矩阵理论知识点整理

矩阵的若方标准型及分解-矩阵及其标准型定理1-矩阵可逆的充分必要条件是行列式是非零常数引理2-矩阵=的左上角元素不为0，并且中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与等价的使得且的次数小于的次数。引理3任何非零的-矩阵=等价于对角阵是首项系数为1的多项式，且引理4等价的-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子推论6两个-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论7-矩阵可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论8两个等价当且仅当存在一个m阶的可逆-矩阵和一个n阶的-矩阵使得推论9两个-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩定理10设-矩阵等价于对角型-矩阵，若将的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按照重复的次数计算）就是的全部初等因子。初等因子被不变因子唯一确定但，只要-矩阵化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。矩阵的若当标准型定理1两个阶数字矩阵A和B相似，当且仅当它们的特征矩阵等价N阶数字矩阵的特征矩阵的秩一定是n因此它的不变因子有n个，且乘积是A的特征多项式推论3两个同阶矩阵相似，当且仅当它们有相同的行列式因子，或相同的不变因子，或相同的初等因子。定理4每个n阶复矩阵A都与一个若当标准型矩阵相似，这个若当标准型矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的。求解若当标准型及可逆矩阵Ｐ：根据数字矩阵写出特征矩阵，化为对角阵后，得出初等因子，根据初等因子，写出若当标准型Ｊ，设Ｐ（Ｘ１Ｘ２Ｘ３），然后根据用初等行变换化为阶梯形矩阵，解非齐次方程组时，使增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相同，在确定自由未知量时，除非零首元外，均可以取为自由变量，利用回代法求通解。得到P（X1X2X3）方阵用初等行变换化为阶梯形矩阵，解非齐次方程组时，使增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相同，在确定自由未知量时，除非零首元外，均可以取为自由变量，利用回代法求通解。矩阵的最小多项式定理1矩阵A的最小多项式整除A的任何零化多项式，且最小多项式唯一。N阶数字矩阵可以相似对角化，当且仅当最小多项式无重根若要证明A可以相似对角化，则需证明A的最小多项式无重根。。若要证明A可以相似对角化，则需证明A的最小多项式无重根。正交变换要证明一个变换是正交变换，则需要先证明是线性变换说明是线性变换后再证明其保持内积不变要证明一个变换是正交变换，则需要先证明是线性变换说明是线性变换后再证明其保持内积不变正交变换的等价条件证明：对称变换复内积空间（酉空间）酉空间两组标准正交基的过渡矩阵一定是酉矩阵在实内积空间中，两组标准基之间的过渡矩阵一定是正交阵在实内积空间中，两组标准基之间的过渡矩阵一定是正交阵酉空间V的线性变换Ｔ满足酉空间内变换的等价条件酉对称变换（Hermite变换）：定理：若A是n阶方阵若A是复矩阵，则A是正规阵，当且仅当A酉相似于对角阵。即若A是实矩阵，且A的特征值全是实数，则A是正规阵，当且仅当Ａ正交相似于对角阵，即证明：1.必要性：设存在酉矩阵P使得则，即为正规阵2.充分性：若A是正规阵，则满足则。。。。。。。。。。。推论：任一Hermite矩阵A酉相似于对角阵，任一实对称矩阵A酉相似于对角阵，推论：设A是n阶正规阵Ａ是Hermite矩阵，当且仅当A的特征值全是实数Ａ是反Hermite矩阵，当且仅当A的特征值全是0或者纯虚数A是酉矩阵，当且仅当A的每个特征值的模长是1。证明：定理：设Ａ是n阶Hermite矩阵（实对称矩阵）则证明：一线性空间与线性变换数域及多项式数域：关于加减乘除全部封闭，如有理数集Ｑ，实数集Ｒ，