高考数学二轮复习核心专题讲练：函数与导数第5讲 素养提升之函数与导数新情境、新考法专项冲刺 解析版

第5讲素养提升之函数与导数新情境、新考法专项冲刺目录一、新情境角度1：紧跟社会热点角度2：关注经济发展角度3：聚焦科技前沿角度4：结合生产实践角度5：渗透数学文化角度6：强调五育并举二、新考法角度1：以高观点为背景角度2：以给定定义、热点信息为背景角度3：考查开放、探究精神角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养角度5：相近学科融合一、新情境角度1：紧跟社会热点1．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））某容量为SKIPIF1<0万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和流出的水均为SKIPIF1<0万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数SKIPIF1<0表示经过SKIPIF1<0天后的湖水污染质量分数，已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示初始湖水污染质量分数.如果SKIPIF1<0，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的SKIPIF1<0以下，至少需要经过（

）天（参考数据：SKIPIF1<0）A．113 B．116 C．119 D．120【答案】B【详解】设至少需要经过SKIPIF1<0天，因为要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以至少需要经过116天.故选：B2．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同时，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）与时间SKIPIF1<0（单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）．已知第一个月该植物的生长面积为SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0个月该植物的生长而积为SKIPIF1<0，给出下列结论：①第SKIPIF1<0个月该植物的生长面积超过SKIPIF1<0；②若该植物的生长面积达到SKIPIF1<0，则至少要经过SKIPIF1<0个月；③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0成等差数列；④若SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．其中正确结论的个数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；对于①，SKIPIF1<0，①正确；对于②，令SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即至少需要经过SKIPIF1<0个月，②错误；对于③，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0成等差数列，③正确；对于④，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，④错误.故选：B.3．（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（

）（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【详解】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0小时后，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0小时，所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为11小时.故选：B4．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20SKIPIF1<0.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为（

）A．23SKIPIF1<0 B．25SKIPIF1<0 C．27SKIPIF1<0 D．29SKIPIF1<0【答案】D【详解】以滑道的最陡处为原点SKIPIF1<0建立平面直角坐标系，由题意可知，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，设三次函数的解析式为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在滑道最陡处，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的对称轴为直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<00，则SKIPIF1<0，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由图可知SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D.5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三阶段练习）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：SKIPIF1<0描述累计感染病例数SKIPIF1<0随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与SKIPIF1<0，T近似满足SKIPIF1<0．有学者基于已有数据估计出SKIPIF1<0．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为SKIPIF1<0（

）A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为，则有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为3.6天故选：A．角度2：关注经济发展1．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产SKIPIF1<0芯片的毛收入SKIPIF1<0（千万元）与投入的资金SKIPIF1<0（千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产SKIPIF1<0芯片的毛收入SKIPIF1<0（千万元）与投入的资金SKIPIF1<0（千万元）的函数关系为SKIPIF1<0，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）【答案】9【详解】解：因为生产SKIPIF1<0芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即生产SKIPIF1<0芯片的毛收入SKIPIF1<0（千万元）与投入资金SKIPIF1<0（千万元）的函数关系式为SKIPIF1<0．对于SKIPIF1<0芯片，因为函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即生产SKIPIF1<0芯片的毛收入SKIPIF1<0（千万元）与投入的资金SKIPIF1<0（千万元）的函数关系为SKIPIF1<0．设投入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0千万元生产SKIPIF1<0芯片，则投入SKIPIF1<0千万元生产SKIPIF1<0芯片，则公司所获利润SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元．故答案为：SKIPIF1<02．（2022·山东枣庄·高二期末）某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是SKIPIF1<0分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm．【答案】SKIPIF1<0【详解】设每瓶饮料获得的利润为SKIPIF1<0，依题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0是极小值点，于是在SKIPIF1<0，只可能SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0最大.故答案为：SKIPIF1<03．（2022·北京丰台·高二期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，SKIPIF1<0）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为SKIPIF1<0，给出下列四个结论：①

