直线的方程（教师版）

2.2直线的方程目录TOC\o"13"\h\u☯知识清单☯1.直线的点斜式方程 32.直线的斜截式方程 43.直线的两点式方程 44.直线的截距式方程 55.直线方程的一般式 66.直线方程几种表达方式的选取 67.直线方程的综合应用 7☯典型例题☯母题1：点斜式方程 811：点斜式方程的形式 812：求直线方程 8母题2：斜截式方程 1021：求直线方程 1022：斜截式方程的图象应用 1223：根据斜截式方程求参数取值 13母题3：两点式方程 1531：求两点式直线方程 1532：根据两点式求参数取值 1633：光线折射问题 17母题4：截距式方程 1841：截距式方程的概念理解 1842：求截距式直线方程 19母题5：一般式方程 2451：直线的一般式方程 2452：五种方程形式的互化 25母题6：直线过定点问题 28母题7：两条直线的位置关系 29母题8：由直线平行与垂直求直线 31母题9：由直线的平行与垂直求参数 32母题10：直线方程的综合问题 342.2直线的方程☯知识清单☯直线的点斜式方程（1）定义：如图，直线过定点，斜率为，把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。（2）两种特殊的直线：①垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或。②平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为。（3）求直线点斜式方程的一般步骤：①求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程②点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。知识点诠释：1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；2．当直线的倾斜角为时，直线方程为；3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：．4．表示直线去掉一个点；表示一条直线．直线的斜截式方程（1）定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为，则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。（2）斜截式的几种特例表示过原点的直线，表示与轴平行的直线，表示轴知识点诠释：1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距．直线的两点式方程（1）定义：如图，直线经过点，（其中，），则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。（2）两点式方程的应用用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。知识点诠释：1．这个方程由直线上两点确定；2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程．3．直线方程的表示与选择的顺序无关．4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．直线的截距式方程（1）定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。（2）截距的概念①横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可；②纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。（3）截距式方程应用的注意事项①问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；②选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；③要注意截距式方程的逆向应用。知识点诠释：1．截距式的条件是，即截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线，不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线．2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距．直线方程的一般式（1）定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般方程。（2）适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。（3）系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距）当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。直线方程几种表达方式的选取在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．知识点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．直线方程的综合应用（1）已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．（2）根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．（3）对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．①从斜截式考虑已知直线，，；于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．②从一般式考虑：且或，记忆式（）与重合，，，（4）直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．☯典型例题☯母题1：点斜式方程11：点斜式方程的形式直线的点斜式方程y−yA．任何一条直线

B．不过原点的直线C．不与y轴垂直的直线

D．不与x轴垂直的直线【答案】D直线y＝k（x﹣1）（k∈R）是（）A．过点（﹣1，0）的一切直线 B．过点（1，0）的一切直线 C．过点（1，0）且除直线x＝1外的一切直线 D．过点（1，0）且除x轴外的一切直线【解答】解：方程y＝k（x﹣1）（k∈R）表示经过点（1，0）且不垂直于x轴的一切直线．故选：C．直线l的点斜式方程为，则（）A．直线l过点，斜率为B．直线l过点，斜率为C．直线l过点，斜率为2D．直线l过点，斜率为2解析：∵直线l的方程为，∴直线l的斜率为2，且经过定点．故选：C直线的倾斜角和所过的定点分别为（）A．60°，（1，2）B．120°，（－l，2） C．60°，（－1，2）D．120°，（－1，－2）【答案】B【解析】由直线的点斜式方程可知：该直线的斜率为，其倾斜角为120°，过定点（－1，2）．12：求直线方程过点A2,1且斜率为2A．2x−y+3=0 B．2x−y−3=0C．x−2y+1=0 D．x−2y=0解析：由题意可知所求直线的方程为y−1=2x−2，即2x−y−3=0经过点，且倾斜角为45°的直线方程是（

