线性代数 矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算(Matrix&Operation)矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子鸡蛋稀饭周星驰4221张曼玉0000陈水扁4986为了方便，常用下面右边的数表表示§2.1矩阵的概念2.1.1矩阵的引入1.定义2.1由m×n个aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作2.1.2矩阵的定义2.说明:矩阵与行列式不同

形式不同矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同.内容不同矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.

3.实矩阵、复矩阵5.矩阵相等充要条件是:4.同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵2.1.2一些特殊矩阵1.方阵若A为n行n列的矩阵，称A为n阶方阵。2.

行矩阵、列矩阵行矩阵只有一行的矩阵。列矩阵只有一列的矩矩阵3.零矩阵、单位矩阵n阶单位矩阵4.对角矩阵与数量矩阵5.上（下）三角形矩阵§2.2矩阵的运算2.2.1.矩阵的加法与数乘:

注：矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应元素进行相加。1.矩阵的加法（定义2.2）:

A=(aij)

、B=(bij)2.矩阵的数乘定义2.3

数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：负矩阵:

A=(

aij)

减法：Ａ

B=Ａ+(

B)3.矩阵线性运算律：

(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(

A)=O(4)1A=A(5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB

例1．若X满足其中求X.解X=

2.2.2.矩阵的乘法：1.矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵A为m×s

阶矩阵、矩阵B为s×n

阶矩阵，A=(aij)

m×s

、B=(bij)

s×n，则矩阵A与B的乘积为一m×n

阶矩阵C=(cij)

m×n，记C=AB，且就是说，矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。例2计算

例3.非齐次线性方程组的矩阵表示记则非齐次线性方程组可简记为关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵A

与矩阵B

做乘法必须是左矩阵的列数与右

矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；2.矩阵乘法与加法满足的运算规律（3）AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也

不一定相等；（4）AB=O不一定有A=O或B=O；

A(X

Y)=O且A≠O也不可能一定有X=Y例4定理2.1

若矩阵A的第i行是零行，则乘积AB的第i行也是零；若矩阵B的第j行是零列，则乘积AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩阵，则乘积AB也是零矩阵。例5设求AB与BA解只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：

(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm

(3)(AB)k≠AkBk3.矩阵的乘幂：设A是n阶方阵，定义：例6

解

4.方阵A的n次多项式5.矩阵的转置定义2.6A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所得矩阵如果A是一个m×n阶矩阵，AT是一个n×m阶矩阵。矩阵的转置的性质证明（1）、（2）、（3）易证，下证明(4).设矩阵A为m×s阶矩阵，矩阵B为s×n阶矩阵，那么：(AB)T与BTAT是同型矩阵；又设C=AB，因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji

，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故

(AB)T=ATBT6.对称矩阵与反对称矩阵设A为n阶方阵，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为对称矩阵；若AT=

A，即aij=

aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为反对称矩阵。如右边的矩阵A为对称矩阵7.方阵的行列式（1）方阵A的行列式，记为|A|或detA。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律(设A、B为n阶方阵，λ为实数)1)伴随矩阵：设A=(aij)n×n，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵8、再讲几类特殊的矩阵称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊矩阵运算举例

设对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得

AB=BA=E恒成立，则称矩阵A可逆或满秩矩阵,或非奇异矩阵；B称为A的逆矩阵，记为A－1=B

。1）.若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。证明：设A有两个逆矩阵B1、B2，则

B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩阵的定义（定义2.8）2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质§2.3逆矩阵证明：充分性由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又|A|≠02）.定理2.2A可逆的充要条件是|A|≠0，且A可逆时有3）.对于n阶方阵A、B若有AB=E则：A、B均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明：∵AB=E∴|A||B|=1

故

|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，又BA=BABB－1=BB－1=E,故

A－1=B

必要性证明：∵A可逆∴AA－1=A－1

A=E故|A||A－1|=1，即|A|≠0

，A可逆，同时还有奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵Ａ的行列式|A|≠0，称矩阵A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。4）.逆矩阵的性质

如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且

(A－1)－1＝A(AT)－1＝(A－1)T(AB)－1＝B－1A－1

(kB)－1＝k－1A－1(k为非零）

|A－1|=|A|－1

证明：∵A、B均可逆∴AA－1=A－1A＝E

故(AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E∴(AT)－1=(A－1)T

同理(AB)(B－1A－1)＝(B－1A－1)(AB)＝E

∴(AＢ)－1=Ｂ－1A－1有关逆矩阵例题

本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。§2.4分块矩阵即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。2.4.1分块矩阵的加法：设矩阵A,矩阵B为：2.4.2分块矩阵的乘法：设矩阵Am×n、Bn×p且矩阵A列的分法与矩阵B的行的分法相同。2.4.3分块矩阵的转置

它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称A为准对角矩阵（或对角块矩阵）。

对于准对角矩阵，有以下运算性质：若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设2.4.4准对角矩阵

若矩阵A的分块矩阵具有以下形式则：☞若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可逆，且☞2.4.5矩阵分块的应用2.4.6矩阵按列分块1.矩阵按列分块2.线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式如果把系数矩阵A按列分成n块，则线性方程组可记作§2.5初等变换与初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换(Elementaryoperation)1

初等变换定义定下面的三种变换称为矩阵的初等变换

：(i).

对调两行(ii).以非0数乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去

把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。

例18设（1）用行初等变换把A化为阶梯形，进一步化为行标准形（2）再用列初等变换把A化为标准形解（1）（行阶梯形）2行阶梯形矩阵定义2.11一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是零行

如下面的阶梯形矩阵行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为标准型3.定理2.3设A是一个m行n列矩阵，通过行初等变换可以把A化为如下行标准型

4

定理矩阵A可经初等变换化为标准形:

（1）.已知分别将A的第一、二行互换和将A的第一列的

2倍加到第二列，求出相应的初等矩阵,并用矩阵乘法将这两种变换表示出来。解交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵

左乘A：将A的第一列的

2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵右乘A：

2.5.2