![直线的方程(教师版)_第1页](http://file4.renrendoc.com/view/40694e65d97b8acfed82d24219fe30c7/40694e65d97b8acfed82d24219fe30c71.gif)
![直线的方程(教师版)_第2页](http://file4.renrendoc.com/view/40694e65d97b8acfed82d24219fe30c7/40694e65d97b8acfed82d24219fe30c72.gif)
![直线的方程(教师版)_第3页](http://file4.renrendoc.com/view/40694e65d97b8acfed82d24219fe30c7/40694e65d97b8acfed82d24219fe30c73.gif)
![直线的方程(教师版)_第4页](http://file4.renrendoc.com/view/40694e65d97b8acfed82d24219fe30c7/40694e65d97b8acfed82d24219fe30c74.gif)
![直线的方程(教师版)_第5页](http://file4.renrendoc.com/view/40694e65d97b8acfed82d24219fe30c7/40694e65d97b8acfed82d24219fe30c75.gif)
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
2.2直线的方程目录TOC\o"13"\h\u☯知识清单☯1.直线的点斜式方程 32.直线的斜截式方程 43.直线的两点式方程 44.直线的截距式方程 55.直线方程的一般式 66.直线方程几种表达方式的选取 67.直线方程的综合应用 7☯典型例题☯母题1:点斜式方程 811:点斜式方程的形式 812:求直线方程 8母题2:斜截式方程 1021:求直线方程 1022:斜截式方程的图象应用 1223:根据斜截式方程求参数取值 13母题3:两点式方程 1531:求两点式直线方程 1532:根据两点式求参数取值 1633:光线折射问题 17母题4:截距式方程 1841:截距式方程的概念理解 1842:求截距式直线方程 19母题5:一般式方程 2451:直线的一般式方程 2452:五种方程形式的互化 25母题6:直线过定点问题 28母题7:两条直线的位置关系 29母题8:由直线平行与垂直求直线 31母题9:由直线的平行与垂直求参数 32母题10:直线方程的综合问题 342.2直线的方程☯知识清单☯直线的点斜式方程(1)定义:如图,直线过定点,斜率为,把直线叫做直线的点斜式方程,简称点斜式。(2)两种特殊的直线:①垂直于轴的直线:如图,过定点,倾斜角为90°,斜率不存在,没有点斜式,其方程为或。②平行于轴(或与轴重合)的直线:如图,过定点,倾斜角为0°,斜率为0,其点斜式方程为。(3)求直线点斜式方程的一般步骤:①求直线点斜式的步骤为:定点定斜率写出方程②点斜式方程可表示过点的所有直线,但除外。知识点诠释:1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的,点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线,即斜率不存在的直线;2.当直线的倾斜角为时,直线方程为;3.当直线倾斜角为时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:.4.表示直线去掉一个点;表示一条直线.直线的斜截式方程(1)定义:如图,直线的斜率为,且与轴的交点为,则直线叫做直线的斜截式方程,简称斜截式。(2)斜截式的几种特例表示过原点的直线,表示与轴平行的直线,表示轴知识点诠释:1.b为直线在y轴上截距,截距可以取一切实数,即可以为正数、零、负数;距离必须大于或等于零;2.斜截式方程可由过点的点斜式方程得到;3.当时,斜截式方程就是一次函数的表示形式.4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线,即斜率不存在的直线.5.斜截式是点斜式的特殊情况,在方程中,是直线的斜率,是直线在轴上的截距.直线的两点式方程(1)定义:如图,直线经过点,(其中,),则方程叫做直线的两点式方程,简称两点式。(2)两点式方程的应用用两点式返程写出直线的方程时,要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时,不能用两点式。已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程。知识点诠释:1.这个方程由直线上两点确定;2.当直线没有斜率()或斜率为时,不能用两点式求出它的方程.3.直线方程的表示与选择的顺序无关.4.在应用两点式求直线方程时,往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式,从而得到的方程中,包含了或的情况,但此转化过程不是一个等价的转化过程,不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论.要避免讨论,可直接假设两点式的整式形式.直线的截距式方程(1)定义:如图,直线与两坐标轴的交点分别是,(其中,),则方程,叫做直线的截距式方程,简称截距式。(2)截距的概念①横截距:直线与轴交点的横坐标。在直线方程中,令,解出的值即可;②纵截距:直线与轴交点的横坐标。在直线方程中,令,解出的值即可。(3)截距式方程应用的注意事项①问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑截距式方程,用待定系数法确定其系数即可;②选用截距式方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直;③要注意截距式方程的逆向应用。