）A． B． C． D．解析：因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率，所以直线方程为．故A，C，D错误.故选：B.求经过点D(－1,1)，倾斜角为0°的直线方程解析：直线斜率为0，∴直线方程为y－1＝0×(x＋1)．求过点C(－2，3)，与x轴垂直的直线方程解析：由于直线与x轴垂直，所以斜率不存在，又过点(－2，3)，故方程为x＝－2.与直线平行，且过点（－4，3）的直线的点斜式方程是________．【答案】【解析】所求直线的斜率为，又所求直线过点（－4，3），由直线方程的点斜式可得．过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的倍。解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.求直线l的倾斜角是直线y＝x－3的倾斜角的两倍，且经过点(2，4)的直线方程解析：直线y＝x－3的斜率为1，其倾斜角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，其斜率不存在，又因为它过点(2，4)，故l的方程为x＝2.直线过点P（2，－3），且与过点M（－1，2），N（5，2）的直线垂直，求直线的方程．【答案】x=2【解析】直线MN的斜率，所以该直线平行于x轴．又直线垂直于直线MN，因此直线的倾斜角为90°，又直线过点P（2，－3），所以直线的方程为x－2=0，即x=2．母题2：斜截式方程21：求直线方程根据条件写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；解析：由直线方程的斜截式可知，所示直线方程为y＝2x＋5.（2）写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；解析：斜率k＝－1，在y轴上的截距b＝－2，所求直线方程为y＝－x－2.（3）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；解析：∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，由斜截式可得方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x－2.（4）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解析：∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3.经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案.【详解】斜率，点斜式方程为，斜截式方程为.故选：A已知直线方程为y=2x－1，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．【答案】k=－2，b=1，（0，1）【解析】直线方程2x+y－1=0，可化为y=－2x+1，由直线方程的斜截式知，直线的斜率k=－2，在y轴上的截距b=1，直线与y轴交点的坐标为（0，1）。直线l：的斜率和在x轴上的截距分别为（

）A．，3 B．， C．，3 D．，【答案】B【分析】由可得，据此可得答案.【详解】，则直线斜率为，又令，则，故直线在x轴上的截距分别为.故选：B直线的倾斜角及在y轴上的截距分别是（

）A．，2 B．， C．， D．，2【答案】C【分析】将直线方程化成斜截式方程，即可求解.【详解】直线化成斜截式，可知直线的斜率，故倾斜角为，直线在y轴上的截距为，故选：C22：斜截式方程的图象应用（1、3象限斜率为正，2、4象限斜率为负；y轴正半轴b为正，y轴负半轴b为负）如图中直线的方程是，则下列结论中成立的是（）A．且B．且C．且D．且解析：由图可知，直线的斜率为为负数，该直线在轴上的截距为正数，即且.故选：B.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0解析：∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b直线l不经过第三象限，l的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则有()A．k·b>0B．k·b<0C．k·b≥0 D．k·b≤0解析：由题意知k≤0，b>0，∴k·b≤0.故选D在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()解析：选C.法一：(1)当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；(2)当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；(3)当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角且过原点，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距a<0，C项正确．法二：(排除法)A选项中，直线y＝ax的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y＝x＋a在y轴上的截距a<0，所以不满足．同理可排除B，D，从而得C正确．直线y＝ax－eq\f(1,a)的图像可能是()解析：由y＝ax－eq\f(1,a)可知，斜率和截距必须异号，故B正确．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()解析：对于A选项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于B选项，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C选项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D选项，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0.故选D.23：根据斜截式方程求参数取值直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．解析：如图，直线y＝kx＋2过定点(0，2)，若直线不过第三象限，则k≤0.答案：(－∞，0]已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求k的取值范围．解析：由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6≤0，,3－2k≤0，))得k≥eq\f(3,2).所以，k的取值范围是eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(k))k≥eq\f(3,2)}.方程y＝a|x|和y＝x+a（a＞0）所确定的曲线有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．0＜a＜1 C．∅ D．0＜a＜1或a＞1【解答】解：根据题意画出两函数的图象，如图所示：∵方程y＝a|x|和y＝x+a（a＞0）所确定的曲线有两个交点，且a＞0，∴根据图形可得a＞1时，两曲线有两个交点，则满足题意的a的范围为a＞1．故选：A．母题3：两点式方程31：求两点式直线方程过(1,1),(2,−1)两点的直线方程为（

