基于高斯型窗函数的可容基小波构造

基于高斯型窗函数的可容基小波构造

法国地震学者jeanmorter和扬子物理治疗师马克斯马纳在1984年的合作文章中首次正式创造了小波概念。自那以后，它在科学史上产生了重大的变化，小波理论一直发展到20年前，但它对科学工程产生了重大影响。对基波定义的要求的可容性条件相当宽松。良好的基波结构属于应用工程的一般问题。这项工作的作者在这里进行了初步研究，需要讨论更广泛的基波。2基小波变换的子理论我们首先阐述基小波的连续小波变换的定义,继而结合它研究一类基于Gaussian窗函数的可容基小波的构造.定义1基小波的连续小波变换如果ψ∈L2(R)满足可容性条件:Cψ∶=∫+∞-∞|ˆψ(ω)|2|ω|dω<∞(1)则称ψ是一个基小波.关于每个基小波ψ,f∈L2(R)的连续小波变换定义为Wψf(a,b)=|a|-12∫+∞-∞f(t)¯ψ(t-ba)dt(2)其中a,b∈R而a≠0.3高斯gaussin窗函数本节致力于研究基于Gaussian窗函数的小波构造.首先给出若干经典可容基小波的结构.例1Marr墨西哥草帽小波墨西哥草帽小波规范化的一般形式定义为ψ(t)=2√3σπ-1/4(t2σ2-1)exp(-t22σ2)(3)其Fourier变换为ˆψ(ω)=-2√2√3σ52π1/4ω2exp(-σ2ω22)(4)相应尺度函数为ˆψ(ω)=-2√2√3σ52π1/4ω2exp(-σ2ω22)(5)取σ=1,常见形式为ψ(t)=(1-t2)exp(-t22)(6)其Fourier变换为ˆψ(ω)=√2πω2exp(-ω22)(7)例2Morlet地震小波Morlet地震小波的时频形式如下定义:ψ(t)=eitω0exp(-t22)(8)其Fourier变换为ˆψ(ω)=√2πexp(-(ω-ω0)22)(9)例3DOG犬小波DOG犬小波(DifferenceOfGaussian)的时频形式如下定义:ψ(t)=exp(-t22)-12exp(-t28)(10)其Fourier变换为ˆψ(ω)=√2π[exp(-ω22)-exp(-2ω2)](11)观察以上小波结构可知,目前常见的用于进行连续小波变换CWT的可容基小波,其构成因子均有定义形如下式的高斯Gaussian窗函数:定义2高斯Gaussian窗函数形如下式的带有复旋转因子的无穷可微速降光滑窗函数ga(t)=Ceitω0e-at2,a>0,C∈R,ω0=const.(12)称为高斯Gaussian窗函数.高斯Gaussian窗函数具有许多优良的性质,由如下命题给出:命题1高斯Gaussian窗函数的基本性质1)ga(t)为无穷可微的光滑函数,且对于零相位实高斯Gaussian窗函数ga(t)=e-at2,根据莱布尼兹公式,其高阶导数可由下述迭代算法得到:g(n)a(t)=(-2a)(tg(n-1)a(t)+(n-1)g(n-2)a(t)),n≥2.(13)可见高斯型Gaussian窗函数的任意高阶导数仍为高斯型Gaussian窗函数.2)ga(t)为速降衰减函数:limt→∞tnga(t)=limt→∞tne-at2=0,∀n≥1.(14)3)ga(t)具有时频域的自相似性,其Fourier变换仍为高斯型Gaussian窗函数:ˆga(ω)∶=∫+∞-∞e-itωe-at2dt=√πae-ω24a.(15)4)ga(t)可以作为卷积恒等脉冲泛函δ的逼近函数列.取a=14α,则gα(t)∶=12√παe-t24α,α>0.(16)的Fourier变换为ˆgα(ω)=e-αω2.(17)从而有:limω→0+ˆgα(ω)=1.(18)或等价于时域中有∫+∞-∞gα(t)dt=1.(19)于是对f∈L1(R)的连续点,成立limα→0+(f*gα)(t)=f(t).(20)或等价地,limα→0+gα=δ.(21)5)ga(t)为使Heissenberg测不准原理之等式成立的惟一函数类,即在时频窗半径乘积最小的意义下它是最优的.现在易证下述结论:定理1高斯Gaussian窗函数生成经典小波经典基小波如Morlet地震小波、Mexican草帽小波和DOG犬小波均为高斯Gaussian窗函数生成.证明1)取a=12,C=1,相位为ω0,则g12(t)=ψ(t)=eitω0exp(-t22)(22)即为Morlet地震小波.2)取a=12,C=1,相位为ω0=0,则对应高斯Gaussian窗函数的二阶导数g(2)12(t)=ψ(t)=-(1-t2)e-t22(23)即为Mexican草帽小波.3)取a1=12,a2=18,C1=1,C2=12,相位为ω0=0,则对应两个高斯Gaussian窗函数的差分ψ(t)∶=C1g12(t)-C2g18(t)=e-t22-12e-t28(24)即为DOG犬小波.现在考察一类由高斯Gaussian窗函数的差生成的犬小波族.我们有下述定理:定理2DOG犬小波族如下定义的高斯Gaussian窗函数的差可生成一族基小波,称为犬小波族:ψ(t)∶=C(√a1a2e-a1t2-e-a2t2),C∈R,a1,a2>0,(25)证明形式上设高斯Gaussian窗函数的差ψ(t)∶=C1ga1(t)-C2ga2(t)=C1e-a1t2-C2e-a2t2(26)其Fourier变换为ˆψ(ω)=C1√πa1e-ω24a1-C2√πa2e-ω24a2(27)为使它成为可容基小波,其速降性由高斯Gaussian窗函数的性质(命题1.1.2)导出,还需满足带通条件:ˆψ(0)=0(28)从而有比例关系:C1C2=√a1a2(29)故而选择C2=C,代入形式解即得犬小波族.较一般地,可考虑有限个高斯Gaussian窗函数的线性组合,我们有下述定理:定理3LOG小波族考察有限个高斯Gaussian窗函数的线性组合(Linear-combinationOfGaussian):ψ(t)∶=C1ga1(t)+C2ga2(t)+⋯+Cngan(t)=C1e-a1t2+C2e-a2t2+⋯+Cne-ant2(30)其Fourier变换为ˆψ(ω)=C1√πa1e-ω24a1+C2√πa2e-ω24a2+⋯+Cn√πane-ω24an(31)为使它成为可容基小波,速降性是显然的,还需满足带通条件:ˆψ(0)=0=C1√πa1+C2√πa2+⋯+Cn√πan(32)从而有C1√1a1+C2√1a2+⋯+Cn√1an=0(33)即参数√1a1,√1a2,⋯,√1an在形式上“线性相关”.由以上两定理可选择不同的参数因子得到无穷多的DOG小波与LOG小波,为小波构造开辟了一条蹊径.我还猜想,由高斯Gaussian窗函数的导数可生成类草帽小波族:ψ(t)=Cg(2n-1)a(t),n>1(34)而由其旋转相位的不同可得到类Morlet小波族:ψ(t)=ga(t)=Ceitω0e-at2(35)而分解出其实部与虚部又可获得三角函数调制的高斯型基