2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷A带讲解

2022年12月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷A考生须知1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.本试卷分为两个部分，第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分。3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.第一部分选择题一、选择题.本部分共20小题，每小题3分，共60分.在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合M，P满足M∪P＝M，则一定有（）A．M＝P B．M⊇P C．M∩P＝M D．M⊆PB【解答】解：已知集合M，P满足M∪P＝M，∴P中元素全部在集合M内由子集的定义得P⊆M故选：B．2．若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＜b＜0，则＜ D．若a＞b，则a3＞b3D【解答】解：A．根据a＞b，c＞d，取a＝1，b＝﹣1，c＝2，d＝﹣2，则ac＞bd不成立，故A错误；B．取c＝0，则ac2＞bc2不成立，故B错误；C．由a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，则不成立，故C错误；D．若a＞b，则由不等式的基本性质知，a3＞b3成立，故D正确．故选：D．3．下列图象中，表示函数关系y＝f（x）的是（）A． B． C． D．D．【解答】解：根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图象可看出，只有选项D的图象满足这一点．故选：D．4．在菱形ABCD中，下列结论正确的是（）A． B． C． D．D．【解答】解：A，∵四边形ABCD为菱形，∴＝，∴A错误，B，∵﹣＝，∴B错误，C，∵四边形ABCD为菱形，∴||与||不一定相等，∵|+|＝||，|﹣|＝||，∴C错误，D，∵四边形ABCD为菱形，∴⊥，∵（+）•（﹣）＝•＝0，∴（+）⊥（﹣），∴D正确，故选：D．5．函数的定义域为（）A．（1，4] B．（1，4） C．[1，4] D．[1，4）A【解答】解：由题意，解得1＜x≤4，故选：A．6．为了得到函数的图象，只需要将函数图象上所有的点A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【详解】，把函数的图形向右平移个单位可得到函数．7．计算：＝（）A．﹣3 B． C．3 D．D【解答】解：＝[（﹣3）3]×＝（﹣3）2×3﹣3＝9×＝．故选：D．8．函数y＝（a2﹣4a+4）ax是指数函数，则a的值是（）A．4 B．1或3 C．3 D．1C【解答】解：由题意得，，解得，a＝3，故选：C．9．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件C【解答】解：由于复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则，解得x＝1，故“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件．故选：C．10．某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上（）A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、乐、快 D．乐、快、新B【解答】解：根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，故选：B．11．袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球．从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是A． B． C． D．【详解】根据题意，袋中除白球外共有5个小球，其中黑球有3个，所以从袋中任取一个已知不是白球的小球是黑球的概率为．12．已知，则A． B． C． D．【详解】因为，所以．13．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据和五分记录法的数据满足，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（注A．0.6 B．0.8 C．1.2 D．1.5【详解】在中，，所以，即，解得，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．14．若角α满足α＝45°+k•180°，k∈Z，则角α的终边落在（）A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限B【解答】解：α＝45°+k•180°，k∈Z；当k＝0时，α＝45°，此时α为第一象限角；当k＝1时，α＝225°，此时α是第三象限角；∴角α的终边落在第一或第三象限角．故选：B．15．已知向量，若∥，则实数m的值为（）A． B． C．3 D．﹣3A【解答】解：∵；∴1﹣2m＝0；∴．故选：A．16．在中，，，，那么的面积等于A． B． C． D．1【详解】，，，的面积等于．17．已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是A．若，则必有 B．若，则必有 C．若，则必有 D．若，则必有【详解】．如图所示，设，，满足条件，但是与不平行，因此不正确；．假设，，，，则满足条件，但是与不垂直，因此不正确；．若，，根据线面垂直的判定定理可得，故正确；．设，若，，虽然，但是可有，因此，不正确．综上可知：只有正确．18．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（）A．1：3 B．1：（﹣1） C．1：9 D．：2B【解答】解：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去的小圆锥与大圆锥为相似体，∵截面面积与底面面积的比是1：3，故小圆锥和大圆锥的相似比为：1：，故小圆锥和大圆锥的母线长比为：1：，故小圆锥和所得圆台的母线长比为：1：（﹣1），故选：B．19．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2C【解答】解：根据f（x）的解析式即可求出：f（f（﹣1））＝f（0）＝1．故选：C．20．从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，……50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）（注：表为随机数表的第1行与第2行）0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A．24 B．36 C．46 D．47A【解答】解：由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24．故选：A．第二部分非选择题（共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分21．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则＜（填“＞”、“＜”或“＝”）．<【解答】解：∵a＞b，x＞0，∴ax＞bx，∴ax+ab＞bx+ab，∴a（b+x）＞b（x+a），∴．故答案为：＜．22．据统计，中国大陆最近每年新能源汽车产量的年平均增长率为，按此增长速度，大约___________年后新能源汽车的产量会翻两番．（取，【详解】设今年的产量为，年后翻两番，，，23．设向量，满足||＝2，||＝1，|+|＝，则|﹣|＝2．2【解答】解：∵||＝2，||＝1，|+|＝，∴|+|2＝+2+|，∴2＝1，|﹣|2＝﹣2+|＝4，∴|﹣|＝2，答案为：2．24．已知函数，则的值为___________【详解】函数，，．三、解答题共4小题，共28分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程25．已知函数，．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期；（3）若，，求的值域．（1）；（2）；（3），【详解】（1），所以；（2）由（1）可得函数的最小正周期；（3），时，，所以函数的值域为，．26．如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为线段的中点，为正方形对角线的交点．(1)求证：面；(2)求三棱锥的体积．(1)见解析(2)(1)证明：为正方形对角线的交点，即为的中点，为线段的中点，在中为中位线，可得，面，面，由线面平行的判定定理可得面；解：∵为等边三角形，且边长为2，∴,又因为棱柱为正棱柱，则面，27．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4．点D在边BC上，且．（1），，求；（2），AD恰为BC边上的高，求角A；（3）AD＝3，求t的取值范围．（1）推导出＝（+），从而＝（+2•，由此能求出．（2）由，AD恰为BC边上的高，设CD＝x，BD＝4x，在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，列方程求出x2＝，BC2＝25x2＝20，由余弦定理求出∠BAC．（3）推导出，则•（1﹣t），结合﹣1＜cosA＜1且0＜t＜1，能求出t的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴D为BC的中点，∴＝（+），∵AC＝2，AB＝4，，∴＝（+2•）＝[16+4+2×4×2×（﹣）]＝3，∴＝．（2）由，AD恰为BC边上的高，设CD＝x，BD＝4x，在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，∴4﹣x2＝16﹣16x2，∴x2＝，∴BC2＝25x2＝20，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝0，∴∠BAC＝90°．（3）由题，，则＝＝＝t，∵AD＝3，且AC＝2，AB＝4，∴+（1﹣t）2+2t，则9＝16t2+4（1﹣2t+t2）+（16t﹣16t2）cosA，∴cosA＝，∵﹣1＜cosA＜1，∴﹣1＜，∵0＜t＜1，∴16t2﹣16t＜0，解得，∴t的取值范围是（）．28．某校设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为，，，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）求该选手所得学豆总个数不少于15的概率．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）由题意得该选手所得学豆个数可能为0，5，15，35，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出“该选手所得学豆个数为15”的概率和“该选手所得学豆个数为35”的概率，再利用互斥事件概率加法公式能求出该选手所得学豆总个数不少于15的概