）A．2x−y−1=0 B．x−2y+3=0C．2x+y−3=0 D．x+2y−3=0解析：∵直线过两点(1,1)和(2,−1)，∴直线的两点式方程为y−(−1)1−(−1)＝x−21−2，整理得过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为解析：由两点式方程可得，eq\f(y－1,4－1)＝eq\f(x＋2,1＋2)，即y＝x＋3.已知三角形的三个顶点分别为A（6，－7），B（－2，3），C（2，1），求AC边上的中线所在的直线方程．【答案】x+y－1=0【解析】设AC的中点为M（x，y），则，，即M（4，－3）．由于直线BM过B（－2，3），M（4，－3）两点，∴直线方程的两点式为，化简，得x+y－1=0．∴AC边上的中线所在的直线方程为x+y－1=0．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），分别求BC边上的高和中线所在的直线方程．【答案】3x－5y+15=0x+13y+5=0【解析】BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC的中点坐标，由两点式得BC边上的中线所在的直线方程．设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，∴，∴，解得，∴BC边上的高所在的直线方程是，即3x－5y+15=0．设BC的中点是M，则，∴BC边上的中线所在直线方程是，即x+13y+5=0．∴BC边上的高所在的直线方程是3x－5y+15=0，BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．32：根据两点式求参数取值已知直线l经过−2,−2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024解析：由题意知l不与x,y轴平行，故由直线l的两点式方程可得m+21348+2=m−4若点P（3，m）在过点A（2，―1），B（―3，4）的直线上，则m的值为________【答案】（2）―2【解析】（2）因为直线过点A（2，―1），B（―3，4），所以直线方程是：，即，把点P（3，m）代入得，。已知两点，.（1）求直线AB的方程；（2）设a为实数，若点在直线AB上，求a的值.【答案】（1）；（2）－8.【解析】（1）由题意可得直线的斜率，∴直线的方程为：，即直线的方程为：；（2）由(1)可得：，∴，∴实数的值为．33：光线折射问题一束光线从A（1，0）点处射到y轴上一点B（0，2）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．x+2y﹣2＝0 B．2x﹣y+2＝0 C．x﹣2y+2＝0 D．2x+y﹣2＝0【解答】解：由反射定律可得点A（1，0）关于y轴的对称点A′（﹣1，0）在反射光线所在的直线上，再根据点B（0，2）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程为＝1，即2x﹣y+2＝0，故选：B．一条光线从点A（3，2）发出，经x轴反射，通过点B（﹣1，6），则反射光线所在直线的方程为．【解答】解：∵一条光线从点A（3，2）发出，经x轴反射，通过点B（﹣1，6），则点A关于x轴的对称点A′（3，﹣2）在反射光线所在直线上，则由两点式求得反射光线（BA′）所在直线的方程为＝，即2x+y﹣4＝0，故答案为：2x+y﹣4＝0．一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程．【解答】解：一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（2，0），可得入射光线所在直线方程为，化为x﹣y﹣2＝0．由于点P（6，4）关于直线x＝2对称点为P′（﹣2，4），可得反射光线所在直线方程为，化为x+y﹣2＝0．母题4：截距式方程41：截距式方程的概念理解下列四个命题中真命题是()A.经过定点的直线都可以用方程表示；B.经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)＝(xx1)(y2y1)表示；C.不经过原点的直线都可以用方程表示；D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示.直线过第一、三、四象限，则（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【解答】解：根据题意，直线+＝1与x轴交点为（a，0），与y轴交点坐标为（0，b），若直线过第一、三、四象限，则有a＞0，b＜0，故选：B．直线：如图所示，则，的取值范围是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用直线在坐标轴上的截距的正负判断.【详解】解：由，令，得，令，得，则，故选：B如下图，若A（2，2）、B（a，0）、C（0，b）（ab≠0）三点共线，则的值等于________．【答案】【解析】由题设可知，设直线的截距式方程易于解题．设直线BC的方程为．∵A（2，2）在直线BC上，∴，即．两条直线与的图像可能是如图中的（）A． B． C． D．【解答】解：由于两条直线与的斜率分别为、，故这两条直线的斜率同号，而选项A、C、D中的两条直线的斜率异号，只有B中的两条直线的斜率同号，故选：B．42：求截距式直线方程例1：已知截距求方程已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为________。解析：由直线方程的截距式，得eq\f(x,3)＋eq\f(y,2)＝1.根据条件求下列各题中直线的截距式方程：（1）在x轴上的截距为－3，在y轴上的截距为2；（2）在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为－4。【答案】（1）（2）例2：已知截距关系求方程已知直线l过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．则直线l的方程为解析：当直线过原点时，所求直线方程为3x－2y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)P(2,3)，所以eq\f(2＋3,a)＝1，即a＝5.直线方程为eq\f(x,5)＋eq\f(y,5)＝1，即x＋y－5＝0.直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.