地震作用最大方向的确定

地震作用最大方向的确定

1振型分解反应谱法地震作用基本上是一系列地面加速度的输入。加速度本身的矢量属性,决定了在结构反应计算时,必须考虑地震波的输入方向。随着地震输入方向的不同,结构的动力反应也不相同,从而造成了结构内各点的地震作用效应将取不同的数值。具体而言,对于目前工程设计中普遍采用的振型分解反应谱方法,其思路是求出结构各振型在地震作用下的反应强度,其可视作地震作用在各振型上投影的最大值,再将反应值进行组合,得到最终的地震作用标准值。利用这种方法,首先要假定地震作用输入方向。地震效应值随输入方向的不同而变化:随着地震作用方向的改变,地震作用在各振型上的投影随之改变,因此其作用效应亦将改变。对于振型组合后的地震效应值,难以判断最不利的地震作用方向。本文寻求一种计算方法,在振型分解反应谱法下,可以针对某一地震效应量,找到其取最大值时的地震作用方向,此方向即为针对这一效应量的地震作用最大方向。需要强调一点,这里的地震效应值可以为任意地震反应量,如楼层地震力、层间剪力、某构件的内力等。对于不同的地震效应值,其取最大值的方向也不尽相同。因此,地震作用最大方向是针对某一特定地震效应值而言的。2水平地震作用方向组合如何选取合适的地震作用方向进行地震作用计算,是倍受关注的问题之一。一方面是因为对于某一特定地震效应值,找到其取最大值时的地震作用方向将是本文主要分析的内容;另一方面,各地震效应值不是在同一方向上达到最大,因此,严格的说应当在所有这些方向作用下进行结构计算,实际上,目前还没有找到可以接受的计算方法。由于这些因素,各国规范对于地震作用计算方向做出了相对简单的规定。其基本原则是在两个正交方向上进行,以及在主要抗侧力体系的方向上进行。我国现行规范对地震作用计算时,地震作用方向的要求如下:《高规》中3.3.2条第一款规定:“一般情况下,应允许在结构两个主轴方向分别考虑水平地震作用计算;有斜交抗侧力构件的结构,当相交角度大于15°时,应分别计算各抗侧力构件方向的水平地震作用。”《高规》对此条的条文说明:“某一方向水平地震作用主要由该方向抗侧力构件承担”。第二款规定:“质量与刚度分布明显不对称、不均匀的结构,应计算双向水平地震作用下的扭转影响;其他情况,应计算单向水平地震作用下的扭转影响。”美国NEHRP也只是在原则上给出了更全面的地震作用方向要求。其第4.4.1条抗震设计基础中提到:“设计地面运动应假定发生在结构的任意方向上”。又有4.4.2条规定:“设计中采用的地震作用方向应产生最不利的荷载效果”。而作为实际设计应用中的妥协,其4.4.2.1～4.4.2.3款给出了具体的规定:4.4.2.1条:“对抗震设计分类为B的结构,允许独立考虑两个正交方向的地震作用,耦联作用可以忽略。”也就是说,只需独立验算两个正交方向的地震作用。4.4.2.2与4.4.2.3款规定了C、D、E类结构的要求,使用三维振动分析模型对结构进行分析,考虑扭转耦联,可以分别考虑两个正交方向的地震作用SX与SY,但要进行地震作用方向组合:S1=|SX|+0.3|SY|,S2=|SY|+0.3|SX|中美两国规范中对于地震作用方向组合采用了不同的方法,其中中国规范为∶S1=√S2X+(0.85SY)2S2=√S2Y+(0.85SX)2SEΚ=max(S1‚S2)美国规范为:S1=|SX|+0.3|SY|S2=|SY|+0.3|SX|SEK=max(S1,S2)这两种方法在确定SX与SY取不同比值时的关系如表1所示。