基于数学理论的成矿预测方法研究

基于数学理论的成矿预测方法研究

0成矿预测中统计理论的提出及应用必要性建立数学模型，预测成矿是探索矿位的重要方法。利用统计方法对已有数据进行处理,进而推断其内部规律,并据此进行隐伏矿体定位仍是成矿预测的主流。常用的统计方法包括多元统计、地质统计学等。近年来,既有传统方法的更新,如新的统计分布模型的应用、克立格方法的扩展等,也有新理论和新方法的引入,如统计分形、随机过程等。本文从数学理论分析角度入手,讨论了成矿预测中统计理论的数学表述及其物理意义,并探讨了它们之间的内在联系。同时,提出了Weibull分布模型是成矿元素分布的另一种更为普遍的分布形式,并将Weibull模型与分形相结合对胶东矿集区大尹格庄金矿的元素分布进行了应用研究。1概率统计1.1概率分布特征数据概率分布特征分析是通过有限或局部的地质数据推断整体的分布特征,进而开展成矿预测研究的重要步骤。对数据概率分布的分析是通过分布函数来描述的,分布函数既能说明随机变量的可能取值,又能指出将以多大的概率取这些值,能较完整地描述随机变量的变化特征。因此,分析观测数据并确定研究对象的概率分布函数是一项十分重要的工作。分析观测数据分布特征的最常用方法是作直方图和统计分布曲线图。在实际应用中多使用正态分布、对数正态分布或指数分布来描述成矿元素的品位分布,但是上述数学模型的拟合效果与实际地质数据分布之间仍存在一定差距,并且在描述不同元素分布的过程中,常需变换不同的数学模型。Weibull模型的分布曲线对单调减、单峰对称和单峰偏斜等分布具有灵活的适应性,由此推测Weibull模型可能更适于描述成矿元素分布。在某矿区成矿元素的应用中发现,Weibull分布模型更接近于元素分布,该模型的拟合曲线与原始数据直方图的对应效果较好。Weibull分布模型的概率密度函数可表示为:f(x)=αβ(xβ)α-1exp[-(xβ)α]‚x＞0(1)f(x)=αβ(xβ)α−1exp[−(xβ)α]‚x＞0(1)其中:形状参数α>0;尺度参数β>0。它们控制密度函数曲线的二维形态,可以描述多种对象。1.2多元统计分析1.2.1利用内在联系生成主要成分数据属性分析是要判别各组数据的关系,把具有相似性的数据进行分类;将存在复杂关系的较多变量依据某种内在联系作最佳组合,生成几个主要的成分等。数据属性的分析方法主要有相关分析与回归分析、点群分析、判别分析、典型相关分析、因子分析、非线性映射分析和对应分析等。1.2.2进行趋势分析由于成矿预测观测值可分解为趋势部分和随机部分,对观测数据进行趋势分析是要将趋势部分分离出来。采用的方法是用空间或时间的某种函数来逼近趋势,从而分解出趋势部分。主要方法包括趋势面分析、调和趋势分析、典型趋势分析和单位向量场分析。2可变异性函数地质统计学是以区域化变量理论为基础,以变异函数为基本工具,研究在时空分布上既具有随机性又具有结构性的自然现象的科学。变异函数是研究时空分布数据的结构性、变异性的有效工具。在成矿预测中的许多变量,如矿石品位、矿体厚度、岩矿的各种物化参数、地形的标高等都和观测点的坐标有关,因而都是区域化变量,都可以用变异函数研究。地质统计分析在成矿数据分析中的应用非常广泛,而且历史悠久,它已经成为地质研究工作中必不可少的应用工具,其理论和方法都将随着地质研究中新问题的出现而不断发展和完善。2.1a点x的变异函数区域化变量是空间上的一个数值函数,它在空间的每一个点取一个确定值。由于区域化变量具有结构性和随机性,因此不能用通常的数学分析方法对这种数值空间函数进行直接的研究,为此需作平稳假设:(1)假定的局部范围内,变量的数学期望值为一常数,并且不依赖于支撑点x,即E[Ζ(x)]=m∀x(2)E[Z(x)]=m∀x(2)(2)任意一对随机变量值{Z(x),Z(x+h)}的协方差存在,并且只依赖于相隔的距离h,即C(h)=E{Ζ(x+h)⋅Ζ(x)}-m2(3)C(h)=E{Z(x+h)⋅Z(x)}−m2(3)变异函数是任一方向α、相距为h的两个区域变量值Z(x)和Z(x+h)增量的方差的一半,记为2γ(h,α)=Var{Ζ(x)-Ζ(x+h)}(4)2γ(h,α)=Var{Z(x)−Z(x+h)}(4)由实测数据获得的变异函数称为先验变异函数,记为γ*(h)=12Ν(h)Ν(h)∑i=1[Ζ(xi)-Ζ(xi+h)]2(5)其中要求Z(x)存在且平稳,N(h)是被矢量分隔的数据对的数目。