已知直线l经过点A(5,−2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为.【答案】【解析】当截距为0时，设，代入A（5，2）解得，即当截距不为0时，设，代入A（5，2）解得，即综上，直线方程为或已知直线过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程。【答案】x+y－5=0或x－y+1=0或3x－2y=0【解析】当截距都为0时，设直线为，把点P（2，3）代入得：3x－2y=0当截距都不为0时，设直线为，由直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，得，所以或，把点P（2，3）代入得x+y－5=0或x－y+1=0。过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程是解析：当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－eq\f(1,3)x，当截距不为零时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(－1,b)＝1，,|a|＝|b|，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－4，))即直线方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,4)＋eq\f(y,－4)＝1，∴满足条件的直线为y＝－eq\f(1,3)x、eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1、eq\f(x,4)＋eq\f(y,－4)＝1已知直线经过点，其纵截距为正，且纵截距比横截距大1，则直线的方程为__________.【答案】【分析】设直线的方程为，将代入直线方程，解出，进而即可求解.【详解】由题意知，直线的斜率存在，由题意设直线的方程为，将代入直线方程，可得，解得或（舍去），所以直线的方程为，即.故答案为：.过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是解析：设方程的截距式为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,b)＝1，,a＋b＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，))所以直线方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,3)＝1.过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为解析：①当直线过原点时，直线方程为y＝－eq\f(5,3)x；②当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a.代入点(－3,5)，得a＝－8.即直线方程为x－y＋8＝0.答案：y＝－eq\f(5,3)x或x－y＋8＝0若直线经过点A(1，4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，那么直线的方程为解析：当直线经过坐标原点时，直线在x轴、y轴上的截距都是0，符合题意，设其方程为y＝kx，又直线经过点A(1，4)，所以4＝k，即方程为y＝4x；当直线不经过坐标原点时，设其方程为eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，又直线经过点A(1，4)，所以eq\f(1,2a)＋eq\f(4,a)＝1，解得a＝eq\f(9,2)，此时直线方程为eq\f(x,9)＋eq\f(y,\f(9,2))＝1，即x＋2y－9＝0.故所求直线方程为y＝4x或x＋2y－9＝0.例3：面积问题设直线在，轴上的截距分别为，，且满足，则直线与坐标轴围成的图形的面积为______.【答案】3【分析】所围成的图形为三角形，则所求面积为.【详解】直线在，轴上的截距分别为，，则直线与坐标轴所围成的图形为三角形，则所求面积为.故答案为：3.直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l的方程为____________．解析：解法一：设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|a||b|＝4，,\f(－2,a)＋\f(3,b)＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,3)，,b＝－6，))所以直线l的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,－\f(4,3))＋eq\f(y,－6)＝1，即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0.解法二：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－eq\f(3,k)－2，则S＝eq\f(1,2)|2k＋3|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,k)－2))＝4，所以(2k＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝±8.若(2k＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝8，即4k2＋4k＋9＝0，无解．若(2k＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)＋2))＝－8，即4k2＋20k＋9＝0，解得k＝－eq\f(9,2)或－eq\f(1,2).所以直线l的方程为y－3＝－eq\f(9,2)(x＋2)或y－3＝－eq\f(1,2)(x＋2)．即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0.已知直线l过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是()【解析】设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0).由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(3,b)＝1，,\f(1,2)ab＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝6.))故直线l的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1，即3x＋y－6＝0.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．【答案】或.【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解.