当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；②

SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减；③

SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在极小值；④

SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在极小值.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③④【详解】由图可知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故①正确；SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，由图象可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率大于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，②错；根据图象可知：图象SKIPIF1<0先快后慢，而SKIPIF1<0图象先慢后快，所以可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的变化是先减后增，故由极小值，③正确；SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0趋近于SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率明显大于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率，而当SKIPIF1<0趋近于0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率明显大于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线斜率，所以可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的变化是先减后增，故由极小值，故④正确.故答案为：①③④4．（2022·全国·高一）端午节来临之际，商家推出了两种礼盒进行售卖．A类礼盒中有4个甜味粽，4个肉馅粽；B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，两种礼盒的成本分别为盒中食品的成本之和，包装费用忽略不计．其中，每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的SKIPIF1<0，每个甜味粽的成本比每个肉馅粽的成本少，且每个甜味粽和每个肉馅粽的成本均为整数．已知A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．端午节当天一共卖出了两类礼盒共计128盒，且卖出的B类礼盒至少50盒．后续工作人员在核算总成本的过程中，把每个甜味粽和每个肉馅粽的成本看反了，并用看反的每个肉馅粽的成本的SKIPIF1<0去计算每个成鸭蛋的成本，结果算出来的总成本比实际总成本少了480元，则当日实际卖出的两种礼盒的总成本为______元．【答案】5360【详解】∵A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．∴A类礼盒的成本为SKIPIF1<0元，即4个甜味粽，4个肉馅粽的成本为40元，∴1个甜味粽，1个肉馅粽的成本总和为10元，设每个甜味粽的成本为x元，则每个肉馅粽的成本为SKIPIF1<0元，∵每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的SKIPIF1<0，∴每个咸鸭蛋的成本为SKIPIF1<0元，∵B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，∴B类礼盒的成本为SKIPIF1<0元，设卖出A类礼盒SKIPIF1<0盒，则卖出B类礼盒SKIPIF1<0盒，SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，当日实际卖出的两种礼盒的总成本为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（元）．故答案为：5360.角度3：聚焦科技前沿1．（2022·北京朝阳·高二期末）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．SKIPIF1<0函数是常用的激活函数之一，其解析式为SKIPIF1<0．关于SKIPIF1<0函数的以下结论①SKIPIF1<0函数是增函数；②SKIPIF1<0函数是奇函数；③对于任意实数a，函数SKIPIF1<0至少有一个零点；④曲线SKIPIF1<0不存在与直线SKIPIF1<0垂直的切线．其中所有正确结论的序号是___________．【答案】①②④【详解】SKIPIF1<0定义域为R，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，②正确；SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0函数是增函数，①正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0无零点，③错误；SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故曲线SKIPIF1<0不存在与直线SKIPIF1<0垂直的切线．④正确.故答案为：①②④2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数SKIPIF1<0即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：SKIPIF1<0．下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：______．①Sigmoid函数是单调递增函数；②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为SKIPIF1<0；③对于任意正实数a，方程SKIPIF1<0有且只有一个解；④Sigmoid函数的导数满足：SKIPIF1<0．【答案】①②④【详解】因为SKIPIF1<0为单调递减函数，所以SKIPIF1<0为单调递增函数，故①正确；因为SKIPIF1<0，所以Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为SKIPIF1<0，故②正确；因为SKIPIF1<0为单调递增函数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，仅当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有且只有一个解，故③错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故④正确．故答案为：①②④.3．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式SKIPIF1<0，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，SKIPIF1<0应称为总质比．己知A型火箭喷流相对速度为SKIPIF1<0，根据以上信息：（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________SKIPIF1<0；（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的SKIPIF1<0，若要使火箭的最大速度至少增加SKIPIF1<0，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________．（所有结果保留整数，参考数据：SKIPIF1<0）【答案】

3129

68【详解】（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为SKIPIF1<0，总质比为SKIPIF1<0，要使火箭的最大速度至少增加SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.故答案为:3129；68.角度4：结合生产实践1．（2022·云南昆明·高一期末）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值SKIPIF1<0（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过企业年产值的15%．若函数SKIPIF1<0，则m的取值范围为__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又根据题意可得SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立.解SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为增函数，故SKIPIF1<0.综上有SKIPIF1<0，即m的取值范围为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<02．（2022·河北·承德市双滦区实验中学高一期中）某公司生产防疫器材，生产固定成本为20000元，若每生产一台该器材需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量SKIPIF1<0（单位：台）满足函数：SKIPIF1<0，当该公司月生产量为______________台，公司利润最大，最大利润是____________________元（总收入=总成本+利润）【答案】