可以看出,当X与Y两个方向的地震效应相接近时,中美两国规范的组合值大致相当,都放大了0.3倍左右;随着两个方向地震作用差异的加大,中国规范的组合值相对更小;当两个方向地震效应之比在0.4左右时,中国规范的组合值与美国规范相差最大约6%。3特定地震效应值的确定前面的讨论,阐明了在确定合适的地震作用验算方向时,存在两方面的问题:如何确定针对某一特定地震效应值的地震作用最大方向;在第一点的基础上,如何选取合适的地震作用验算方向。我们通过下面的推导,找到前者的规律。即找到某一地震效应值取驻值时,地震作用的方向。注意以下讨论是针对单方向地震作用,对双方向地震作用也可得到类似的结果。3.1状态矩阵法设地震作用输入方向为r={cosθ,sinθ}T则第i振型的地震作用标准值为:Si(θ)=Sixcosθ+Siysinθ其中,Six为θ=0°时,即单独X方向地震作用时的i振型地震作用标准值;Siy为θ=90°时,即单独Y方向地震作用时地震作用标准值。设Si={Six,Siy},则Si(θ)=Sir我们考察地震效应的振型组合值ˉS(θ),采用SRSS组合方式:则ˉS(θ)=√n∑i=1Si(θ)2或ˉS(θ)=√SΤθSθ其中,Sθ={S1(θ),S2(θ)…Sn(θ)}T,有ˉS(θ)2=n∑i=1Si(θ)2=n∑i=1(Sir)Τ(Sir)=rΤ(n∑i=1SiΤSi)r(1)设S=n∑i=1SiTSi,整理后有:S=[ˉS2XˉSXYˉSXYˉS2Y]其中‚ˉS2X=n∑i=1S2ix‚ˉS2Y=n∑i=1S2iy‚ˉSXY=ˉSYX=n∑i=1S2ixS2iy若设X/Y方向地震作用的振型效应向量为:SX={S1x,S2x…Snx}T,SY={S1y,S2y…Sny}T,则ˉS2X=SXTSX,ˉS2Y=SYTSY,ˉSXY=ˉSYX=SXTSY我们称S为状态矩阵,只需确定其中各个分量就可以得到任一方向的地震反应量组合值。展开式(1),得到:ˉS(θ)2=rΤSr=ˉS2Xcos2θ+ˉS2Ysin2θ+ˉSXYsin2θ(2)由此可知,对于进行地震作用分析的结构,只要求出了各振型纯X方向地震效应值Six,以及纯Y方向地震效应值Siy,便可由此得到矩阵S,从而得到任意θ方向的地震效应组合值ˉS(θ)。由此也不难求得ˉS(θ)取最大值时的方向角θ*,只需由式(1)对θ角度求驻值,经整理得到:tg2θ=2ˉSXY/(ˉS2X-ˉS2Y)(3)地震作用反应取极值:ˉS21,2=(ˉS2X+ˉS2Y)/2±√((ˉS2X-ˉS2Y)/2)2+ˉS2XY(4)ˉS1即为地震作用反应的最大值。以上为组合采用SRSS方法时的情况。若采用CQC方式振型组合,则有组合值:ˉS(θ)=√n∑i=1n∑j=1ρijSi(θ)Sj(θ)=√SΤθΡSθ其中,ρij为抗震规范公式5.2.3-6定义的i振型与j振型的耦联系数,Sθ={S1(θ),S2(θ)…Sn(θ)}T,P为振型耦联系数矩阵。