知识点诠释:1.截距式的条件是,即截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线,不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.2.求直线在坐标轴上的截距的方法:令x=0得直线在y轴上的截距;令y=0得直线在x轴上的截距.直线方程的一般式(1)定义:关于、的二元一次方程(其中、不同时为0)叫做直线的一般方程。(2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示。(3)系数的几何意义:当时,(斜率),(轴上的截距)当时,则(轴上的截距),此时斜率不存在。直线方程几种表达方式的选取在一般情况下,使用斜截式比较方便,这是因为斜截式只需要两个独立变数,而点斜式需要三个独立变数.在求直线方程时,要根据给出的条件采用适当的形式.一般地,已知一点的坐标,求过这点的直线,通常采用点斜式,再由其他条件确定斜率;已知直线的斜率,常用斜截式,再由其他条件确定在y轴上的截距;已知截距或两点选择截距式或两点式.从结论上看,若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长,则选择截距式求解较方便,但不论选用哪一种形式,都要注意各自的限制条件,以免遗漏.知识点诠释:在直线方程的各种形式中,点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式,要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率,两点式是点斜式的特例,其限制条件更多,应用时若采用的形式,即可消除局限性.截距式是两点式的特例,在使用截距式时,首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件.直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式.一般式常化为斜截式与截距式.若一般式化为点斜式,两点式,由于取点不同,得到的方程也不同.直线方程的综合应用(1)已知所求曲线是直线时,用待定系数法求.(2)根据题目所给条件,选择适当的直线方程的形式,求出直线方程.(3)对于两直线的平行与垂直,直线方程的形式不同,考虑的方向也不同.①从斜截式考虑已知直线,,;于是与直线平行的直线可以设为;垂直的直线可以设为.②从一般式考虑:且或,记忆式()与重合,,,(4)直线平行的直线可以设为;垂直的直线可以设为.☯典型例题☯母题1:点斜式方程11:点斜式方程的形式直线的点斜式方程y−yA.任何一条直线
B.不过原点的直线C.不与y轴垂直的直线
D.不与x轴垂直的直线【答案】D直线y=k(x﹣1)(k∈R)是()A.过点(﹣1,0)的一切直线 B.过点(1,0)的一切直线 C.过点(1,0)且除直线x=1外的一切直线 D.过点(1,0)且除x轴外的一切直线【解答】解:方程y=k(x﹣1)(k∈R)表示经过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线.故选:C.直线l的点斜式方程为,则()A.直线l过点,斜率为B.直线l过点,斜率为C.直线l过点,斜率为2D.直线l过点,斜率为2解析:∵直线l的方程为,∴直线l的斜率为2,且经过定点.故选:C直线的倾斜角和所过的定点分别为()A.60°,(1,2)B.120°,(-l,2) C.60°,(-1,2)D.120°,(-1,-2)【答案】B【解析】由直线的点斜式方程可知:该直线的斜率为,其倾斜角为120°,过定点(-1,2).12:求直线方程过点A2,1且斜率为2A.2x−y+3=0 B.2x−y−3=0C.x−2y+1=0 D.x−2y=0解析:由题意可知所求直线的方程为y−1=2x−2,即2x−y−3=0经过点,且倾斜角为45°的直线方程是(
)A. B. C. D.解析:因为所求直线的倾斜角为45°,所以所求直线的斜率,所以直线方程为.故A,C,D错误.故选:B.求经过点D(-1,1),倾斜角为0°的直线方程解析:直线斜率为0,∴直线方程为y-1=0×(x+1).求过点C(-2,3),与x轴垂直的直线方程解析:由于直线与x轴垂直,所以斜率不存在,又过点(-2,3),故方程为x=-2.与直线平行,且过点(-4,3)的直线的点斜式方程是________.【答案】【解析】所求直线的斜率为,又所求直线过点(-4,3),由直线方程的点斜式可得.过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的倍。解析:设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.求直线l的倾斜角是直线y=x-3的倾斜角的两倍,且经过点(2,4)的直线方程解析:直线y=x-3的斜率为1,其倾斜角等于45°,于是直线l的倾斜角等于90°,其斜率不存在,又因为它过点(2,4),故l的方程为x=2.直线过点P(2,-3),且与过点M(-1,2),N(5,2)的直线垂直,求直线的方程.【答案】x=2【解析】直线MN的斜率,所以该直线平行于x轴.又直线垂直于直线MN,因此直线的倾斜角为90°,又直线过点P(2,-3),所以直线的方程为x-2=0,即x=2.母题2:斜截式方程21:求直线方程根据条件写出下列直线的斜截式方程:(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;解析:由直线方程的斜截式可知,所示直线方程为y=2x+5.(2)写出斜率为-1,在y轴上截距为-2的直线方程的斜截式;解析:斜率k=-1,在y轴上的截距b=-2,所求直线方程为y=-x-2.