高一数学向量的应用练习题(解析版)

向量的应用id积累运用id积累运用軽松积累，灵涪运用！《1一、单选题1已知A(5,—1),B(1,1),C(2,3)三点，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形【答案】B【分析】由AB-Be二0可判断出答案.【详解】因为AB=(—4,2)，BC二(1,2)所以AB-BC=-4+4=0AB丄BCABC为直角三角形故选：B2•如图，在^ABC中，AB=4,AC=2j2,ZBAC二135。,D为边BC的中点，且AM=MD，则向量BM的模为()B.D・B.D・【答案】B【分析】由条件可得AB-AC=-8，然后用ab、AC表示出BM，然后可算出答案.【详解】因为AB=4,AC=2迈,ZBAC=135。，所以AB•AC=-8.因为BM=AM—AB=2AD-AB因为BM=AM—AB=2AD-AB=AB=—3AB+1AC44所以\T6AB2—3AB•AC+—AC2816故选：B3•—质点在力F=(-3,5),F=(2,-3)的共同作用下，由点A(10,-5)移动到B(-4,0),则F,121F的合力F对该质点所做的功为()2A.24B.-24C・110D・-110【答案】A【分析】先求出F,F的合力F的坐标、ab的坐标，再求出由共点力平衡得合力F对该质点所做的功.12【详解】由题意可知，F,F的合力F=F+F=(-3,5)+(2,-3)=(-1,2),AB=(一4一10,0+5)=(一14,5)1212则由共点力平衡得合力F对该质点所做的功为F•Ab=(-1,2)•(-14,5)=24.故选：A.4•长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度v1的大小1v11=10km/h，水流的速度v2的大小Iv21=4kmh，设v1和v2所成角为°(0<0<k)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos0等于()C.D.C.D.【答案】B【分析】由题意知1+v2）•v2=0,由向量数量积的定义可得选项.由题意知【详解】【详解】由题意知1+v2）v2=0有1环v2|cose+v22=0即1004cose+42=0,所以cose=-1由题意知故选：B.【点睛】本题考查向量的实际应用，关键在于理解向量的数量积的意义和熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题二、多选题5•在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李包所受重力均为G，两个拉力分别为F，F，若耳=F2,F与F的夹角为e.则以下结论正确的是（）121212A.F11一的最小值为2gB.0A.F11一的最小值为2gB.0的范围为［。，兀］C・当0=^2时，|F12兀D.当0^3时'【答案】ACD【分析】——»>AIG|2由丨G1=1F+FIG|21右頑，代入，由余弦函IG|2=|F|2+1F|2+21FI•IFI•cos0=2IF|2（1+cos0），解得IF|1右頑，代入，由余弦函12121"数的性质可判断选项.【详解】对于A选项：因为IG1=1F+FI为定值，且F=

所以IG|2=1F|2+1F|2+21FI・丨FI-cosO=21F|2(1+cose)，解得IF|2=121211IG|22(1+cosO)又°e[o，兀）,y=cos°在°e[o，兀）上单调递减，所以IF^I最小值为||G，故A正确;对于B选项：由题意得°w[IG|22(1+cosO)兀丨G|22-对于C选项：当°=时，IFb=—，所以IFI=IGI，故C正确；21212对于D选项：当°=J时，IFI2=IGI2，所以IFI=IGI，故D正确.311故选：ACD.兀6•如图，口ABCD中，AB=1,AD=2,ZBAD=-，E为CD的中点，AE与DB交于F,则下列叙述中,一定正确的是（）A.BF在AB方向上的投影为02—B・AF二一AB+—ADTOC\o"1-5"\h\z33—_>>C・AF・AB=1J3D・若a=-ZFAB，则tana=-3【答案】ABC【分析】兀AFBFAB1由余弦定理求得BD2=3，根据勾股定理得ZABD=厅，再由平面几何知识得出===恳2EFDFDE2对于A选项由向量数量积的几何意义可判断；对于B选项：根据向量的线性表示可判断；对于C选项由向量的数量积的定义可判断；对于D选项根据正切的二倍角公式可判断.

【详解】兀因为在口ABCD中，AB=1,AD=2,上BAD=—，在△ABD中，由余弦定理得BD2-AB2+AD2-2AB-AD-cos上BAD=12+22-2xlx2xcos60°=3,所以满足AB2+BD2=AD2兀所以/ABD=—又E为CD的中点，所以AFBFAB1所以BF=-BD3孚，AFY百F='12+对于所以BF=-BD3孚，AFY百F='12+对于A选项:BF在AB方向上的投影为BF-cosZABF故A正确;对于B选项:AF=AB+BF=AB+2BD=AB+2（BA+AD）=1AB+2AD3333故B正确;对于C选项:211AF•AB=Vx1x百=1，故C正确;对于D选项:tanZFAB=，设a=：ZFAB，所以tan/FAB=—321-tan2a兰'解得tana屁"（负值舍去），故D不正确,故选：ABC.三、填空题7.—条两岸平行的河流，水速为1m/s，小船的速度为2m/s，为使所走路程最短，小船应朝的方向行驶.【答案】与水速成120。角【分析】使小船所走路程最短，v水+v船应与岸垂直，结合图形和解三角形的知识，即可求解【详解】如图所示，为使小船所走路程最短，V水+V船应与岸垂直，又|V水卜卜1，|V船卜|AC卜2，/ADC=90。，所以/CAD=30。.所以小船应朝与水速成120。角的方向行驶.故答案为：与水速成120。角.【点睛】本题主要考查了向量在物理中的应用，其中解答中理解向量的在实际中的应用，熟练应用向量的加法法则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题8•如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是耳，F2,且F],F2与水平夹角均为45°,|件|=|F2|=F],F2与水平夹角均为45°,【答案】20【分析】>>根据向量加法的平行四边形法则,，从而得出物体重力的大小.即可作出F+F，进而求出F+F的值根据向量加法的平行四边形法则,，从而得出物体重力的大小.【详解】22・・.F+F=10^2x^2n=20n,12・・・物体的重力大小为20.故答案为：20.【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，等腰直角三角形直角边和斜边的关系，考查了计算能力，属于基础题.能力展现以己所学\展现自我！《~|能力展现以己所学\展现自我！《~|四、解答题9•设作用于同一点的三个力耳，耳,9•设作用于同一点的三个力耳，耳,耳处于平衡状态，若千=1,可=2，且F与戸的夹角为3兀，2123如图所示.⑴求F的大小（2）求F与F的夹角.【答案】（2）求F与F的夹角.【答案】（1）F八3；(2)5兀"6【分析】(1)由题意(1)由题意IF1=1F+FI，利用平方,312再开方的方法'即可求什的大小;(2)由F=-(F+F)，可得FF=-FF-FF，从而可求＜F，F＞的大小.3123212223「【详解】解：(1)由题意IFi=iF+FI312•|砖1，1F2I=2'且耳与F2的夹角为3K:弘1正+心」1+4+2・12・(—2)"(2)TF=—(F+F)TOC\o"1-5"\h\z312•-FF=-FF-FF3212221.3・2・cos<F,F〉=一1・2•(—)一43223cos<F,F>=—-3225兀.•.<F,F>=-326【点睛】本题考查向量知识的运用，考查向量的模、夹角的计算，属于中档题.10.在边长为1的正三角形ABC中，已知AC=a，AB=b，点E是线段AB的中点，点F在线段BC上,E(1)以aE(1)以a,b为基底表示AF,ce；(2)求AF•CE.2-11-1【答案】(1)AF=3a+3b；CE=-a+2