300

25000【详解】SKIPIF1<0等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·河南·安阳37中高一期中）某蔬菜仓库供应甲、乙两个大型超市．蔬菜仓库的设计容量为SKIPIF1<0万吨，去年年底时该仓库的蔬菜存储量为SKIPIF1<0万吨，从今年开始，每个月购进蔬菜SKIPIF1<0万吨，再按照需求量向两个超市调出蔬菜．已知甲超市每月的蔬菜需求量为SKIPIF1<0万吨，乙超市前SKIPIF1<0个月的蔬菜总需求量为SKIPIF1<0万吨，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，且前SKIPIF1<0个月，乙超市的蔬菜总需求量为SKIPIF1<0万吨．(1)求第SKIPIF1<0个月月底时，该仓库的蔬菜存储量SKIPIF1<0（万吨）与SKIPIF1<0的函数关系式；(2)若要今年每月按计划购进蔬菜之后，仓库总能满足两个超市的需求，且每月调出蔬菜后，仓库的蔬菜剩余量不超过设计容量，试确定SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）.（2）由题意得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0恒成立；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.4．（2022·上海市南洋模范中学高一期中）2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元SKIPIF1<0，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工x名（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），调整后研发人员的年人均投入增加SKIPIF1<0，技术人员的年人均投入调整为SKIPIF1<0万元．(1)求调整后企业对全部技术人员的年总投入SKIPIF1<0和对全部研发人员的年总投入SKIPIF1<0的表达式：(2)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?(3)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；(2)125；(3)存在，SKIPIF1<0.【详解】（1）由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.（2）由（1）得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则调整后研发人员的人数最少为SKIPIF1<0.（3）由条件①得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0；由条件②得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；综上所述，存在这样的SKIPIF1<0满足以上两个条件，SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0.角度5：渗透数学文化1．（2022·重庆市第十一中学校高一阶段练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0､已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】显然，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，当x>0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当且仅当，x=1时，等号成立；当x<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.当且仅当，x=-1时，等号成立.综上所述，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0所以，根据高斯函数的定义，函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的反函数为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则对于任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0恒成立，则实数k的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意，SKIPIF1<0的反函数SKIPIF1<0．对于任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可转化为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：D．3．（2022·全国·高三专题练习）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼．太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．现定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”．设圆SKIPIF1<0，下列说法正确的是(

)①函数SKIPIF1<0是圆O的一个“太极函数”；②若函数SKIPIF1<0是圆O的“太极函数”，则SKIPIF1<0；③函数SKIPIF1<0的图像关于原点中心对称是SKIPIF1<0为圆O的“太极函数”的充要条件；④圆O的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数．A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】A【详解】对于①函数SKIPIF1<0是经过原点的奇函数，如图：∴函数SKIPIF1<0是圆O的一个“太极函数”，故①正确；对于②函数f(x)＝kx3﹣kx为奇函数，∵f(x)＝kx(x＋1)(x－1)，∴f(x)与圆恒有两个交点(－1，0)，(1，0)，SKIPIF1<0，得k2x6﹣2k2x4＋(1＋k2)x2﹣1＝0，令t＝x2，得k2t3﹣2k2t2＋(1＋k2)t﹣1＝0，即(t﹣1)(k2t2﹣k2t＋1)＝0得t＝1即x＝±1；对k2t2﹣k2t2＋1，当k＝0时显然无解，Δ＜0即0＜k2＜4时也无解，即k∈(﹣2，2)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分．若k＝±2时，函数图象与圆有4个交点，若k2＞4时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二．对于③函数f(x)的图像关于原点中心对称是f(x)为圆O的“太极函数”的充分不必要条件，故③错误；④如图所示：圆O的所有非常值函数的太极函数可以为偶函数，故④错误．则①②正确，故选：A．4．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（文））中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算SKIPIF1<0，所得的结果用分数表示为__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：构造函数SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在点（0，1）处的切线方程为SKIPIF1<0，根据“切线近以代替曲线”的思想方法可得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0角度6：强调五育并举1．（2022·内蒙古赤峰·高三阶段练习（理））体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运动能增强身体机能，提高抗病能力.对于SKIPIF1<0岁的青少年，每天进行中等强度的运动有助于提高睡眠质量，使第二天精神充足，学习效率更高.是否达到中等强度运动，简单测量方法为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为运动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值，SKIPIF1<0为每个个体的体质健康系数.若SKIPIF1<0介于SKIPIF1<0之间，则达到了中等强度运动；若低于25，则运动不足；若高于28，则运动过量.已知某同学正常时心率为78，体质健康系数SKIPIF1<0，他经过慢跑后心率（单位：次/分）满足SKIPIF1<0为慢跑里程（单位：米）.已知学校运动场每圈400米，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的慢跑圈数为（