(3)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;解析:∵倾斜角α=150°,∴斜率k=tan150°=-eq\f(\r(3),3),由斜截式可得方程为y=-eq\f(\r(3),3)x-2.(4)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解析:∵直线的倾斜角为60°,∴其斜率k=tan60°=eq\r(3),∵直线与y轴的交点到原点的距离为3,∴直线在y轴上的截距b=3或b=-3.∴所求直线方程为y=eq\r(3)x+3或y=eq\r(3)x-3.经过点,且倾斜角为的直线的斜截式方程为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据倾斜角求出斜率,写出点斜式方程,化为斜截式可得答案.【详解】斜率,点斜式方程为,斜截式方程为.故选:A已知直线方程为y=2x-1,求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标.【答案】k=-2,b=1,(0,1)【解析】直线方程2x+y-1=0,可化为y=-2x+1,由直线方程的斜截式知,直线的斜率k=-2,在y轴上的截距b=1,直线与y轴交点的坐标为(0,1)。直线l:的斜率和在x轴上的截距分别为(
)A.,3 B., C.,3 D.,【答案】B【分析】由可得,据此可得答案.【详解】,则直线斜率为,又令,则,故直线在x轴上的截距分别为.故选:B直线的倾斜角及在y轴上的截距分别是(
)A.,2 B., C., D.,2【答案】C【分析】将直线方程化成斜截式方程,即可求解.【详解】直线化成斜截式,可知直线的斜率,故倾斜角为,直线在y轴上的截距为,故选:C22:斜截式方程的图象应用(1、3象限斜率为正,2、4象限斜率为负;y轴正半轴b为正,y轴负半轴b为负)如图中直线的方程是,则下列结论中成立的是()A.且B.且C.且D.且解析:由图可知,直线的斜率为为负数,该直线在轴上的截距为正数,即且.故选:B.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有()A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0解析:∵直线经过一、三、四象限,∴图形如图所示,由图知,k>0,b直线l不经过第三象限,l的斜率为k,在y轴上的截距为b(b≠0),则有()A.k·b>0B.k·b<0C.k·b≥0 D.k·b≤0解析:由题意知k≤0,b>0,∴k·b≤0.故选D在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是()解析:选C.法一:(1)当a>0时,直线y=ax的倾斜角为锐角,直线y=x+a在y轴上的截距a>0,A,B,C,D都不成立;(2)当a=0时,直线y=ax的倾斜角为0°,所以A,B,C,D都不成立;(3)当a<0时,直线y=ax的倾斜角为钝角且过原点,直线y=x+a的倾斜角为锐角,且在y轴上的截距a<0,C项正确.法二:(排除法)A选项中,直线y=ax的倾斜角为锐角,所以a>0,而直线y=x+a在y轴上的截距a<0,所以不满足.同理可排除B,D,从而得C正确.直线y=ax-eq\f(1,a)的图像可能是()解析:由y=ax-eq\f(1,a)可知,斜率和截距必须异号,故B正确.直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()解析:对于A选项,由l1得a>0,b<0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于B选项,由l1得a<0,b>0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于C选项,由l1得a>0,b<0,而由l2得a<0,b>0,矛盾;对于D选项,由l1得a>0,b>0,而由l2得a>0,b>0.故选D.23:根据斜截式方程求参数取值直线y=kx+2(k∈R)不过第三象限,则斜率k的取值范围是________.解析:如图,直线y=kx+2过定点(0,2),若直线不过第三象限,则k≤0.答案:(-∞,0]已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,求k的取值范围.解析:由题意知,需满足它在y轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-6≤0,,3-2k≤0,))得k≥eq\f(3,2).所以,k的取值范围是eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(k))k≥eq\f(3,2)}.方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的曲线有两个交点,则a的取值范围是()A.a>1 B.0<a<1 C.∅ D.0<a<1或a>1【解答】解:根据题意画出两函数的图象,如图所示:∵方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的曲线有两个交点,且a>0,∴根据图形可得a>1时,两曲线有两个交点,则满足题意的a的范围为a>1.故选:A.母题3:两点式方程31:求两点式直线方程过(1,1),(2,−1)两点的直线方程为(
