计量经济学教案

周次：第2、3、4周，第3~8次课章节名称：第二章一元线性回归模型讲课方式：课堂教学、上机实习教课时数：12课时教学目的、规定：1、理解一元线性回归模型2、掌握最小二乘法及其记录性质3、掌握几种检查措施4、掌握eviews基本操作指令思索题：1、随机误差项的假定条件及其意义2、样本可决系数与样本有关系数的关系及区别作业：做2个案例分析教学重点：1、一元线性回归模型的参数估计及检查2、一元线性回归方程的预测教学难点：对参数估计值的理解及最小二乘法的掌握教学措施、手段：通过多媒体多以图示的措施加深理解、通过作业亲自上机实习教学基本内容：1、模型的建立及其假定条件2、一元线性回归模型的参数估计3、最小二乘估计量的记录性质4、用样本可决系数检查回归方程的拟合优度5、回归系数估计值的明显性检查与置信区间6、一元线性回归方程的预测7、案例分析8、eviews基本操作教学过程：1．一元线性回归模型有一元线性回归模型（记录模型）如下， yt=0+1xt+ut上式表达变量yt和xt之间的真实关系。其中yt称被解释变量（因变量），xt称解释变量（自变量），ut称随机误差项，0称常数项，1称回归系数（一般未知）。上模型可以分为两部分。（1）回归函数部分，E(yt)=0+1xt,（2）随机部分，ut。图2.1真实的回归直线这种模型可以赋予多种实际意义，收入与支出的关系；如脉搏与血压的关系；商品价格与供应量的关系；文献容量与保留时间的关系；林区木材采伐量与木材剩余物的关系；身高与体重的关系等。以收入与支出的关系为例。假设固定对一种家庭进行观测，伴随收入水平的不一样，与支出呈线性函数关系。但实际上数据来自各个家庭，来自各个不一样收入水平，使其他条件不变成为不也许，因此由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从记录关系。随机误差项ut中也许包括家庭人口数不一样，消费习惯不一样，不一样地区的消费指数不一样，不一样家庭的外来收入不一样等原因。因此在经济问题上“控制其他原因不变”是不也许的。回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容，（1）非重要解释变量的省略，（2）人的随机行为，（3）数学模型形式欠妥，（4）归并误差（粮食的归并）（5）测量误差等。回归模型存在两个特点。（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们可以透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。一般线性回归函数E(yt)=0+1xt是观测不到的，运用样本得到的只是对E(yt)=0+1xt的估计，即对0和1的估计。在对回归函数进行估计之前应当对随机误差项ut做出如下假定。(1)ut是一种随机变量，ut的取值服从概率分布。(2)E(ut)=0。(3)D(ut)=E[ut-E(ut)]2=E(ut)2=2。称ui具有同方差性。(4)ut为正态分布（根据中心极限定理）。以上四个假定可作如下体现。utN(0,)。(5)Cov(ui,uj)=E[(ui-E(ui))(uj-E(uj))]=E(ui,uj)=0,(ij)。含义是不一样观测值所对应的随机项互相独立。称为ui的非自有关性。(6)xi是非随机的。(7)Cov(ui,xi)=E[(ui-E(ui))(xi-E(xi))]=E[ui(xi-E(xi)]=E[uixi-uiE(xi)]=E(uixi)=0.ui与xi互相独立。否则，分不清是谁对yt的奉献。2．最小二乘估计（OLS）对于所研究的经济问题，一般真实的回归直线是观测不到的。搜集样本的目的就是要对这条真实的回归直线做出估计。怎样估计这条直线呢？显然综合起来看，这条直线处在样本数据的中心位置最合理。怎样用数学语言描述“处在样本数据的中心位置”？设估计的直线用=+xt表达。其中称yt的拟合值（fittedvalue），和分别是0和1的估计量。观测值到这条直线的纵向距离用表达，称为残差。yt=+=+xt+称为估计的模型。假定样本容量为T。（1）用“残差和最小”确定直线位置是一种途径。但很快发现计算“残差和”存在互相抵消的问题。（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一种途径。但绝对值的计算比较麻烦。（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较以便外，得到的估计量还具有优良特性。（这种措施对异常值非常敏感）设残差平方和用Q表达，Q===，则通过Q最小确定这条直线，即确定和的估计值。