解三角形的综合应用讲义

解三角形的综合应用讲义一、知识梳理实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的兀素解法求竖直高度底部可达丿AZACB=a,BC=a解直角三角形AB=atana底部不可达1CDfAZACB=a,ZADB=“，CD=a解两个直角三角形AbatanatanBtantana求水平距离山两侧CZACB=a,AC=b，BC=a用余弦定理AB=Qa2+b2—2abcosa河两岸.-LZACB=a,ZABC=“，CB=ae一八、__asina用正弦定理AB=sm（a+B）河对岸aZADC=a,ZBDC=“，ZBCD=3,ZACD=y，CD=a亠人亠asina在“中,AC=s】n（a+Y）；,.tasinB在皿中,BC=硕冶；在AABC中，应用余弦定理求AB注意:实际问题中的常用术语仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角（如图①）.2•方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°,北偏西45。等.3•方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为皿如图②).4•坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比.二、基础检测题组一：思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“厂或“X”)从A处望B处的仰角为％从B处望A处的俯角为〃，则a,B的关系为a+〃=180°.()俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［0,牛］.()方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()兀⑷方位角大小的范围是［0,2n)，方向角大小的范围一般是［0,2］.()题组二：教材改编2•如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m，ZACB=45°，ZCAB=105°后，就可以计算出A，B两点的距离为m.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h=米.题组三：易错自纠在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则ZBAC等于()A.10°B.50°C.120°D.130°5•如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB=.6•在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时,风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东，速度的大小为km/h.三、典型例题题型一：求距离、高度问题1•江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为TOC\o"1-5"\h\z45。和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距m.2•如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为％在塔底C处测得A处的俯角为〃•已知铁塔BC部分的高为力，则山高CD=.D；3.—船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为km.思维升华：求距离、髙度问题的注意事项选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.题型二：求角度问题典例如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东e的方向沿直线CB前往B处救援，则cose的值为.思维升华：解决测量角度问题的注意事项首先应明确方位角或方向角的含义；分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.跟踪训练如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的的方向上.

东题型三：三角形与三角函数的综合问题典例在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，(东题型三：三角形与三角函数的综合问题典例在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，(2a—c)cosB—bcosC=0.（1）求角B的大小;3(2)设函数fx)=2sinxcosxcosB—亍cos2x,求函数夬兀）的最大值及当夬兀）取得最大值时x的值.思维升华：三角形与三角函数的综合问题,要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题./兀、跟踪训练设fx)=sinxcosx—cos2(x+—).（1）求f（x）的单调区间;⑵在锐角△ABC中，角⑵在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.=0,a=1,求AABC面积的最大值.四、反馈练习已知A,B两地间的距离为10km,B,C两地间的距离为20km,现测得ZABC=120°，则A,C两地间的距离为（）A.10kmB.10\；3kmC.10V5kmD.10万km如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的（）南南A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°—艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是（）A.10迈海里B.10羽海里C.20<3海里D.20“迈海里如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°，此时气球的高是60m，则

河流的宽度BC等于（）A.240（V3+l）mB.180（百河流的宽度BC等于（）C.120（边一1）mD.30G；'3+1）m5•如图，两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（C.60°B.45°C.60°B.45°答案B6•如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得/BCD=15°,ZBDC=30°,CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于（）A.5、拓B.15<3C.5•迈D.15<6轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/则下午2时两船之间的距离是nmile.如图，某工程中要将一长为100m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变,一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时海里.

如图，在山底A点处测得山顶仰角ZCAB=45。,沿倾斜角为30。的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角ZDSB=75°,则山高BC为米.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为20。的扇形AOB,C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为米.12•如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东«的方向追赶渔船乙，刚好用2求渔船甲的速度；求sina的值.如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB].已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB]的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为；塔BB1的高为m.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村