)A.2x−y−1=0 B.x−2y+3=0C.2x+y−3=0 D.x+2y−3=0解析:∵直线过两点(1,1)和(2,−1),∴直线的两点式方程为y−(−1)1−(−1)=x−21−2,整理得过两点(-2,1)和(1,4)的直线方程为解析:由两点式方程可得,eq\f(y-1,4-1)=eq\f(x+2,1+2),即y=x+3.已知三角形的三个顶点分别为A(6,-7),B(-2,3),C(2,1),求AC边上的中线所在的直线方程.【答案】x+y-1=0【解析】设AC的中点为M(x,y),则,,即M(4,-3).由于直线BM过B(-2,3),M(4,-3)两点,∴直线方程的两点式为,化简,得x+y-1=0.∴AC边上的中线所在的直线方程为x+y-1=0.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),分别求BC边上的高和中线所在的直线方程.【答案】3x-5y+15=0x+13y+5=0【解析】BC边上的高与边BC垂直,由此求得BC边上的高所在直线的斜率,由点斜式得方程;利用中点坐标公式得BC的中点坐标,由两点式得BC边上的中线所在的直线方程.设BC边上的高为AD,则BC⊥AD,∴,∴,解得,∴BC边上的高所在的直线方程是,即3x-5y+15=0.设BC的中点是M,则,∴BC边上的中线所在直线方程是,即x+13y+5=0.∴BC边上的高所在的直线方程是3x-5y+15=0,BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0.32:根据两点式求参数取值已知直线l经过−2,−2、2,4两点,点1348,m在直线l上,则m的值为(
)A.2021 B.2022 C.2023 D.2024解析:由题意知l不与x,y轴平行,故由直线l的两点式方程可得m+21348+2=m−4若点P(3,m)在过点A(2,―1),B(―3,4)的直线上,则m的值为________【答案】(2)―2【解析】(2)因为直线过点A(2,―1),B(―3,4),所以直线方程是:,即,把点P(3,m)代入得,。已知两点,.(1)求直线AB的方程;(2)设a为实数,若点在直线AB上,求a的值.【答案】(1);(2)-8.【解析】(1)由题意可得直线的斜率,∴直线的方程为:,即直线的方程为:;(2)由(1)可得:,∴,∴实数的值为.33:光线折射问题一束光线从A(1,0)点处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程是()A.x+2y﹣2=0 B.2x﹣y+2=0 C.x﹣2y+2=0 D.2x+y﹣2=0【解答】解:由反射定律可得点A(1,0)关于y轴的对称点A′(﹣1,0)在反射光线所在的直线上,再根据点B(0,2)也在反射光线所在的直线上,用两点式求得反射光线所在的直线方程为=1,即2x﹣y+2=0,故选:B.一条光线从点A(3,2)发出,经x轴反射,通过点B(﹣1,6),则反射光线所在直线的方程为.【解答】解:∵一条光线从点A(3,2)发出,经x轴反射,通过点B(﹣1,6),则点A关于x轴的对称点A′(3,﹣2)在反射光线所在直线上,则由两点式求得反射光线(BA′)所在直线的方程为=,即2x+y﹣4=0,故答案为:2x+y﹣4=0.一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射,求入射光线和反射光线所在直线的方程.【解答】解:一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),可得入射光线所在直线方程为,化为x﹣y﹣2=0.由于点P(6,4)关于直线x=2对称点为P′(﹣2,4),可得反射光线所在直线方程为,化为x+y﹣2=0.母题4:截距式方程41:截距式方程的概念理解下列四个命题中真命题是()A.经过定点的直线都可以用方程表示;B.经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)=(xx1)(y2y1)表示;C.不经过原点的直线都可以用方程表示;D.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.直线过第一、三、四象限,则()A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0【解答】解:根据题意,直线+=1与x轴交点为(a,0),与y轴交点坐标为(0,b),若直线过第一、三、四象限,则有a>0,b<0,故选:B.直线:如图所示,则,的取值范围是(
)A., B.,C., D.,【答案】B【分析】利用直线在坐标轴上的截距的正负判断.【详解】解:由,令,得,令,得,则,故选:B如下图,若A(2,2)、B(a,0)、C(0,b)(ab≠0)三点共线,则的值等于________.【答案】【解析】由题设可知,设直线的截距式方程易于解题.设直线BC的方程为.∵A(2,2)在直线BC上,∴,即.两条直线与的图像可能是如图中的()A. B. C. D.【解答】解:由于两条直线与的斜率分别为、,故这两条直线的斜率同号,而选项A、C、D中的两条直线的斜率异号,只有B中的两条直线的斜率同号,故选:B.42:求截距式直线方程例1:已知截距求方程已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2),(3,0),则直线l的方程为________。解析:由直线方程的截距式,得eq\f(x,3)+eq\f(y,2)=1.根据条件求下列各题中直线的截距式方程:(1)在x轴上的截距为-3,在y轴上的截距为2;(2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为-4。【答案】(1)(2)例2:已知截距关系求方程已知直线l过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距相等.则直线l的方程为解析:当直线过原点时,所求直线方程为3x-2y=0;当直线不过原点时,设直线方程为eq\f(x,a)+eq\f(y,a)P(2,3),所以eq\f(2+3,a)=1,即a=5.直线方程为eq\f(x,5)+eq\f(y,5)=1,即x+y-5=0.