一一对应,似同非同

―对应，似同非同 复数与向量的差异比较246740安徽省枞阳县会宫中学朱贤良E-MAIL：高中数学选修系列1与2中均对数系进行了扩充，引入了复数的概念与复数的几何意义，建立了复数与向量的一一对应关系：因而，在学习复数知识的过程中，我们常与向量知识来类比.的确，复数与向量在银多方面具有类似的性质，如复数加减运算的几何意义表明复数的加减运算可以按照向量的加减运算来进行、复数的加法与向量加法一样满足交换律与结合律、复数的乘法与向量的数量积运算一样遵循交换律及分配律……但是它们在另外的不少方面又存在明显不同，尤其在乘法运算方面.盲目地将复数运算与向量运算等同起来，则会给复数学习带来麻烦和错误.笔者结合教学中的实践与探索，对复数与向量的差异作一初步比较，供思考.两个复数能比较大小吗？我们知道，任意两个向量都不能比较大小，那么能不能认为两个复数也是无法比较大小的？答案是否定的，当且仅当两个复数均为实数时，它们有大小之分.例1(1)设a、b、c都是复数，那么“a2+b2>c2”是“a2+b2-c2>0”的条件；(2)已知实数m满足不等式m+3mi<1-(m2-4)i，则m=.解析：(1)“a2+b2>c2”表明a2+b2与c2都是实数，且前者更大，故有a2+b2-c2>0；反之，“a2+b2-c2>0”不能推导“a2+b2>c2”，如a2+b2=2+i，c2=i.所以，“a2+b2>c2”是“a2+b2-c2>0”的充分不必要条件.(2)题意等价于：3m=-(m2-4)< nm=-4.m<1罕%=OZ-空吗？既然复数与向量一一对应，复数的加减运算可以看成对应向量的加减运算，那么两个复数的乘法似乎就可以直接转化为对应的向量的乘法(数量积)进行运算，艮气・％=%•OZ^……稍加注意，不难发现此结论不能成立：两向量之数量积%•OZ2是一实数，而两复数之积z1•z2或为实数或为虚数！事实上，两复数Z]=a+bi与z2=c+di(其中a、b、c、d均为实数)的乘积为：z.•z=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i，而对应两向量的数量积为：O•OZ=(a,b)•(c,d)=ac+bd，2

只有在特殊的情形<只有在特殊的情形<ad+bc=0应=0下'两者才会相等・3.z2=z2吗？根据向量数量积运算的性质，O2=|0Z|2，由此性质能得到向量的模长公式.此性质能否类比到复数的运算中，即公式z2=|z|2成立吗？2010年浙江理科高考曾对此知识点进行了考查：例2(2010浙江•理5)对任意复数z=X+yi(x,yeR),i为虚数单位，则下列结论正确的是(A)z-z=2y (B)z2=x2+y2(C)z-z>2x (D)|z|<|x|+|y|在笔者的教学中，有学生提出如下解答：设复数z=x+yi对应的向量为O，其中O为坐标原点，Z(x,y)，则z2=OZ2=OZ2=x2+y2，故选项B正确.有不少学生对此解法表示赞同，也有部分同学提出异议:这岂不意谓着z2=OZ2=|OZ|2=|z|2吗？z2是一个可实可虚的复数，而OZ2、OZ|2与|z|2一定都是实数，如何就一定相等了……但上述解答又似乎无懈可击……细一思索，问题就出在“z2=OZ2”上.复数与向量一一对应，如何就成等量代换了(同前文叙述的，不能认为“z1•z2=OZ-OZ^)?因而在一个错误的基础上得到了一个错误的结论“z2=|z|2”!不难验证，在复数运算中，有|zI2=z•z.4.z1•z2=|z1•z2吗？一般地，在向量的数量积运算中，OZ・OZ2卜|Oz!•|OF|，除非两向量乓与OZ^共线；而在复数的乘法运算中，式子|z•z|=|z|・|z|成立(证明过程略).运用该结论，可简化相关问题的求解1r1 2过程．例3设复数z满足|z|=1，求|z2+z+1|的最大值与最小值.解析：z•z=z2=1nz2+z+1=z2+z+z•z=z•(z+1+z)=z•z+1+z=z+1+z，设z=x+yi(x,yeR)，则由|z|2=x2+y2=1得，-1<x<1，故z2+z+1=z+1+z=|2x+1|， ， 1t ……一、'所以，当X=1时，Z2+z+1取最大值，为3；当X=—5时，Z2+z+1取最小值，为0.5.（z-z）-z=z-（z-z）吗？1 2 3 1 2 3相比于实数的乘法，向量的数量积运算一个典型的不同在于数量积运算不遵循结合律，即一般情况下，（。彳・oz）0Z3丰oz、，（OZ2-0Z）.类比于向量的数量积运算，我们极可能认为复数的乘法运算同样不遵循结合律，即认为（z，z）-z=z-（z-z）不能成立.而事实恰恰相反，设出复数的代数形12 3 1 23TOC\o"1-5"\h\z式代入，即可发现“（z-z）-z=z-（z-z）”是恒等式（读者可加以验证）.掌握了这点，在复数的12 3 1 23乘法运算中，可减少运算量.例4计算：（：+3i）G;3—"2+i）= .24解析：（；+3i）（拓-i）（百+i）=（；+3