《经济数学》413-5（雷安平）教案 第4课 函数的极限

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课题函数的极限课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握函数极限的直观描述（2）掌握极限性质和运算法则（3）掌握两个重要极限思政育人目标：通过学习函数的极限，帮助学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。教学重难点教学重点：掌握函数极限的直观描述教学难点：极限的运算法则教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（13min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（3min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（30min）【教师】讲解函数极限的直观描述，并通过例题加深学生对函数极限的理解定义2-1对于数列，若随着无限增大，通项无限趋近于某个确定的常数，则称常数为数列的极限，或称数列收敛于，记为．如果一个数列有极限，则称这个数列是收敛的；否则称这个数列是发散的．一、当时，函数的极限从研究具体例子入手，观察分析函数．当无限增大时，无限接近于常数1，如图2-1所示．图2-1图图2-1定义2-2如果随着自变量的无限增大，函数无限趋近于某个确定的常数，则称常数为函数当时的极限，记为．由定义2-2可知，1为当时的极限，即．显然，无限增大包括了两种情况：一是且无限增大，记为；二是且无限增大，记为．下面给出当或时函数极限的定义．定义2-3如果当时，函数无限趋近于某个确定的常数，则称为函数当时的极限，记为．定义2-4如果当时，函数无限趋近于某个确定的常数，则称为函数当时的极限，记为．由定义2-3和定义2-4可知，．由定义2-2、定义2-3和定义2-4容易得出以下结论：．例1讨论的极限．解因为，所以．例2求当时，函数的极限．解因为，所以不存在（虽然有极限，但不相等）．二、当时，函数的极限图2-2考察函数．该函数在时无定义，而对x的其他实数值，函数均等于，如图2-2所示．图2-2当时，函数的值无限趋近于常数2，此时称当时函数的极限为2．一般地，有如下定义．定义2-5设函数在x趋近于时，函数的函数值无限趋近于某个确定的常数，则称为函数当时的极限，记为．三、无穷小量在实际问题中常会遇到极限为零的变量．例如，单摆离开铅直位置而摆动，由于受空气阻力和摩擦力的作用，它的振幅随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．又如，电容器放电时，其电压随时间的增加而逐渐减小并趋近于零．定义2-6在自变量x的某一变化过程中，若函数的极限为0，即，则称为在该变化过程中的无穷小量，简称无穷小．例如，因为当时，的极限为0，所以当时，函数为无穷小；因为当时，的极限为0，所以当时，函数为无穷小．由定义还可以得到无穷小的如下性质:性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小．性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小．性质3常数与无穷小的乘积仍是无穷小．性质4有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小．例4求．解因为，所以是时的无穷小．而是有界函数，由无穷小的性质4，有．四、无穷小的比较由无穷小的性质知道，两个无穷小的和、差、积仍是无穷小，但两个无穷小的商却不一定是无穷小．例如，当时，x，2x，都是无穷小，但是，，．以上不同的结果，反映了无穷小在趋近于零的过程中速度有慢有快．我们给出如下定义．定义2-7设是在自变量同一变化过程中的无穷小，则（1）如果，则称β是比α高阶的无穷小，记作；（2）如果，则称β是比α低阶的无穷小；（3）如果（是不等于零也不等于1的常数），则称β与α是同阶无穷小；（4）如果，则称β与α是等价无穷小，记作．由定义知，当时，是比高阶的无穷小，即，是比低阶的无穷小，与是同阶无穷小．例5当时，指出无穷小与之间的关系．解因为，所以，当时，与是同阶无穷小．（五）无穷大量定义2-8在自变量的某一变化过程中，若函数值的绝对值无限增大，则称为在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记为．例如，当时，的绝对值无限增大，因此在这个变化过程中，是无穷大；当时，函数是无穷大；当时，是无穷大．【学生】掌握函数极限的直观描述学习函数极限的直观描述。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（13min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解极限性质、运算法则和两个重要极限，并通过例题加深学生对概念的理解一、极限的性质定理2-1（唯一性）如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限唯一．定理2-2（有界性）若函数在时极限存在，则必存在的某一邻域，使得在该邻域内有界．定理2-3（保号性）若在的左右近旁，恒有（或）且，则（或）．定理2-4（夹逼准则）如果对于某邻域内的一切（可除外），有，且，则．二、极限的运算法则定理2-5若，，则（1）；（2）；（3）．特别地，在（2）中，若，则有．若，则有，推广可得．以上结论仅就时的两个函数叙述．对于自变量的其他变化过程和多个函数的情形，类似结果仍然成立．三、两个重要极限（一）列表考察当时的变化趋势，如表2-2所示．表2-2运用此极限时，常形象地写成（代表同一变量）实际上也有，也可以说．在使用重要极限来计算函数极限时，要注意其使用条件：（1）函数极限属于“”型；（2）所求变量中带有三角函数；（3）在极限表达式中，处要保持一致．例14求．解．本题的结论可作公式用．例15求．解．（二）这属于型未定式．这个极限在技术、工程、生物以及商业领域被广泛应用．表2-3为时的变化趋势．表2-3观察表2-3可知，当时，函数的对应值无限趋近于一个常数2.718281．可以证明，当时，函数的极限是存在的，通常用字母e表示这个极限值，即．e是个无理数，也是自然对数的底，．在上式中，令，则时，，于是，第二个重要极限有了另一形式：．用第二个重要极限来计算函数极限时，要注意其使用条件：（1）函数极限属于“”型；（2）在极限的式子中，处应保持一致．例18求．解．例19求极限．解．【学生】极限性质、运算法则和两个重要极限学习极限性质、运算法则和两个重要极限。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了函数极限的直观描述、极限性质和运算法则，及两个重要极限，课后要多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固印象作业布置（2min）【教师