直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.已知直线l经过点A(5,−2),且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为.【答案】【解析】当截距为0时,设,代入A(5,2)解得,即当截距不为0时,设,代入A(5,2)解得,即综上,直线方程为或已知直线过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,求直线的方程。【答案】x+y-5=0或x-y+1=0或3x-2y=0【解析】当截距都为0时,设直线为,把点P(2,3)代入得:3x-2y=0当截距都不为0时,设直线为,由直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,得,所以或,把点P(2,3)代入得x+y-5=0或x-y+1=0。过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程是解析:当截距都为零时满足题意要求,直线为y=-eq\f(1,3)x,当截距不为零时,设直线方程为eq\f(x,a)+eq\f(y,b)=1,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)+\f(-1,b)=1,,|a|=|b|,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=4,,b=-4,))即直线方程为eq\f(x,2)+eq\f(y,2)=1或eq\f(x,4)+eq\f(y,-4)=1,∴满足条件的直线为y=-eq\f(1,3)x、eq\f(x,2)+eq\f(y,2)=1、eq\f(x,4)+eq\f(y,-4)=1已知直线经过点,其纵截距为正,且纵截距比横截距大1,则直线的方程为__________.【答案】【分析】设直线的方程为,将代入直线方程,解出,进而即可求解.【详解】由题意知,直线的斜率存在,由题意设直线的方程为,将代入直线方程,可得,解得或(舍去),所以直线的方程为,即.故答案为:.过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是解析:设方程的截距式为eq\f(x,a)+eq\f(y,b)=1,则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,b)=1,,a+b=5,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=3,))所以直线方程为eq\f(x,2)+eq\f(y,3)=1.过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为解析:①当直线过原点时,直线方程为y=-eq\f(5,3)x;②当直线不过原点时,设直线方程为eq\f(x,a)+eq\f(y,-a)=1,即x-y=a.代入点(-3,5),得a=-8.即直线方程为x-y+8=0.答案:y=-eq\f(5,3)x或x-y+8=0若直线经过点A(1,4),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍,那么直线的方程为解析:当直线经过坐标原点时,直线在x轴、y轴上的截距都是0,符合题意,设其方程为y=kx,又直线经过点A(1,4),所以4=k,即方程为y=4x;当直线不经过坐标原点时,设其方程为eq\f(x,2a)+eq\f(y,a)=1,又直线经过点A(1,4),所以eq\f(1,2a)+eq\f(4,a)=1,解得a=eq\f(9,2),此时直线方程为eq\f(x,9)+eq\f(y,\f(9,2))=1,即x+2y-9=0.故所求直线方程为y=4x或x+2y-9=0.例3:面积问题设直线在,轴上的截距分别为,,且满足,则直线与坐标轴围成的图形的面积为______.【答案】3【分析】所围成的图形为三角形,则所求面积为.【详解】直线在,轴上的截距分别为,,则直线与坐标轴所围成的图形为三角形,则所求面积为.故答案为:3.直线l过定点A(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,则直线l的方程为____________.解析:解法一:设直线方程为eq\f(x,a)+eq\f(y,b)=1,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|a||b|=4,,\f(-2,a)+\f(3,b)=1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=4,,b=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-\f(4,3),,b=-6,))所以直线l的方程为eq\f(x,4)+eq\f(y,2)=1或eq\f(x,-\f(4,3))+eq\f(y,-6)=1,即9x+2y+12=0或x+2y-4=0.解法二:由题意知,直线l的斜率存在且不为0,设为k,则直线l的方程为y-3=k(x+2),令x=0,得y=2k+3,令y=0,得x=-eq\f(3,k)-2,则S=eq\f(1,2)|2k+3|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(-\f(3,k)-2))=4,所以(2k+3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)+2))=±8.若(2k+3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)+2))=8,即4k2+4k+9=0,无解.