【详解】解∵直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为，则直线方程为，即.，即，，∴直线方程为.若在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在轴上的截距为，则在轴上的截距为，故直线方程为，即.∵，即，，直线方程为.综上所述，直线的方程为或.已知直线的倾斜角的正弦值为，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程．解析：设直线的方程为，倾斜角为，由，得．∴，解得．故所求的直线方程为或母题5：一般式方程51：直线的一般式方程根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是eq\r(3)，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；(5)经过点B(4,2)，且平行于x轴.解(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝eq\r(3)(x－5)，即eq\r(3)x－y－5eq\r(3)＋3＝0.(2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2，即4x－y－2＝0.(3)由两点式，得直线方程为eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－－1,2－－1)，即2x＋y－3＝0.(4)由截距式，得直线方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，即x＋3y＋3＝0.(5)y－2＝0.根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式.①斜率是－eq\f(1,2)，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________；②在x轴和y轴上的截距分别是eq\f(3,2)和－3的直线方程为________________；③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________.答案①x＋2y＋4＝0②2x－y－3＝0③x＋y－1＝052：五种方程形式的互化在直角坐标系中，直线x＋eq\r(3)y－3＝0的倾斜角是()A.30°B.60°C.150°D.120°答案C解析直线斜率k＝－eq\f(\r(3),3)，所以倾斜角为150°，故选C.已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0答案D解析由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.直线Ax+By+C=0，当A＞0，B＜0，C＞0时，必经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限【答案】A【解析】令x=0，得；令y=0，得，如右图，知直线Ax+By+C=0经过第一、二、三象限．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()答案B解析当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合．若ac＜0，bc＜0，则直线ax+by+c＝0的图形只能是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意知，函数的解析式即y＝﹣x﹣，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，∴﹣＜0，﹣＞0，故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0，故选：C．直线方程为，若直线不过第二象限，则实数m的取值范围是______．【答案】解析：不过第二象限,，解得，故答案为：已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．解析：直线OA的斜率k＝eq\f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－eq\f(a－3,5)≤0，则a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．若直线与直线平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大，求直线的方程.【答案】【分析】由平行可设直线方程为，分和两种情况，并结合题意列等式即可【详解】直线与直线平行，则设其方程为，当时，直线方程为，故可得在轴上的截距和在轴上的截距都是为，不满足题意，当时，方程化为截距式为，因为直线在轴上的截距比在轴上的截距大，所以，解得，直线的方程为.已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()答案：－2或1已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A.－eq\r(3)，－1B.eq\r(3)，－1C.－eq\r(3)，1D.eq\r(3)，1答案A解析原方程化为eq\f(x,\f(1,a))＋eq\f(y,\f(1,b))＝1，∴eq\f(1,b)＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－eq\f(a,b)＝a，且eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan120°＝－eq\r(3)，∴a＝－eq\r(3)，故选A.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________.答案3解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，,m2－4≠0，))∴m＝3.若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．解析：若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝0，,m2＋3m＝0，))得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是平行于y轴的直线，则系数a，b，c满足条件()A．bc＝0 B．a≠0C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝0解析：选D.y轴方程表示为x＝x0，所以a，b，c满足条件为a≠0且b＝0.母题6：直线过定点问题直线kx−y+1−3k=0，当k变化时，所有直线都恒过点()A．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)【答案】C【解析】直线方程可化为y－1＝k(x－3)，∴无论k为何值时，都过定点(3,1)．