高考数学三轮冲刺卷：空间向量（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：空间向量一、选择题（共20小题；）1.若向量a=1,λ,2，b=2,−1,2，且a与b的夹角余弦为8 A.2 B.−2 C.−2 或 2.设点M是z轴上一点，且点M到A1,0,2与点B1,−3,1的距离相等，则点M A.−3,−3,0 B.0,0,−3 C.0,−3,−3 D.0,0,33.平面α的法向量为1,2,−2，平面β的法向量为−2,−4,k，若α∥β，则k A.2 B.−4 C.4 D.−24.已知平面α内有一个点M1,−1,2，平面α的一个法向量是n=6,−3,6，则下列点P中在平面 A.P2,3,3 B.P−2,0,1 C.P5.已知向量a=1,0,−1，则下列向量中与a成60 A.−1,1,0 B.1,−1,0 C.0,−1,1 D.−1,0,16.正方形ABCD的边长为1，PA⊥平面ABCD，PA=1，M、N分别是PD、PB的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是   A.36 B.−36 C.7.已知a=2,0,3，b=4,−2,1，c=−2,x,2 A.4 B.−4 C.2 D.−28.下列说法中正确的是   A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B.空间的基底有且仅有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.基底a，b，c中基向量与基底e，f，g中基向量对应相等9.设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为n1和n2，则cos A.n1⋅ C.n1n10.在直角坐标系中，A−2,3，B3,−2．沿x轴把直角坐标系折成120∘的二面角，则此时线段 A.25 B.211 C.511.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为下图中的 A. B. C. D.12.已知tanα=34，α∈π A.±45 B.45 C.13.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA A.1 B.2 C.3 D.414.已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a=λe A.a∥e C.a与e1，e15.如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M为OA的中点，点N A.12a C.12a16.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A A.−12a+1217.已知空间向量a，b满足a=b=1，且a，b的夹角为π3，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足OA=2a A.523 B.54318.在空间坐标系O−xyz中，已知A2,0,0，B2,2,0，C0,2,0，D1,1,2，若S1，S2，S3分别表示三棱锥D−ABC A.S1=S2 C.S1=S3且S19.已知三点A−1,0,1，B2,4,3，C A.三点构成等腰三角形 B.三点构成直角三角形 C.三点构成等腰直角三角形 D.三点构不成三角形20.已知a=2,−1,3，b=−1,4,−2，c=7,5,λ，若a，b A.627 B.637 C.64二、填空题（共5小题；）21.已知向量a=2,−3,0，b=k,0,3，若a与b成120∘22.已知向量a=0,−1,1，b=4,1,0，λa+b23.设空间向量OA=m,n,0，OB=0,n,p均为单位向量，且与向量OC=1,1,1的夹角都等于24.若a⊥b，c与a、c与b的夹角均为60∘，∣a∣=1，∣b∣=225.设向量a与向量b互相垂直，向量c与它们构成的角均为60∘且a=5，b=3，c=2，则三、解答题（共5小题；）26.设a⊥b，a,c=π3，b,c27.已知i、j、k是空间中不共面的三个向量，a=2i+j+3k，b=−i−28.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E，F，M，N 29.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥 30.如图，在长方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中，AB=2，AD=1，AAʹ=1，证明直线BCʹ平行于平面DʹAC，并求直线BCʹ到平面DʹAC的距离． 答案1.C 【解析】因为cos所以λ=−2 或2.B 3.C 【解析】因为α∥β，所以两平面法向量平行，所以−214.A 5.B 6.A 7.B 8.C 【解析】A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项，空间基底有无数个；D项中因为基底不惟一，所以D错．9.B 10.B 【解析】如图，作AC垂直x轴，BD垂直y轴，过C作CD平行于y轴，与BD交于D，则∠ACD就是二面角的平面角．∴∠ACD=120∘，连接AB,AD，则CD=2，BD=5，AC=3，在△ACD中，AD=9+4−2×3×2×−111.A 12.C 【解析】因为tanα=34所以sinα=又因为sin2所以34整理得cos2解得cosα=±因为α∈π所以cosα<0，故cos13.B 【解析】因为A1所以A1所以|A所以|A|A|A14.C 【解析】假设a与e1共线，则设a所以a=λe1所以e1与e2共线，这与e1即A项不正确，同理B项不正确，则D项也错误，故选C．15.B 【解析】MN16.A 【解析】提示：B117.B 【解析】OA=2a则cos∠AOB=从而有sin∠AOB=所以△OAB的面积S=118.D 【解析】D−ABC在平面上的投影为△ABC，故S1设D在yOz和zOx平面上的投影分别为D2和D3，则D−ABC在yOz和zOx平面上的投影分别为△OCD因为D20,1,2故S2综上，选项D正确．19.D 20.D 【解析】因为c，b，c三向量共面，所以有c=ma+nb，即2m−n=7,−m+4n=5,21.−22.323.2±24.1125.31【解析】提示：a+226.a+所以a+27.设c=ma+n所以2m−n=5,m−n=3,3m+2n=4,解得所以c=2所以向量a，b，c共面．28.如图，建立空间直角坐标系D−xyz，可得A2,0,0，B2,2,0，C0,2,0，B12,2,4，D10,0,4，C10,2,4平面EFC1的一个法向量为m=x,y,z，EC所以−x+2y=0,−x−2z=0.令y=1，得x=2，z=−1，m=设平面AMN的一个法向量为n=AM=−1,2,0，所以−a+2b=0,2b+2c=0.令b=1，得a=2，c=−1，n=因为m=所以平面EFC29.在三棱锥A1−ABD中，AA1是三棱锥A1因为13所以d=330.因为ABCD−AʹBʹCʹDʹ为长方体，故AB∥CʹDʹ，故ABCʹ