1-3-1 空间直角坐标系 1-3-2 空间向量运算的坐标表示 作业

1.3.1空间直角坐标系&1.3.2空间向量运算的坐标表示夯实基础一、选择题1.(2022黑龙江绥化肇东四中期中)已知点A(1，1，-3)，B(3，1，-1)，则线段AB的中点M关于平面Oyz对称的点的坐标为()A.(-2，1，-2)B.(2，1，-2)C.(2，-1，-2)D.(2，1，2)【答案】A【解析】由题意得M(2，1，-2)，∴点M关于平面Oyz对称的点的坐标为(-2，1，-2).故选A.2.(2022河北任丘第一中学月考)设O为坐标原点，M(5，-1，2)，A(4，2，-1)，若OM=AB，则点B的坐标为()A.(-1，3，-3)B.(9，1，1)C.(1，-3，3)D.(-9，-1，-1)【答案】B【解析】设B(x，y，z)，由OM=AB得(5，-1，2)=(x-4，y-2，z+1)，∴x-4=5，y-2=-1，z+1=23.(2020浙江台州期末)已知A(1，5，-2)，B(2，4，1)，C(a，3，b+2)三点在同一条直线上，那么()A.a=3，b=-3B.a=6，b=-1C.a=3，b=2D.a=-2，b=1【答案】C易得AB=(1，-1，3)，AC=(a-1，-2，b+4)，∵AB与AC共线，∴AC=λAB，∴(a-1，-2，b+4)=(λ，-λ，3λ)，∴a-1=λ，4.在△ABC中，∠C=90°，A(1，2，-3k)，B(-2，1，0)，C(4，0，-2k)，则k=()A.10C.25【答案】D【解析】由题意得CB=(-6，1，2k)，CA=(-3，2，-k).∵∠C=90°，∴CB·CA=-6×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0，∴k=±10.故选D.5.(2022河北沧州东光第一中学月考)已知向量a=(1，2，3)，|c|=14，若a·c=-7，则a与c的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】|a|=12+22+32=14，所以所以<a，c>=120°.二、填空题6.如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA=a，PB=b，PC=c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是.

【答案】a【解析】由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c).由重心坐标公式得点G的坐标为a37.(2021天津静海检测)若向量a=(1，1，2)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)，则(c-a)·2b=.

【答案】-2【解析】易得c-a=(0，0，-1)，2b=(2，4，2)，∴(c-a)·2b=0+0-2=-2.三、解答题8.(2022天津河东期中)已知AB=(-2，3，5)，AC=(4，1，a)，AD=(6，b，-2).(1)若四边形ABCD为平行四边形，求实数a，b的值；(2)若四边形ABCD的对角线互相垂直，求实数a，b满足的关系式.【解析】(1)因为AB=(-2，3，5)，AC=(4，1，a)，且-24≠31，所以由四边形ABCD为平行四边形，知AC=AB+AD，所以(4，1，a)=(-2，3，5)+(6，b，-2)，所以a=3，b=-2.(2)由题意得BD=AD-AB=(8，b-3，-7).因为四边形ABCD的对角线互相垂直，所以BD·AC=0，即32+b-3-7a=0，亦即9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.【解析】(1)设正三棱柱的侧棱长为h.由题意得A(0，-1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，B1(3，0，h)，C1(0，1，h)，则AB1=(3，1，h)，BC1=(-3，1，h).因为AB1⊥BC1，所以AB1·BC1=-3+1+h2=0，所以(2)由(1)可知AB1=(3，1，2)，BC=(-3，1，所以AB1·BC=-3+1=-2，|AB1|=6，所以cos<AB1，BC>=所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为66拓展提升一、选择题1.(2021山东师范大学附属中学月考)已知a=(1，2，2)，b=(-2，1，1)，则向量b在a上的投影向量为()A.-C.-【答案】B【解析】∵a=(1，2，2)，b=(-2，1，1)，∴a·b=1×(-2)+2×1+2×1=2，向量a方向上的单位向量e=a|a|∴向量b在a上的投影向量为a·b|a|e=22.(2021江西新余一中、宜春一中联考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是()A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，∴NO=(-1，0，-2)，AM=(-2，0，1).∵NO·AM=0，∴直线NO，AM的位置关系是异面垂直.故选C.3.(多选)(2020海南海口海南中学月考)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则以下结论正确的是()A.VP-AA1D=1C.AP⊥BC1D.AP∥平面A1C1D【答案】BD【解析】∵P在侧面BCC1B1上运动，平面BCC1B1∥平面AA1D1D，∴P到平面AA1D1D的距离即为C到平面AA1D1D的距离，即为正方体的棱长，∴VP-AA1D=13S△A以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(x，1，z)(0≤x≤1，0≤z≤1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，∴AP=(x-1，1，z)，BD1=(-1，-1，1)，B1C=(-1∵AP⊥BD1，∴AP·BD1=1-x-1+z=0，∴P(x，1，x)，∴CP=(x，0，x)，∴CP=-xB1C，即B1，P，C三点共线，∴P必在线段B1C上，故B易知C1(0，1，1)，∴BC1=(-1，0，1)，又AP=(x-1，1，∴AP·BC1=1-x+x=1，∴AP与BC1不垂直，故C易知A1(1，0，1)，D(0，0，0)，∴A1C1=(-1，1，0)，DA1=(1，0，1)，又AP=(x-1，1，x)，∴AP=xDA1+A1C1(其中0≤x≤1)，∴AP，DA1，A1C1共面，又AP⊄平面4.(2020四川内江三模)如图所示的几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC=4，AB=AC，∠BAC=90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A.16+8πB.32+16πC.32+8πD.16+16π【答案】A【解析】设D在底面半圆上的射影为D1，连接AD1，交BC于点O，连接A1D，交B1C1于点O1.依题意知AD1⊥BC，A1D⊥B1C1，O，O1分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接OO1，则OO1与上、下底面垂直，所以OO1⊥OB，OO1⊥OA.以OB，OA，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设几何体的高为h(h>0)，则B(2，0，0)，D(0，-2，h)，A(0，2，0)，B1(2，0，h)，所以BD=(-2，-2，h)，AB1=(2，-2由于异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23所以|cos<BD，AB1>|=|BD·AB1||BD所以几何体的体积为12×π×22×4+12×4×2×4=16+8π.二、填空题5.(2022河南濮阳范县一中月