有ˉS(θ)2=n∑i=1n∑j=1ρijSi(θ)Sj(θ)=n∑i=1n∑j=1ρij(Sir)Τ(Sjr)=rΤ(n∑i=1n∑j=1ρijSiΤSj)r类似对SRSS组合方式的处理,设状态矩阵为S=n∑i=1n∑j=1ρijSiΤSj‚有ˉS(θ)2=rΤSr将状态矩阵写成S=[ˉS2XˉSXYˉSXYˉS2Y]的形式,则有:ˉS2X=n∑i=1n∑j=1ρijSixSjx,ˉS2Y=n∑i=1n∑j=1ρ0,ijSiySjy,ˉSXY=ˉSYX=n∑i=1n∑j=1ρ0,ijSixSjy若设X/Y方向地震作用的振型效应向量为:SX={S1x,S2x…Snx}T,SY={S1y,S2y…Sny}T,则ˉS2X=SXTPSX,ˉS2Y=SYTPSY,ˉSXY=ˉSYX=SXTSY若ρij满足ρij=1(i=j)、ρij=0(i≠j),则有P=I,将退化为SRSS组合,ˉS2X=SXTSX,ˉS2Y=SYTSY,ˉSXY=ˉSYX=SXTSY接下来的推导与SRSS组合方式就完全一致了,不再赘述。最终得到式(3)和式(4)相同的结果:当θ满足tg2θ=2ˉSXY/(ˉS2X-ˉS2X)时,地震作用反应取极值:ˉS21,2=(ˉS2X+ˉS2Y)/2±√((ˉS2X-ˉS2Y)/2)2+ˉS2XY一般的,对于任意振型组合方式,对θ方向的振型组合值,只需整理为ˉS(θ)2=rTSr,S=[ˉS2XˉSXYˉSYXˉS2Y]的形式,则都可获得上述的最大地震作用方向角公式。注意到上述推导是不依赖于坐标系选取的,因此,对于任意选取的正交X-Y坐标系,都可以通过式(3)求出最大地震作用方向,并通过式(4)得到地震作用最大值。通过上述方法,对于各种地震效应值,可以得到其最大值,以及对应的地震作用方向。3.2结构的特性验算应当注意的是,对不同的地震效应值,其最大地震作用方向是不同的。我们不可能验算所有这些方向。况且对于某些情况,其最不利工况并不出现在某地震效应取极值时,例如偏压构件的控制工况并不一定为内力(弯矩、轴力)取极值时。因此,上述讨论对我们的实际意义应如何体现呢?我们认为,上述讨论结果可以作为对现有规范要求的补充,为结构抗震设计提供参考。以下两点应引起注意:(1)当针对结构中某些薄弱部位,验算其特定地震效应时——例如验算某深梁的剪力,可以通过上述方法找到最不利地震作用方向,进而求出最大的地震效应值,单独进行荷载组合与验算;(2)对于结构中有斜交抗侧力构件的情况,可以找出这些抗侧力构件取最大地震效应值时所对应的地震作用输入角度,对结构进行这些特定方向的验算。这可以作为对JGJ3-2002中3.3.2条第一款有关斜交构件规定的一种补充。4x与y方向的c端弯矩计算我们以一个简单实例来说明最大地震作用方向的计算。如图1所示结构,为三层框架结构,梁编号3、4、5为斜交构件,层高3.3m,梁截面尺寸为300mm×450mm,柱截面尺寸500mm×500mm,楼面恒载5.0kN/m2,活载2.0kN/m2,计算8度罕遇地震作用。我们分别取第4、5号梁的C端(与柱C相交一端)弯矩作为分析对象。对此结构,取九个振型计算,振型组合采用SRSS方式。表2为在X与Y方向地震作用下,梁4与梁5各振型及组合后的C端弯矩值。对于4号梁:S¯X2=∑i=1nSix2=22.462=504.47S¯Y2=∑i=1nSiy2=59.382=3525.39S¯XY=S¯YX=∑i=1nSixSiy=-651.53则由式(4)可求弯矩最大值:S¯1,22=(S¯x2+S¯y2)/2±((S¯x2-S¯y2)/2)2+S¯xy2=3660.25最大值S¯1=60.50kN·m对应角度由式(3)求得:tg2θ=2S¯XY/(S¯X2-S¯X2)=0.43得到θ=101.67°。同样,对5号梁进行计算可得:S¯X2=2260.83‚S¯Y2=2046.07‚S¯XY=S¯YX=∑i=1nSixSiy=591.58得到S¯1,22=2755.20。最大值为S¯1=52.49kN