利用变异函数能有效分析成矿预测变量的不同连续性、不同类型的各向异性和不同程度的可迁性。2.2金融学变量范围的设定克立格法是一种局部估计方法,它以最小的估计方差给出对于块段平均品位的无偏估计量。实际上,它也是一种广义的最小二乘回归算法,而其最优目标是误差的期望值为零,方差达到最小。根据不同的研究目的和不同的约束条件,有不同的克立格法,但都是通过先确立克立格方程组,然后再求解的。根据所研究对象的不同趋势,克里格法可有3种不同类型:(1)简单克立格法,E[Z(x)]=m为已知,且Z(x)满足二阶平稳(或内蕴)假设;(2)普通克立格法,E[Z(x)]=m为未知,且Z(x)满足二阶平稳(或内蕴)假设;(3)泛克立格法,E[Z(x)]=m(x),Z(x)非平稳,其中Z(x)=Y(x)+m(x),Y(x)为漂移,且E{Y(x)}=0。依据研究目的不同,克立格法还可以包括:(1)因子克立格法,用以理解各种不同尺度影响的根源;(2)协同克立格法,用于多个变量且具有协同区域性的情况;(3)块状克立格法,用特定的尺度“块”——称为支集的研究;(4)对数克立格法,用于区域变量Z(x)服从对数正态分布情况;(5)指示克立格法,对有特异值的数据进行分析。综上所述,地质统计学的核心思想是通过变异函数,把所有的点对按照间隔距离的大小、方向进行分组,在每一个组内,计算每个点对属性值的差异,取其平均作为该组属性值的差异(变异值)。这样,将整个空间分为不同大小和方向的组,并有相对应的属性差值。然后,再以线性、无偏和最小估计方差为前提,利用克立格方程组的解,对每一样品值分别赋给一定的权系数,最后进行加权平均来进行估计。随着研究的不断深入,数据空间结构进一步细化,对估计量的精度要求会越来越高,因此,还会有新的克立格法不断产生。3分形的内涵、测量分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形,是研究自然界空间结构复杂性的一门学科。分形理论中最核心的概念是分维数,它是分形的定量表征。研究表明,通过地质体的分维值可以挖掘潜在的成矿信息,建立分形模型。自然界中的分形有两种基本类型:统计自相似分形和统计自仿射分形。3.1特征尺度及模型统计自相似分形具有不随标度变化的自相似特征,当其局部被放大时,它表现为与整体统计相似。也可以说自相似分形具有各向同性的特点,即在由x和y坐标所确定的二维情况下,结构与x轴和y轴的几何取向无关。常用的统计分形模型为:Ν(r)=Cr-Dr＞0(6)其中:r表示特征尺度;C>0,称为比例常数;D>0,称为分维数;N(r)=Cr-D,表示尺度大于等于r的数目,记为N(≥r)。分维数的求值有两种方法:一元线性回归方法和非线性回归方法。一元线性回归法是将观测数据(N(r1),N(r2),…,N(rn))和(r1,r2,…,rn)代入线性回归方程:lgΝ(r)=-Dlgr+lgC(7)用最小二乘法求出斜率D,即分维值的估计值。非线性回归法是以(6)式为非线性回归模型,用非线性回归的最小二乘法直接求出参数的估计量,也就是分维数。此方法求出的分维数比用一元线性回归模型求出的分维数更精确,即误差更小,而且不必受取对数的条件所限制。3.2lq1h及tt-lt特征与统计自相似分形不同的是,统计自仿射分形自相似性不单一,随着尺度的不同而变化,具有各向异性的特点。其描述整体行为的分形维数与描述局部行为的分形维数不相等,也就是说它具有与自相似分形完全不同的特点。如分数Brown运动,记为BH(t),是时间段[0,T]上的函数,H是Hausdorff测度,且H∈,BH(t)具有统计特征:σ(BΗ(t))∝ΤΗ(8)σ(BΗ(bt))∝bΗΤΗ(9)其中b是伸缩常数。根据(8)、(9)两式可得σ(BH(bt))∝bHσ(BH(t)),这说明分数Brown运动是自仿射统计分形。