,则△ABC的面积是()A.34 B.12 C.34或32 答案C二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2020届山西康杰中学等四校9月联考,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,sin(A+C)=2Sb2-c2,且A,B,C成等差数列答案π9.(2018豫北、豫南精英对抗赛,16)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其外