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高一数学人教版A版必修二第八章8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
前面我们学习了棱柱、棱锥、棱台的有关概念,大家还记得它们的结构特征吗?
本节课研究如何求多面体的表面积和体积.复习引入
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和,也就是展开图的面积.一.棱柱、棱锥、棱台的表面积
几何体表面积
空间问题
一.棱柱、棱锥、棱台的表面积
展开图平面图形面积平面问题
例1
如图已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体P-ABC,求它的表面积.BCAP解:因为△PBC是正三角形,其边长为a,
所以
因此,四面体P-ABC的表面积例2
四棱台的上、下底面均是正四边形,边长分别是6cm和10cm,侧面是全等的等腰梯形高是12cm,求它的表面积?注:求解正棱台的表面积时,注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).解:如图所示,正四棱台A1B1C1D1-ABCD中A1B1=6cm,AB=10cm,
取A1B1的中点E1,AB的中点E,则E1E为斜高.
1.棱柱的体积
特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式,分别是:
V正方体=a3(a是正方体的棱长)
V长方体=abc(a,b,c分别是长方体的长、宽、高)二.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱的高是指两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.
一般地,如果棱柱的底面面积为S,高为h,那么这个棱柱的体积
特别的,直棱柱的侧棱垂直于底面,故侧棱长即为直棱柱的高.1.棱柱的体积思考:取一摞书放在桌面上(如图),并改变它们的放置方法,观察改变前后的体积是否发生变化?形状由长方体推移成斜四棱柱,体积不变.阅读教材P121-122祖暅原理探究:棱锥与同底等高的棱柱的体积有何关系?
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等,高也相等,那么,棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离.
因此,一般地,如果棱锥的底面面积为S,高为h,那么这个棱锥的体积2.棱锥的体积
棱台的高是指两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线,这点与垂足之间的距离.
由于棱台是由棱锥截成的,因此可以利用两个棱锥的体积差,得到棱台的体积公式
其中S′,S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高.
3.棱台的体积(S′,S,h分别是棱台的上下底面积和高)ADBCA′B′C′D′OO′P棱台体积公式的证明
思考:
棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗?例3
如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是1.5m,公共面ABCD是边长为2m的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米?解:例4某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm,那么石凳的体积是多少?解:如图示,由题意知正方体的棱长为,则有BCA'B'C'D'ADEFG∴这个石凳的体积为例5
四棱台的上、下底面均是正四边形,边长分别是10cm和20cm,侧面面积为780cm2,求它的体积?总结:
求解正棱台的表面积和体积时,注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中解决问题;二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.例5
四棱台的上、下底面均是正四边形,边长分别是10cm和20cm,侧面面积为780cm2,求它的体积?注:三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换,四面体的每一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可——等体积法例6
如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.1.多面体的表面积和体积小结2.求体积的方法:①公式法:直接代入公式求解.②割补法:将几何体分割或补形成易求解的几
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