以和为变量，把Q看作是和的函数，这是一种求极值的问题。求Q对和的偏导数并令其为零，得正规方程，=2(-1)=0(1)=2(-xt)=0(2)下面用代数和矩阵两种形式推导计算成果。首先用代数形式推导。由（1）、（2）式得，=0(3)xt=0(4)（3）式两侧用T除，并整顿得，=(5)把上式代入（4）式并整顿，得，xt=0(6)=0(7)=(8)由于=0，=0，分别在（8）式的分子和分母上减和得，=(9)=(10)下面用矩阵形式推导T+()=，+()====这种形式在单位根检查的理论分析中非常有用。3．最小二乘估计量和的特性线性特性这里指和分别是yt的线性函数。===令kt=，代入上式得=ktyt可见是yt的线性函数，是1的线性估计量。同理0也具有线性特性。无偏性运用上式E()=E(ktyt)=E[kt(0+1xt+ut)]=E(0kt+1ktxt+ktut)=E[1kt(xt-)+ktut]=1+E(ktut)=1(3)有效性0,1的OLS估计量的方差比其他估计量的方差小。Gauss-Marcov定理：若ut满足E(ut)=0，D(ut)=2，那么用OLS法得到的估计量就具有最佳线性无偏性。估计量称最佳线性无偏估计量。最佳线性无偏估计特性保证估计值最大程度的集中在真值周围，估计值的置信区间最小。注意：分清4个式子的关系。(1)真实的记录模型，yt=0+1xt+ut(2)估计的记录模型，yt=+xt+(3)真实的回归直线，E(yt)=0+1xt(4)估计的回归直线，=+xt4．OLS回归直线的性质(1)残差和等于零，=0由正规方程2(yt--xt)(-1)=0得(yt--xt)=(yt-)=()=0(2)估计的回归直线=+xt过（,）点。正规方程(yt--xt)=0两侧同除样本容量T，得=+。得证。(3)yt的拟合值的平均数等于其样本观测值的平均数，=。==(+xt)=+=。得证。(4)Cov(,xt)=0只需证明(xt-)=xt-=xt=xt(--xt)=0。上式为正规方程之一。(5)Cov(,)=0只需证明(-)=-==(+xt)=+xt=05．yt的分布和的分布根据假定条件utN(0,)，E(yt)=E(0+1xt+ut)=0+1xt+E(ut)=0+1xt。Var(yt)=Var(0+1xt+ut)=Var(0+1xt)+Var(ut)=yt是ut的线性函数，因此ytN(0+1xt,)。可以证明E()=1，Var()=，是yt的线性函数（=ktyt），因此N(1,)。6．的估计定义：=其中2表达待估参数的个数。可以证明E()=。是的无偏估计量。由于是残差，因此又称作误差均方。可用来考察观测值对回归直线的离散程度。和的估计的方差是()=S2()=，()=S2()=7．拟合优度的测量拟合优度是指回归直线对观测值的拟合程度。显然若观测值离回归直线近，则拟合程度好；反之则拟合程度差。图2.3三种离差示意图可以证明(yt-)2=(-)2+(yt-)2=(-)2+()2。TSS（总平方和）=RSS（回归平方和）+ESS（残差平方和）证明(yt-)2=[(yt-)+(-)]2=(yt-)2+(-)2+2(yt-)(-)其中(yt-)(-)=(yt-)(xt-)=(yt-)xt-(yt-)=xt=0度量拟合优度的记录量是可决系数（确定系数）。R2==（回归平方和）/（总平方和）=RSS/SST因此R2的取值范围是[0，1]。对于一组数据，SST是不变的，因此SSR↑（↓），SSE↓（↑）。RSS：指回归平方和（regressionsumofsquares），ESS：指残差平方和（errorsumofsquares(sumofsquarederrors)，8．回归参数的明显性检查及其置信区间重要是检查1与否为零。一般用样本计算的不等于零，但应检查这与否有记录明显性。H0：1=0；H1：10在H0成立条件下，t===-t(T-2)0t(T-2)若t>t(T-2)，则10；若t<t(T-2)，则1=0。还可以运用估计1的置信区间。由于P{t(T-2)}=1-由大括号内不等式得1的置信区间-t(T-2)1+t(T-2)其中是=的算术根，而其中的是的算术根。9．yF的点预测及其区间预测下面以时间序列数据为例简介预测问题。预测可分为事前预测和事后预测。两种预测都是在样本区间之外进行，如图所示。对于事后预测，被解释变量和解释变量的值在预测区间都是已知的。可以直接用实际发生值评价模型的预测能力。对于事前预测，解释变量是未发生的。（当模型中具有滞后变量时，解释变量则有也许是已知的。）当预测被解释变量时，则首先应当预测解释变量的值。对于解释变量的预测，一般采用时间序列模型。T1T2T3（目前）样本区间事后预测事前预测预测还分为有条件预测和无条件预测。对于无条件预测，预测式中所有解释变量的值都是已知