若(2k+3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k)+2))=-8,即4k2+20k+9=0,解得k=-eq\f(9,2)或-eq\f(1,2).所以直线l的方程为y-3=-eq\f(9,2)(x+2)或y-3=-eq\f(1,2)(x+2).即9x+2y+12=0或x+2y-4=0.已知直线l过点P(1,3),且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6,则直线l的方程是()【解析】设直线l的方程为eq\f(x,a)+eq\f(y,b)=1(a>0,b>0).由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(3,b)=1,,\f(1,2)ab=6,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=6.))故直线l的方程为eq\f(x,2)+eq\f(y,6)=1,即3x+y-6=0.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为18,求直线l的方程.【答案】或.【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0,设直线方程为,其中,根据三角形面积即可求解.【详解】解∵直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,∴直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0,若l在两坐标轴上的截距相等,且设为,则直线方程为,即.,即,,∴直线方程为.若在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设在轴上的截距为,则在轴上的截距为,故直线方程为,即.∵,即,,直线方程为.综上所述,直线的方程为或.已知直线的倾斜角的正弦值为,且它与坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线的方程.解析:设直线的方程为,倾斜角为,由,得.∴,解得.故所求的直线方程为或母题5:一般式方程51:直线的一般式方程根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:(1)斜率是eq\r(3),且经过点A(5,3);(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;(3)经过点A(-1,5),B(2,-1)两点;(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1;(5)经过点B(4,2),且平行于x轴.解(1)由点斜式,得直线方程为y-3=eq\r(3)(x-5),即eq\r(3)x-y-5eq\r(3)+3=0.(2)由斜截式,得直线方程为y=4x-2,即4x-y-2=0.(3)由两点式,得直线方程为eq\f(y-5,-1-5)=eq\f(x--1,2--1),即2x+y-3=0.(4)由截距式,得直线方程为eq\f(x,-3)+eq\f(y,-1)=1,即x+3y+3=0.(5)y-2=0.根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.①斜率是-eq\f(1,2),且经过点A(8,-6)的直线方程为________________;②在x轴和y轴上的截距分别是eq\f(3,2)和-3的直线方程为________________;③经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为________________.答案①x+2y+4=0②2x-y-3=0③x+y-1=052:五种方程形式的互化在直角坐标系中,直线x+eq\r(3)y-3=0的倾斜角是()A.30°B.60°C.150°D.120°答案C解析直线斜率k=-eq\f(\r(3),3),所以倾斜角为150°,故选C.已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为()A.4x-3y-3=0 B.3x-4y-3=0C.3x-4y-4=0 D.4x-3y-4=0答案D解析由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为,则tanα=,所以直线l的斜率k=tan2α===,所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=(x-1),即4x-3y-4=0.直线Ax+By+C=0,当A>0,B<0,C>0时,必经过的象限是()A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限【答案】A【解析】令x=0,得;令y=0,得,如右图,知直线Ax+By+C=0经过第一、二、三象限.如果A·C<0且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是()答案B解析当a>0,b>0时,-a<0,-b<0.选项B符合.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图形只能是()A. B. C. D.【解答】解:由题意知,函数的解析式即y=﹣x﹣,∵ac<0,bc<0,∴a•b>0,∴﹣<0,﹣>0,故直线的斜率小于0,在y轴上的截距大于0,故选:C.直线方程为,若直线不过第二象限,则实数m的取值范围是______.【答案】解析:不过第二象限,,解得,故答案为:已知直线l:5ax-5y-a+3=0.