棱柱棱锥棱台的表面积体积课件高一下学期数学人教A版

高一数学人教版A版必修二第八章8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

前面我们学习了棱柱、棱锥、棱台的有关概念，大家还记得它们的结构特征吗？

本节课研究如何求多面体的表面积和体积.复习引入

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和，也就是展开图的面积.一.棱柱、棱锥、棱台的表面积

几何体表面积

空间问题

一.棱柱、棱锥、棱台的表面积

展开图平面图形面积平面问题

例1

如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．BCAP解:因为△PBC是正三角形，其边长为a，

所以

因此，四面体P-ABC的表面积例2

四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm，侧面是全等的等腰梯形高是12cm，求它的表面积？注：求解正棱台的表面积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).解：如图所示，正四棱台A1B1C1D1-ABCD中A1B1＝6cm，AB＝10cm，

取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.

1.棱柱的体积

特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，分别是：

Ｖ正方体＝a3（a是正方体的棱长）

Ｖ长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）二.棱柱、棱锥、棱台的体积

棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.

一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积

特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.1.棱柱的体积思考：取一摞书放在桌面上（如图），并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？形状由长方体推移成斜四棱柱，体积不变.阅读教材P121-122祖暅原理探究：棱锥与同底等高的棱柱的体积有何关系？

如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.

因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积2.棱锥的体积

棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.

由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式

其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.

3.棱台的体积(S′,S,h分别是棱台的上下底面积和高)ADBCA′B′C′D′OO′P棱台体积公式的证明

思考：

棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？例3

如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是1.5m，公共面ABCD是边长为2m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？解:例4某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？解：如图示，由题意知正方体的棱长为，则有BCA'B'C'D'ADEFG∴这个石凳的体积为例5

四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是10cm和20cm，侧面面积为780cm2，求它的体积？总结：

求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.例5

四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是10cm和20cm，侧面面积为780cm2，求它的体积？注：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可——等体积法例6

如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1－D1EF的体积.1.多面体的表面积和体积小结2.求体积的方法：①公式法：直接代入公式求解．②割补法：将几何体分割或补形成易求解的几