无论a、b(ab≠0)取何实数，直线ax＋by＋2a－3b＝0都过一定点P，则P点坐标为．【答案】(－2,3)【解析】由ax＋by＋2a－3b＝0得a(x＋2)＋b(y－3)＝0，∴直线过定点P(－2,3)．直线2m−1x−m+3【答案】(2,3)【解析】原方程可化为m(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0.∵对任意m∈R，方程恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))∴直线恒过定点(2,3)．不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原方程可化为，由直线恒过定点可知，，解得，所以直线恒过定点，故选：B已知点P(m，n)在直线3x＋y＋2＝0上，直线y＝mx＋n恒过一定点，则该定点的坐标为________．解析：由点P(m，n)在直线3x＋y＋2＝0上得3m＋nn＝－3m－2.代入直线方程得y＝mx－3m－2，即y＋2＝m(x－3)．故直线恒过点(3，－2)．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)。(1)求证：不论a取何值，直线l必过定点，并求出这个定点；(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(3)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解析：(1)直线l的方程可变形为(a＋1)x＋y＋3－(ay＋3＝－(a＋1)(x－1)．故不论a取何值，直线l恒过定点(1，－3)．(2)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等．则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即3x＋y＝0；若a≠2，由题设l在两轴上的截距相等，∴eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即x＋y＋2＝0.∴l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(3)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴欲使l不经过第二象限，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1>0,a－2≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＝0，,a－2≤0))∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.母题7：两条直线的位置关系（多选）已知直线（）A．直线与直线平行B．直线与直线平行C．直线与直线垂直D．直线与直线垂直【答案】AD【解析】对于A，与斜率相同，但截距不同，与平行，A正确；对于B，，与不平行，B错误；对于C，，与不垂直，C错误；对于D，，与垂直，D正确.故选：AD.直线：和直线：（）的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合【答案】B【解析】当时，直线：与直线：相互垂直；当时，直线方程可化为，直线方程可化为因为，所以直线与直线相互垂直故选：B直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（）A．与相交B．与平行C．与重合D．与的位置关系与a的取值有关【答案】B【解析】由：，可得，因为且，所以与平行，故选：B下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是(

)A．与 B．与C．与 D．与解析：A：a＝0时，两直线分别为：，此时它们垂直；当a≠0时，它们斜率之积为，则它们不垂直；故两条直线不一定垂直；B：两直线斜率之积为：，故两直线垂直；C：两直线斜率之积为：，故两直线不垂直；D：两直线斜率之积为：，故两条直线不垂直；故选：B.母题8：由直线平行与垂直求直线与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为，整理得．故选：C过点且垂直于直线的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所求直线垂直于直线，所以设其方程为，又因为直线过点，所以，解得所以直线方程为：，故选：A.过点，且与直线平行的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】所求直线与直线平行，所以，所求直线为，整理得．已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．【解析】直线的斜率为，直线与之垂直，则，又过点，所以直线方程为，即．母题9：由直线的平行与垂直求参数若直线和直线平行，则的值为（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】直线和直线平行，可得，得.故选：A.直线与直线垂直，则的值为（）A．B．1C．D．9【答案】B【解析】由题意，得，解得.故选：B.已知l1：x+my+6=0，l2：(m−2)x+3y+2m=0，分别求m的值，使得l1【解析】(1)若l1和l2垂直，方法1把直线化为斜截式，由斜率k1当m=0时，l1:x=−6，当m≠0时，k1=−1m，k2方法2从一般式来看，可得1∙(m−2)+3∙m=0，∴m=1(2)若l1和l2平行，则∴m2−2m−3=0(3)若l1和l2重合，则m−21(4)若l1和l2相交，则由(2)(3)可知m≠3且已知直线l1：x+2ay−1=0，与l2：【答案】0或14【解析】当a=0时，两直线的斜率都不存在，(注意a是否为0，直线的斜率不一定存在的.)它们的方程分别是x=1，x=－1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由2a−1a=−a2a≠−1−1求满足下列条件的m的值：（1）直线l1：y＝﹣x+1与直线l2：y＝（m2﹣2）x+2m平行；（2）直线l1：y＝﹣2x+3与直线l2：y＝（2m﹣1）x﹣5垂直．【解答】解：（1）∵l1∥l2，∴两直线斜率相等．∴m2﹣2＝﹣1．∴m＝±1．（2）∵l1⊥l2，∴2m﹣1＝．∴m＝．直线，，则“”是“”的（

）条件A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：①充分性：当时，，，所以与斜率相等，且截距不相等，故，所以充分；②必要性：，，当时，则，解得：或，当时，两直线重合，所以舍去，当时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要.所以“”是“”的充要条件故选：C.“”是“直线与直线平行”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要【分析】由可得直线与直线平行，即充分条件成立；由直线与直线平行，求得的值为，即必要条件成立；解