）（e为自然对数的底数，SKIPIF1<0）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】由题意，设跑了SKIPIF1<0圈，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.2．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计SKIPIF1<0的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的SKIPIF1<0，那么该同学所选的函数最有可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】将图形置于直角坐标系中，如图所示：由图易知该函数为偶函数，对于选项B，满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为奇函数，故可排除；对于选项D，满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为非奇非偶函数，故可排除；对于选项C，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，故排除；故选：A.3．（多选）（2022·吉林·长春市第五中学高二期中）意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为曲线顶点到横坐标轴的距离，SKIPIF1<0称为双曲余弦函数，其函数表达式为SKIPIF1<0，相应地，双曲正弦函数的表达式为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．若直线SKIPIF1<0与双曲余弦函数SKIPIF1<0双曲正弦函数SKIPIF1<0的图象分别相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则下列结论正确的为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是偶函数C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为直角顶点的直角三角形，则实数SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，A正确；SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为奇函数，即SKIPIF1<0是奇函数，B错误；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，C正确；因为SKIPIF1<0轴，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为直角顶点的直角三角形，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正确．故选：ACD．二、新考法角度1：以高观点为背景1．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在SKIPIF1<0上，其解析式如下：SKIPIF1<0．若函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即函数的周期SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：B．2．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）对于二元函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处对x的偏导数，记为SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0存在，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处对y的偏导数，记为SKIPIF1<0．已知二元函数SKIPIF1<0，则下列命题为假命题的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】D【详解】根据偏导数的定义，在求对SKIPIF1<0偏导数时，SKIPIF1<0中SKIPIF1<0可作为常数，即函数可看作是SKIPIF1<0的一元函数求导，同理在求对SKIPIF1<0偏导数时，SKIPIF1<0中SKIPIF1<0可作为常数，即函数可看作是SKIPIF1<0的一元函数求导，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B正确；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(SKIPIF1<0时取得)，C正确．SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0，D错；故选：D．3．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）若SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0的两个根分别为SKIPIF1<0，则方程可写成SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，容易发现根与系数的关系：SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，设关于SKIPIF1<0的一元三次方程SKIPIF1<0的三个非零实数根分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可得：SKIPIF1<0，由待定系数法可得：SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的定义域分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，都恰好存在SKIPIF1<0个不同的实数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0重覆盖函数”，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的“4重覆盖函数”．(1)试判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是否为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的“2重覆盖函数”，并说明理由；(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的“3重覆盖函数”，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的“9重覆盖函数”，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)不是，理由见解析；(2)SKIPIF1<0(3)61【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0只有唯一解SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的“2重覆盖函数”；（2）因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为增函数，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，故对于任意的SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内都恰好有SKIPIF1<0个不同的根，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内最多只有SKIPIF1<0个不同的根，不合题意；②当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内最多只有一个根，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内最多有两个根，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有SKIPIF1<0个不同的根，在SKIPIF1<0内有两个根，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故方程SKIPIF1<0需在SKIPIF1<0内有2个不同根，在SKIPIF1<0内有1个根，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0；（3）因为函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单调递减函数，所以SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0内有9个不同的根，即SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧有9个不同的交点，由图可知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.5．（2022·广东深圳·高三阶段练习）记SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的SKIPIF1<0阶导数且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0存在，则称SKIPIF1<0SKIPIF1<0阶可导．英国数学家泰勒发现：若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近SKIPIF1<0阶可导，则可构造SKIPIF1<0（称为SKIPIF1<0次泰勒多项式）来逼近SKIPIF1<0在SKIPIF1<0附近的函数值．据此计算SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的3次泰勒多项式为SKIPIF1<0=_________；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的10次泰勒多项式中SKIPIF1<0的系数为_________【答案】

SKIPIF1<0

330【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故SKIPIF