为使直线不经过第二象限,求a的取值范围.解析:直线OA的斜率k=eq\f(\f(3,5)-0,\f(1,5)-0)l不经过第二象限,需它在y轴上的截距不大于零,即令x=0时,y=-eq\f(a-3,5)≤0,则a≥3,即a的取值范围是[3,+∞).若直线与直线平行,且在轴上的截距比在轴上的截距大,求直线的方程.【答案】【分析】由平行可设直线方程为,分和两种情况,并结合题意列等式即可【详解】直线与直线平行,则设其方程为,当时,直线方程为,故可得在轴上的截距和在轴上的截距都是为,不满足题意,当时,方程化为截距式为,因为直线在轴上的截距比在轴上的截距大,所以,解得,直线的方程为.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是()答案:-2或1已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线eq\r(3)x-y-eq\r(3)=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为()A.-eq\r(3),-1B.eq\r(3),-1C.-eq\r(3),1D.eq\r(3),1答案A解析原方程化为eq\f(x,\f(1,a))+eq\f(y,\f(1,b))=1,∴eq\f(1,b)=-1,∴b=-1.又∵ax+by-1=0的斜率k=-eq\f(a,b)=a,且eq\r(3)x-y-eq\r(3)=0的倾斜角为60°,∴k=tan120°=-eq\r(3),∴a=-eq\r(3),故选A.若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则实数m的值是________.答案3解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2m2-5m+2,m2-4)=1,,m2-4≠0,))∴m=3.若方程(m2+5m+6)x+(m2+3m)y+1=0表示一条直线,则实数m满足________.解析:若方程不能表示直线,则m2+5m+6=0且m2+3m=0,解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2+5m+6=0,,m2+3m=0,))得m=-3,所以m≠-3时,方程表示一条直线.如果ax+by+c=0表示的直线是平行于y轴的直线,则系数a,b,c满足条件()A.bc=0 B.a≠0C.bc=0且a≠0 D.a≠0且b=0解析:选D.y轴方程表示为x=x0,所以a,b,c满足条件为a≠0且b=0.母题6:直线过定点问题直线kx−y+1−3k=0,当k变化时,所有直线都恒过点()A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)【答案】C【解析】直线方程可化为y-1=k(x-3),∴无论k为何值时,都过定点(3,1).无论a、b(ab≠0)取何实数,直线ax+by+2a-3b=0都过一定点P,则P点坐标为.【答案】(-2,3)【解析】由ax+by+2a-3b=0得a(x+2)+b(y-3)=0,∴直线过定点P(-2,3).直线2m−1x−m+3【答案】(2,3)【解析】原方程可化为m(2x-y-1)-(x+3y-11)=0.∵对任意m∈R,方程恒成立,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-y-1=0,,x+3y-11=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=3,))∴直线恒过定点(2,3).不论为何实数,直线恒通过一个定点,这个定点的坐标是()A.B.C.D.【答案】B【解析】原方程可化为,由直线恒过定点可知,,解得,所以直线恒过定点,故选:B已知点P(m,n)在直线3x+y+2=0上,直线y=mx+n恒过一定点,则该定点的坐标为________.解析:由点P(m,n)在直线3x+y+2=0上得3m+nn=-3m-2.代入直线方程得y=mx-3m-2,即y+2=m(x-3).故直线恒过点(3,-2).设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)。(1)求证:不论a取何值,直线l必过定点,并求出这个定点;(2)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;(3)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.解析:(1)直线l的方程可变形为(a+1)x+y+3-(ay+3=-(a+1)(x-1).故不论a取何值,直线l恒过定点(1,-3).(2)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距都为零,当然相等.则(a+1)×0+0+2-a=0,∴a=2,方程即3x+y=0;若a≠2,由题设l在两轴上的截距相等,∴eq\f(a-2,a+1)=a-2,即a+1=1,∴a=0,方程即x+y+2=0.∴l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.(3)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,∴欲使l不经过第二象限,当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-a+1>0,a-2≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-a+1=0,,a-2≤0))∴a≤-1.综上可知a的取值范围是a≤-1.母题7:两条直线的位置关系(多选)已知直线()A.直线与直线平行B.直线与直线平行C.直线与直线垂直D.直线与直线垂直【答案】AD【解析】对于A,与斜率相同,但截距不同,与平行,A正确;对于B,,与不平行,B错误;对于C,,与不垂直,C错误;对于D,,与垂直,D正确.故选:AD.直线:和直线:()的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合【答案】B【解析】当时,直线:与直线:相互垂直;当时,直线方程可化为,直线方程可化为因为,所以直线与直线相互垂直故选:B直线:与直线:(实数a为参数)的位置关系是()A.与相交B.与平行C.与重合D.与的位置关系与a的取值有关【答案】B【解析】由:,可得,因为且,所以与平行,故选:B下列方程所表示的直线中,一定相互垂直的一对是(
