幂函数讲义 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

幂函数一、幂函数的概念:一般地，形如的函数称为幂函数，其中为自变量，为常数①表达式是一个幂②系数为1③底数为自变量④指数为常数【例1】（1）下列是幂函数的是_____①②③④⑤⑥⑦答案：①②③⑥。（2）已知点()在幂函数上图像上，则=____解：（3）已知函数是幂函数，则=_______解：或（舍），解得；【例2】已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（

）A、 B、 C、 D、解：图象过点，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．二、幂函数的图像与性质（难点：幂函数的性质随着指数的不同而不同）画出指数为在第一象限函数图像1、当函数在第一象限时（1）当时，函数的图像和图像类似，不过原点（2）当时，函数的图像和图像类似，在和图像之间（3）当时，函数的图像和图像类似，在为增函数性质：①第一象限所以图像过定点，幂函数图像恒过第一象限，恒不过第四象限②增减性：当时，在都是减函数当时，在都是增函数③按逆时针方向逐渐变大（举例画图：）【例3】（1）图中曲线是幂函数在第一象限的图像，已知四个值，则相应于曲线的依次是_____解：【例4】函数是幂函数，且时减函数，求的值解：【例5】已知函数，且，则的取值范围是______解：，定义域（易错点，易忽略）2、在其他象限时利用函数的奇偶像研究的性质（1）当为整数时，为奇数就是奇函数；为偶数就是偶函数（2）当为分数时（有理数）：（为既约分数）①当都为奇数时：是奇函数，如（画图像）②当都为偶数时：是偶偶函数，如（画图像）③当都为奇数，为偶函数是，函数非奇非偶，如有定义域的限制（3）无理数不要求【例6】（1）（陕西文4）函数的图像是（）解：函数为偶函数，图像和类似且过点（1，1），答案B【例7】已知函数,在下列函数图像中，不是的图像是（）解：函数不过第四象限，答案为C【例8】如图所示是函数(且互质)的图象，则（

）是奇数且 B、是偶数，是奇数，且C、是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：C【例9】在上是（）A、增函数且奇函数B.增函数且为偶函数C.减函数且为奇函数D.减函数且为偶函数解：答案：A 【例10】下列命题正确的是（

）幂函数的图象都经过，两点 B、函数的图象经过第二象限C、如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D、如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点E、幂函数的图象上的点一定不在第四象限F、当时，函数在定义域内是减函数解：对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，D正确对于E，正确；对于F，当,函数在定义域内不具有单调性【例11】若，则函数的定义域是______解：，，所以【例12】函数，不论为何值的图像均过点，则实数，_____解：，时，恒过点【例13】已知函数是幂函数，且其图像与轴没有交点，则实数解：或当时，；当时，，且与轴没有交点，【例14】（多）已知函数是幂函数，且在上单调递增。若，且，则（），B、，C、，D、，解：或，当时，；当时，且在上单调递增，所以，且为奇函数，画出图像①当，时，满足，，此时，C正确②当，时，满足，，此时，B正确③当，时，满足，，此时，D正确答案：BCD【例15】如果对定义在上的奇函数，对任意两个不相等的实数，都有，那么称函数为“函数”，下列函数为函数的是（）A、B、C、D、解：，函数在R为增函数答案D【例16】已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A、 B、C、 D、解：设，即为奇函数，在R上单调递增（增+增），，所以，答案A【例17】已知幂函数的图像关于轴对称，且求的值及的解析式若，求实数的取值范围解（1）函数偶函数，且为增函数，所以，且，所以（2）【例18】已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，求满足的实数的取值范围解：，且为偶数，故，函数在和为单调递减，画出函数图像所以【例19】已知幂函数试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性若该函数的图像经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围解：（1），因为，一定是一奇一偶，所以一定是偶数，所以定义域为，且为增函数（2）（舍）或，所以【例20】已知幂函数的图象经过点．(1)求的解析式；(2)设，（i）利用定义证明函数在区间上单调递增．（ii）若在上恒成立，求t的取值范围．解：(1)设，则，得，所以(2)（i）由（1）得．任取，，且，则．因为，所以，即．在上单调递增．（ii）由（i）知在单调递增，所以在上，．因为在上恒成立，所以，解得．【例21】已知幂函数为偶函数，．(1)求的解析式；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）若函数在上是严格增函数，求的取值范围解：（1）因为为偶函数，所以，解得或当时，为偶函数，所以（2）因为，所以当时，，为偶函数，当时，，为非奇非偶函数，（3）因为函数在上是严格增函数，所以当时，，即所以，因为，所以，所以因为，所以，所以【例22】已知幂函数在上单调递减，且（1）求函数的解析式（2）判断函数的奇偶性，并说明理由（3）若函数在上的最小值为，求实数的值解：（1）设，，当时，，不满足在上单调递减所以时，（2）由（1）可知，，定义域为，所以为奇函数（3），对称轴为①当时，，满足题意②当时，,不满足题意③当时，，不满足题意综上：【例23】已知幂函数在上是严格减函数，且为偶函数（1）求函数的解析式（2）讨论函数的奇偶性解：（1），因为,所以当时，当时，当时，因为为偶函数，所以（2），当时，为奇函数当时，为偶函数当且时，，或者且，非奇非偶【例24】*已知幂函数，满足（1）求函数的解析式（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为？（3）若函数是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由解：（1）或当时，当时，且，在增函数，所以（2），设