高考数学二轮复习核心专题讲练：立体几何第2讲 立体几何解答题 原卷版

第2讲立体几何解答题第一部分：重难点题型突破突破一：异面直线夹角的向量求法突破二：已知线线角求其它量突破三：线面角的向量求法突破四：已知线面角求其它量突破五：面面角向量求法突破六：已知面面角求其它量突破七：点到平面距离突破八：空间角的最值问题第二部分：冲刺重难点特训第一部分：重难点题型突破突破一：异面直线夹角的向量求法1．（2022·广东惠州·高二阶段练习）如图所示，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，N是AB中点．(1)若点M是棱SKIPIF1<0所在直线上的点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求实数SKIPIF1<0的值；(2)求异面直线CB与SKIPIF1<0所成角的余弦值．2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为2,SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点.(1)求证：点SKIPIF1<0四点共面；(2)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角.3．（2022·上海·高二专题练习）如图，已知SKIPIF1<0是底面为正方形的长方体，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，(1)求证：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值．4．（2022·福建泉州·高二期中）如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，以顶点SKIPIF1<0为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；(2)求对角线SKIPIF1<0的长；(3)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值.5．（2022·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面四边形SKIPIF1<0为菱形且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.(1)证明：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值；突破二：已知线线角求其它量1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且SKIPIF1<0，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱SKIPIF1<0上的点．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．2．（2022·广东·广州市协和中学高二阶段练习）如图，空间直角坐标系中，四棱锥SKIPIF1<0的底面是边长为SKIPIF1<0的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q：SKIPIF1<0经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上，SKIPIF1<0平面OABC，侧棱OP与底面所成角为SKIPIF1<0．(1)求m的值；(2)若SKIPIF1<0是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为SKIPIF1<0，写出M、N两点之间的距离SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0的最小值；(3)是否存在一个实数SKIPIF1<0，使得当SKIPIF1<0取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由．3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=SKIPIF1<0，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．(1)求证：A1O⊥BD；(2)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；(3)线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为SKIPIF1<0?若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．4．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）如图①，平面四边形SKIPIF1<0由直角梯形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0组成，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如图②，沿着直线SKIPIF1<0将直角梯形SKIPIF1<0折起至点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0重合，点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0重合，使得二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0.(1)求点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离；(2)若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，是否存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的长度；若不存在，请说明理由.5．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知正方形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0所在平面互相垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)试在线段SKIPIF1<0上确定一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角是60°.6．（2022·湖北武汉·高二阶段练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值；(3)设SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的点，满足异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长.突破三：线面角的向量求法1．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，SKIPIF1<0，E，F分别是AD，PB的中点．(1)证明：EFSKIPIF1<0平面PCD；(2)求直线PA与平面CEF所成角的度数．2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知正方形SKIPIF1<0的边长为2，点SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0的中点，沿着SKIPIF1<0将SKIPIF1<0，折起，使得点SKIPIF1<0重合为一点SKIPIF1<0，得到一个三棱锥SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0的中点，在折起后的图形中：(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．3．（2022·湖北·咸丰春晖学校高二阶段练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，PD=4，底面SKIPIF1<0是边长为2的正方形，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.4．（2022·江西·高二阶段练习）在斜三棱柱SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0的射影为边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为正三角形，侧面SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角的正切值为2，(1)证明:SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.5．（2022·山东枣庄·高二期中）四棱锥SKIPIF1<0底面为平行四边形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)在棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.若存在，确定SKIPIF1<0点位置；若不存在，说明理由.(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.突破四：已知线面角求其它量1．（2022·新疆·伊宁县第二中学高二期中（理））已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD∥平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°？若存在，求线段AM的长，若不存在，请说明理由．2．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1=SKIPIF1<0，BC=1，AB=C1C=2，E是棱C1C的中点.(1)求二面角A—EB1—A1的余弦值；(2)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.3．（2022·天津·塘沽二中高二期中）如图，在四棱柱SKIPIF1<0中，侧棱SKIPIF1<0⊥底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的正弦值；(2)设点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．4．（2022·广东·惠来县第一中学高二期中）已知四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点．(1)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小；(2)线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．5．（2022·河北衡水中学高三阶段练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，已知四边形SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正方形，点SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影为底面SKIPIF1<0的中心SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0的面积为1.(1)若点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，求出点SKIPIF1<0的位置；若不存在，说明理由.6．（2022·河南·高二阶段练习（理））如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．7．（2022·北京市陈经纶中学高二期中）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点.(1)证明：若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值；(3)是否存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，试求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.突破五：面面角向量求法1．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是菱形.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E是棱PC的中点.(1)证明：PC⊥BD.(2)求平面PAB与平面BDE所成角的余弦值.2．（2022·全国·高三专题练习）如图，SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．3．（2022·湖北·高二阶段练习）如图1，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，将梯形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠成如图2所示的几何体，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若图1中，SKIPIF1<0，求当四棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐角的正弦值.4．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.5．（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的菱形，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.6．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）如图SKIPIF1<0，梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0翻折，使点SKIPIF1<0至点SKIPIF1<0，且使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)连接SKIPIF1<0，当四面体SKIPIF1<0体积最大时，求二面角SKIPIF1<0的大小．7．（2022·江苏常州·高三阶段练习）如图，SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.