利用数盒子方法,可求得分数Brown运动的局部维是D=2-H,而它的整体维当b→∞时是D=1。实际上,现实中地质问题往往表现为自仿射分形,如多数地形、地下深部构造、Brown运动曲线等都是自仿射统计分形。可以预测,自仿射分形理论在地质学研究中有广泛的应用前景。自仿射分形在地质研究中的应用还不像自相似分形的应用那么普及,主要原因是由于自仿射分形的分维数不易求出,因为自仿射分形维数是整体维还是局部维与所选尺度单位有关。Mandelbrot的研究认为:对于自仿射分形,存在一个新的量,称为跨越长度tc(crossoverlength),在它两侧存在着局域和整体两个不同的分维值。而合理地选择跨越长度tc是十分困难的。4受系统本身存在的概率有随机过程所描述的是自变量和因变量的关系不确定的物体的运动过程,自变量和因变量间既存在某种相关关系,又受系统本身存在的特定概率的支配。在数学上,将依赖于一个参数t的随机变量集合{xt}称为随机过程。随机过程的种类很多,按照过程的概率结构可分为二阶矩过程、平稳过程、马尔可夫过程、鞅过程和随机点过程等。下面只介绍在地学数据处理中应用较多和有应用潜力的马尔可夫过程和随机点过程两种方法。4.1成矿过程的状态转移马尔可夫过程是研究事物状态及状态转移的理论,该过程考虑了以前事件对后来事件的影响,即从一种状态转移到另一种状态,随时间变化所作的状态转移,且状态转移具有概率性质。它是以时间序列来处理观测数据的。若马尔可夫过程的状态是离散的,则称此过程为马尔可夫链。在成矿预测中,元素丰度变化可看成是一个随机运动着的状态变化。由于状态的转移是一随机事件,在研究中虽然不能准确地预言下一时刻的丰度值,但可以根据马尔可夫链理论和方法,事先给出转移到某一状态的概率,即转移概率,从而达到研究和预测的目的。4.2预测的过程属于序列的叠加过程随机点过程是随机过程理论的一个重要分支,它是依赖于循环时间的随机过程。用数学术语表达为:设{ξn}n=0,1,2,…是一个离散参数随机过程,对于所有n,存在正的常数M,并且有M≥ξn≥0,若取tn=n∑i=1ξi,则称{tn}是一个随机点过程。实际上,它是一个序列的累加过程。在成矿预测中,可用其分析沉积作用,因为沉积物的厚度可看成是一定重复时间的累加过程。在地学中,沉积地层厚度和剖面元素的分布等系列数据均可视为随机点过程。Huang等从随机动力学角度,在厘米级的岩性变化尺度上,定量分析了鄂东二叠系大隆组顶部和三叠系大冶组底部的沉积行为及动力学特征,详细研究了沉积过程中的马尔可夫过程,为该区的P—T之交的沉积环境突变,给出了动力学解释。5多种方法相互配合的方法本文从数学理论分析角度出发,讨论了多元统计、地质统计分析、统计分形和随机过程等多种方法的数学表述及其物理内涵;这些方法与其分支之间存在内在的联系(图1)。从图1中可以看出,概率统计是多元统计、地质统计分析、统计分形和随机过程的公共基础。多元统计、地质统计分析、统计分形和随机过程从不同的角度描述了数据集的物理内涵,如多元统计学的十几种方法,可概括为相依性、趋势性与依赖型。多种传统方法相互配合使用,可以进行数据集的深度挖掘。以分形为例,分形规律与上述分析方法有诸多联系之处。如在Weibull模型中,当α≪β时,表现为自相似分形,其形状参数α对应于数据集分维值;区域化变量Z(x)满足二阶平稳假设时,变异函数r(h)与间距h存在幂律关系,即r(h)=ch4-2D,其中D是分维值;随机行走是自仿射分形的典型实例。笔者将Weibull分布和分形模型有机地结合,分析了胶东矿集区大尹格庄金矿中S、Cu、Pb、Au4种元素的空间分布特征。首先将4种元素的空间分布进行分形统计,得出盒子维数;再以盒子维数、均值作为Weibull模型的形状参数α及尺度参数β,做出统计对象的分布曲线;进一步将Weibull曲线与元素空间分布的直方图进行对比,判断两者是否吻合。S、Cu、Pb、Au4种元素的盒子维数各不相同,直方图也互有差异(图2至图5),将盒子维数作为Weibull模型的形状参数,做出Weibull分布曲线,其与元素含量直方图拟合较好。Weibull模型的成功应用说