高考数学三轮冲刺卷：抛物线的基本量与方程（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：抛物线的基本量与方程一、选择题（共20小题；）1.已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到点Q2,−1的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点 A.14,−1 B.14,12.经过抛物线y2=4x的焦点，且方向向量为a=1,−2 A.x−2y−1=0 B.2x+y−2=0 C.x+2y−1=0 D.2x−y−2=03.在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p A.12 B.1 C.2 D.4.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A A.2 B.3 C.4 D.55.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知∣AB∣=42，∣DE∣=25，则C A.2 B.4 C.6 D.86.抛物线y=2x2 A.12,0 B.18,07.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q2,−1的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 A.14,−1 B.14,18.抛物线y=18 A.2 B.12 C.149.A是抛物线y2=2pxp>0上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当AF=4 A.x=−1 B.y=−1 C.x=−2 D.y=−210.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q2,−1的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 A.14,−1 B.14,111.已知点A2,0，抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则 A.2:5 B.1:2 C.1:512.已知双曲线C1:x2a2 A.233 B.3 C.313.将两个顶点在抛物线y2=2pxp>0上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥314.已知抛物线y2=16x的焦点与双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦点F重合， A.x212−y2415.已知双曲线x2−y2m=1与抛物线y2=8x A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.3x±y=0 D.16.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，那么点P到y A.2 B.3 C.4 D.517.已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形相邻的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是   A.34 B.32 C.318.已知圆x2+y2+mx−1 A.±2 B.3 C.2 D.19.设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30∘的直线交C于A,B两点，O A.334 B.93820.P是抛物线y=x2上任意一点，则当P和直线x+y+2=0上的点距离最小时，P A.19 B.12 C.1二、填空题（共5小题；）21.若抛物线y2=2px的焦点坐标为1,0，则p=

；准线方程为22.已知抛物线y2=4x焦点F恰好是双曲线x2a223.已知抛物线y=ax2−124.一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小整数值是

．25.已知Ax1,y1是抛物线y2=4x上的一个动点，Bx2,y2是椭圆x2三、解答题（共5小题；）26.若抛物线y=12x2上距点27.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系xOy，试求拱桥所在抛物线的方程． （2）若一竹排上有一个4米宽、6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?28.设抛物线C的焦点在y轴正半轴上，且抛物线上一点Q−3,m到焦点的距离为529.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A8,−4，P2,tt<0 （1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上，若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k30.已知抛物线y2=2pxp>0上点M3,m到焦点（1）求抛物线方程．（2）点P为准线上任意一点，AB为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA，PB，PF的斜率为k1，k2，k3，问是否存在实数λ，使得k答案1.A 【解析】如图所示，点Q2,−1由抛物线的定义，抛物线上的点P到F的距离等于点P到准线x=−1的距离．过Q作直线x=−1的垂线QH交抛物线于点K，则点K即为取最小值时的所求点．当y=−1时，由1=4x得x=1所以满足条件的点P的坐标为142.B 3.C 4.D 5.B 【解析】不妨设C：y2=2pxp>0，Ax1,22，则x6.D 7.A 【解析】如图，因为点Q2,−1在抛物线的内部，由抛物线的定义，∣PF∣等于点P到准线x=−1的距离．过Q作x=−1的垂线QH交抛物线于点K，则点K为取最小值时的所求点．当y=−1时，由1=4x得x=14．所以点P8.D 【解析】抛物线的标准方程为x2=8y，则焦点坐标为0,2，准线方程为所以焦点到准线的距离d=2−−29.A 【解析】过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D．因为∠OFA=120所以△ABF为等边三角形，∠DBF=30从而p=DF=2，因此抛物线的准线方程为10.A 【解析】因为y2所以p=2，焦点坐标为1,0，过P作准线的垂线于M，由PF=PM，依题意可知当P，Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小，如图，故P的纵坐标为−1，然后代入抛物线方程求得x=111.C 12.A 13.C 【解析】如图所示，根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，过焦点作两条直线倾斜角分别为30∘和15014.D 15.C 【解析】因为点P在抛物线y2=8x上，所以Px0,y0因此y02=8所以点P3,±26在双曲线可得9−24m=1所以双曲线标准方程为x2得a=1，b=3，渐近线方程为y=±bxa16.C 【解析】抛物线y2=4x，则准线方程为因为P到其焦点的距离为5，则到其准线的距离也为5，所以P点到y轴的距离为4．17.B 【解析】如图可知Am,1，Bn,2，代入抛物线方程y2=2px求出m，18.D 【解析】抛物线的准线为y=−1，将圆化为标准方程x+m22+y19.D 20.B 21.2，x=−122.y=±23.2【解析】抛物线y=ax2−1的焦点坐标为0,14a−1，它是坐标原点，则得a=124.13【解析】由题意可设抛物线方程为x2=−aya>0，当x=a2时，y=−a4；当x=0.8时，y=−0.64a25.10【解析】由y2=4xx∵AB∥x轴，且x1<x又N1,0是抛物线的焦点，∴∣AN∣=x1又∣BN∣2=∴周长l=3+12x2，而26.设Px,y为抛物线y=PA因为P在抛物线y=12xPA因为当P在原点，即当y=0时，PA有最小值，所以a−1≤0．又a>0，故实数a的取值范围0<a≤1．27.（1）设抛物线方程x2由题意可知，抛物线过点26,−6.5，代人抛物线方程，得262解得p=52．所以抛物线方程为x2

（2）把x=2代人，求得y=−1而6.5−6=0.5>1所以木排能安全通过此桥．28.由题意，设抛物线为x2因为点Q−3,m所以−32=2pm，即因为点Q−3,m到焦点的距离为5，所以m由①②得，92p+p2=5所以抛物线的标准方程为x2=2y，或29.（1）将点A8,−4代入y2=2px将点P2,t代入y2=2x因为t<0，所以t=−2．

（2）由题意知，点M的坐标为2,0，直线AM的方程为y=−2联立y=−2解得B