突破六：已知面面角求其它量1．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）如图1，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图2.(1)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.2．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）如图1，在边长为4的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0.沿SKIPIF1<0将SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0的位置，连接SKIPIF1<0，得到如图2所示的五棱锥SKIPIF1<0.(1)在翻折过程中是否总有平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？证明你的结论；(2)当四棱锥SKIPIF1<0体积最大时，求点SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离；(3)在（2）的条件下，在线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0？若存在，试确定点SKIPIF1<0的位置；若不存在，请说明理由.3．（2022·浙江·高二阶段练习）如图1，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0的位置，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图2所示.(1)设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.(2)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（点SKIPIF1<0不与端点重合），平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的正弦值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.4．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）如图所示，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，四边形ACFE为矩形，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为SKIPIF1<0．5．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，则棱PB上是否存在一点F，使得平面SKIPIF1<0与平面EBD的夹角的余弦值为SKIPIF1<0？若存在，请计算出SKIPIF1<0的值，若不存在，请说明理由.6．（2022·山西大同·高二期中）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，则在棱SKIPIF1<0上是否存在动点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角的大小为SKIPIF1<0.7．（2022·四川省遂宁市第二中学校高三阶段练习（理））如图，直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.突破七：点到平面距离1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（文））在直棱柱SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，底面SKIPIF1<0为等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.2．（2022·福建·德化第八中学高二阶段练习）已知：在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，侧棱SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．3．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）如图，矩形SKIPIF1<0和梯形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的平面交平面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点时，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离；4．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）如图1，已知梯形ABCD中，SKIPIF1<0，E是AB边的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0沿DE折起，使点A到达点P的位置，且SKIPIF1<0，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.(1)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值；(2)求点P到平面MCN的距离.5．（2022·福建福州·高二期中）如图，菱形ABCD中，AB=2，SKIPIF1<0，P为平面ABCD外一点，且平面PADSKIPIF1<0平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.6．（2022·福建南平·高二期中）如图，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为折痕把SKIPIF1<0折起，便点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，且SKIPIF1<0．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正切值为SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．突破八：空间角的最值问题1．（2022·福建·高三阶段练习）四棱锥SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的点，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值.2．（2022·上海市进才中学高二期中）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；(3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.3．（2022·山东潍坊·高二期中）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0的中点，二面角SKIPIF1<0为直二面角.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点（不包括端点），求锐二面角SKIPIF1<0的余弦值的取值范围.4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期中）如图所示，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，侧面SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的点.(1)若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0时，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值的范围.5．（2022·山西太原·高二期中）如图，在四棱椎SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(2)若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的取值范围为SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值的取值范围.6．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二期中）如图①所示，长方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0靠近点SKIPIF1<0的三等分点，将△SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到△SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到图②的四棱锥SKIPIF1<0.(1)求四棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值；(2)设SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夹角余弦值的最小值.7．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）已知四棱锥SKIPIF1<0的底面ABCD是平行四边形，侧棱SKIPIF1<0平面ABCD，点M在棱DP上，且SKIPIF1<0，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.(1)若N是棱PC中点，完成：（i）画出SKIPIF1<0的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：（ii）求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面AMN；(2)若四边形ABCD是正方形，且SKIPIF1<0，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.8．（2022·山东省青岛第十七中学高二期中）如图，C是以SKIPIF1<0为直径的圆O上异于A，B的点，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0为正三角形，E，F分别是SKIPIF1<0上的动点.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若E，F分别是SKIPIF1<0的中点且异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正切值为SKIPIF1<0，记平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的取值范围.第二部分：冲刺重难点特训1．（2022·四川·广安二中模拟预测（理））在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.2．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））如图，已知SKIPIF1<0为圆锥SKIPIF1<0底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0上一点，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值.3．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，连接EB交AD于点F，如图1.将SKIPIF1<0沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2.(1)证明：直线SKIPIF1<0平面BFP；(2)若∠BFP＝120°，求点F到平面BCP的距离．4．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））如图，在长方体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，E为BC中点，连接SKIPIF1<0，F为线段SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角的余弦值．5．（2022·河南开封·一模（理））如图，SKIPIF1<0是正三角形，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，M，N分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．6．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）已知三棱锥SKIPIF1<0（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形SKIPIF1<0为边长等于SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为正三角形，在三棱锥SKIPIF1<0中：(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上运动，当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角最大时，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.7．（2022·上海松江·一模）已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值大小.8．（2022·全国·模拟预测）如图，在直线三棱柱SKIPIF1<0中，己知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D为棱AC的中点.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.9．（2022·浙江·三门县观澜中学模拟预测）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，点SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内的投影恰为SKIPIF1<0中点，且SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．10．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIP