椭圆同步练习 高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.1椭圆【夯实基础】

知识点1椭圆及其标准方程

1.点F是椭圆的一个焦点，点P在椭圆上，线段PF的中点为N，且(O为坐标原点)，则线段PF的长为()A.2 B.3 C.4 D.2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是()A. B. C. D.3.如图所示，，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为()A. B. C. D.知识点2椭圆的简单几何性质

4.已知椭圆，则长轴的端点为()A.， B.，C.， D.，5.若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为()A. B. C. D.6.若椭圆比椭圆更扁，则椭圆C的长轴长的取值范围是()A. B. C. D.7.已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为()A. B.C.或 D.或8.已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆的长轴长为，则此椭圆的方程为__________.【提升能力】

9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.10.当椭圆的离心率最小时，它的焦距为()A.2 B. C.4 D.11.（多选）平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是()A.M到两定点，的距离之和为4B.M到两定点，的距离之和为6C.M到两定点，的距离之和为6D.M到两定点，的距离之和为812.（多选）如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是()A.椭圆的长轴长为8 B.椭圆的离心率为C.椭圆的离心率为 D.椭圆的一个方程可能为13.设点在椭圆上，则的最大值为__________.14.设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则__________.【综合素养】15.椭圆的长轴长为4，左顶点在圆上，左准线为y轴，则此椭圆离心率的取值范围是(注：椭圆的准线方程为)()A. B. C. D.16.在平面直角坐标系中，动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为.（1）求点M的轨迹方程；（2）若点，求的最大值与最小值.

答案以及解析1.答案：A解析：如图所示，不妨设F为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，连接，N为PF的中点，且，.由椭圆方程可知，，根据椭圆定义有，.故选A.2.答案：A解析：因为椭圆两个焦点的坐标分别为和，所以.因为椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.故选A.3.答案：B解析：因为是面积为的正三角形，所以，解得.所以点P的坐标为，将其代入椭圆方程得，与联立，解得.故选B.4.答案：A解析：因为椭圆C的方程为，所以，且焦点在x轴上，所以长轴的端点为，.故选A.5.答案：A解析：由题意，得点到点与点的距离之和为8.又，所以动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，所以，所以椭圆的方程为.故选A.6.答案：C解析：椭圆的离心率，椭圆的离心率.因为椭圆比椭圆更扁，所以，即，解得，则，所以椭圆C的长轴长的取值范围是.故选C.7.答案：D解析：若焦点在x轴上，则.由，得，所以，此时椭圆C的标准方程为.若焦点在y轴上，则.由，得，此时椭圆C的标准方程为.综上所述，椭圆C的标准方程为或.故选D.8.答案：解析：因为，是椭圆的两个焦点，所以.因为椭圆的长轴长为，所以，故，所以，所以椭圆的方程为.9.答案：B解析：设焦距为2c.因为的周长为18，所以，所以.因为长半轴长为5，即，所以，所以椭圆C的离心率.故选B.10.答案：C解析：因为曲线表示椭圆，所以.因为，所以，因此椭圆标准方程中的，.因为离心率，所以离心率最小时，的值最大.因为，当且仅当时取等号，所以此时椭圆的焦距.故选C.11.答案：BD解析：因为两定点，的距离为，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合.故选BD.12.答案：BD解析：由题意易知椭圆的短半轴长，因为截面与底面所成的角，所以椭圆的长轴长，则，所以，离心率.当以椭圆的中心为原点，椭圆的长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的方程为.故选BD.13.答案：11解析：由椭圆的几何性质知，将代入，得，所以当时，取得最大值11.14.答案：2解析：由椭圆方程，知.因为P为椭圆上的点，所以.又因为，所以，，所以.15.答案：B解析：设椭圆的左顶点坐标为，点A到左准线的距离为，又椭圆长轴长为4，可得.于是离心率.又点A在圆上