)A.与 B.与C.与 D.与解析:A:a=0时,两直线分别为:,此时它们垂直;当a≠0时,它们斜率之积为,则它们不垂直;故两条直线不一定垂直;B:两直线斜率之积为:,故两直线垂直;C:两直线斜率之积为:,故两直线不垂直;D:两直线斜率之积为:,故两条直线不垂直;故选:B.母题8:由直线平行与垂直求直线与直线平行,且经过点(2,3)的直线的方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】与直线平行,且经过点(2,3)的直线的方程为,整理得.故选:C过点且垂直于直线的直线方程是()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为所求直线垂直于直线,所以设其方程为,又因为直线过点,所以,解得所以直线方程为:,故选:A.过点,且与直线平行的直线方程是()A.B.C.D.【答案】A【解析】所求直线与直线平行,所以,所求直线为,整理得.已知直线l经过点,且与直线垂直,则直线l的方程为(
)A. B. C. D.【解析】直线的斜率为,直线与之垂直,则,又过点,所以直线方程为,即.母题9:由直线的平行与垂直求参数若直线和直线平行,则的值为()A.B.C.或D.【答案】A【解析】直线和直线平行,可得,得.故选:A.直线与直线垂直,则的值为()A.B.1C.D.9【答案】B【解析】由题意,得,解得.故选:B.已知l1:x+my+6=0,l2:(m−2)x+3y+2m=0,分别求m的值,使得l1【解析】(1)若l1和l2垂直,方法1把直线化为斜截式,由斜率k1当m=0时,l1:x=−6,当m≠0时,k1=−1m,k2方法2从一般式来看,可得1∙(m−2)+3∙m=0,∴m=1(2)若l1和l2平行,则∴m2−2m−3=0(3)若l1和l2重合,则m−21(4)若l1和l2相交,则由(2)(3)可知m≠3且已知直线l1:x+2ay−1=0,与l2:【答案】0或14【解析】当a=0时,两直线的斜率都不存在,(注意a是否为0,直线的斜率不一定存在的.)它们的方程分别是x=1,x=-1,显然两直线是平行的.当a≠0时,两直线的斜率都存在,故它们的斜率相等,由2a−1a=−a2a≠−1−1求满足下列条件的m的值:(1)直线l1:y=﹣x+1与直线l2:y=(m2﹣2)x+2m平行;(2)直线l1:y=﹣2x+3与直线l2:y=(2m﹣1)x﹣5垂直.【解答】解:(1)∵l1∥l2,∴两直线斜率相等.∴m2﹣2=﹣1.∴m=±1.(2)∵l1⊥l2,∴2m﹣1=.∴m=.直线,,则“”是“”的(
)条件A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:①充分性:当时,,,所以与斜率相等,且截距不相等,故,所以充分;②必要性:,,当时,则,解得:或,当时,两直线重合,所以舍去,当时,两直线斜率相等且截距不相等,符合题意,所以必要.所以“”是“”的充要条件故选:C.“”是“直线与直线平行”的(
)A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要【分析】由可得直线与直线平行,即充分条件成立;由直线与直线平行,求得的值为,即必要条件成立;解
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 吉林省2024-2025学年高二上学期11月期中考试生物试题(解析版)
- 特殊车辆租赁合同范本一览
- 用户体验设计的未来趋势与挑战分析
- 2024-2025学年高中历史专题八当今世界经济的全球化趋势3经济全球化的世界练习含解析人民版必修2
- 2024-2025学年高中语文第二单元传记第5课华罗庚练习粤教版必修1
- 2024-2025学年高中地理第二章城市与城市化第二节不同等级城市的服务功能教学案新人教版必修2
- 2024-2025学年九年级物理下册16.1从永磁体谈起第1课时磁体磁化精炼新版粤教沪版
- 生态修复技术在城市绿化中的应用与实践
- 15绝句教学设计-2024-2025学年二年级下册语文统编版
- 《8 节日烟火给我们的思考》(教学设计)-2023-2024学年四年级上册综合实践活动吉美版
- 异位妊娠护理查房版本
- 人教版 八年级数学下册 第19章 单元综合测试卷(2025年春)
- 2025年湖南中医药高等专科学校高职单招职业技能测试近5年常考版参考题库含答案解析
- 2024年美发师(高级技师)职业鉴定考试题库(含答案)
- 宁波2025年浙江宁波市鄞州区卫健系统其他事业单位招聘事业编制46人笔试历年参考题库附带答案详解
- 【七上HK数学】安徽省蚌埠市固镇县2024-2025学年七年级上学期1月期末试卷数学试题
- 《联合国教科文:学生人工智能能力框架》-中文版
- 2023年部编人教版六年级道德与法治下册全册课件【完整版】
- JT-T-1180.1-2018交通运输企业安全生产标准化建设基本规范第1部分:总体要求
- 一日活动中建立良好师幼关系的有效实践
- 三体系内审检查表(共58页).doc
评论
0/150
提交评论