浅谈数学归纳法的应用

-5-浅谈数学归纳法的应用中山市石歧张溪郑二小学康火娣[摘要]数学归纳法是数学中一种简便而应用广泛的证明命题的方法，是解数学题最基本和最重要的方法之一.本文归纳总结了数学归纳法的解题步骤和数学归纳法在中学证明恒等式、不等式、整除问题、几何问题的应用.[关键词]归纳法证明应用归纳法的解题步骤数学归纳法的步骤非常严谨，如果把证明的命题记作,那么数学归纳法的步骤为：（1）证明当取允许值时，正确；（2）假设时，命题成立，即正确，证明当时，也正确；（3）根据（1）、（2）,对任意正整数n都成立.数学归纳法的实质在于：将一个无法穷尽检验证明的命题转化为证明两个普通的命题：“真”和“若真，则真”，从而达到证明的目的，所以说数学归纳法是“化归方法”的一种，它把“无限”的东西转化到“有限”上来.二、数学归纳法的应用数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种非常有效的方法，它在证明中的应用是十分广泛的，应用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式、不等式、证明整除问题、证明几何问题有关的问题等.用数学归纳法证明恒等式应用数学归纳法证明恒等式，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可.例1证明：分析：这是一道关于正整数的等式，只要证左边=右边即可，故用数学归纳法.证明：（1）当时，左边=右边=，左边=右边，所以等式成立.（2）假设时，等式成立.即有则当时，即当时，等式也成立.由（1）(2)可知，对于一切等式成立.点评：用数学归纳法能有效简单完成这种证明题.例2证明：已知，求证:，且.分析：本题要求证的等式是与自然数有关的命题，直接求证该等式有点难，需要用数学归纳法来证明.证明：（1）时，左边=，右边.左边=右边，所以当时，等式成立.（2）假设当时，等式成立，即有成立.则当时，整理得：因此时等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于等于2的正整数，等式都成立.点评：因为要证明的等式中含有，所以先要找到等式的首项，然后在第（2）步的证明中把用代换.例3用数学归纳法证明：分析：三角函数一般都要借助三角公式来化简所证的命题.证明：（1）当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立.（2）假设时，成立.则当时,有即当时，等式成立.由（1）（2）可知，对于任意命题都成立.点评：对于这种三角证明题应用数学归纳法来解答会更加容易.用数学归纳法解决不等式应用数学归纳法证明不等式，分为严格不等式和非严格不等式两种，严格不等式的证明，只要保证原不等式中或成立即可；对于非严格不等式而言，情况略显复杂.例4若为大于1的自然数，求证：.分析：这种不等式在运用归纳假设后，再把式子适当变形，凑成目标的形式.本题要证明的不等式左边是和的形式，可考虑加上归纳假设中需要的，再减去.证明：（1）当时，.（2）假设当时命题成立，即.则当时，.即当时，命题也成立.由（1）（2）可知，当为大于1的自然数时，不等式恒成立.点评：对于这种不等式用数学归纳法更容易解答.例5求证：且.分析：若设时不等式成立，即，即有，无法推出时命题成立，由此，联想到证明一个更加一般的假命题，若，则.证明：（1）当时，，结论成立.（2）假设当时结论成立，即有成立.当时，由（1）（2）可知，对于一切，不等式成立,又当时，原不等式显然成立.从而且得证.点评：比一般的命题提供了更强的归纳假设，因而用数学归纳法证明会更加简单明了.例6证明：.分析：对于这种三角函数不等式需要借助三角公式来解答.证明：(1)当时，上式左边==右边，不等式成立.（2）假设当时，命题成立，即有.当时，有即当时，不等式成立.由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立.点评：对于这种三角函数用数学归纳法更简便.用数学归纳法解决整除问题用数学归纳法证明整除性问题，如：求证能被整除，设是随自然数变化的已知整式（或整数），是给定的整式或整数.由假设时命题成立，来推证时命题也成立，是关键的一步，也是最难证明的一步.例7用数学归纳法证明：能被13整除..分析：为了充分利用归纳假设在第（2）步要提公因子再凑假设.证明：(1)当时，能被13整除；(2)假设当时，能被13整除；则当时，所以与都能被13整除.即能被13整除.由（1）（2）可知，命题成立.点评：本题应用数学归纳法能更便捷地解决问题.例8求证：能被整除，.分析：解这一道题关键在第（2）步，在第（2）步时化一个数的分式，通过增项或者减项等方法化为的倍数就容易解答了.证明：(1)当时，，命题成立.(2)假设时，能被，命题成立.则当时，由归纳假设，上式的两项都能被整除，故时命题成立.点评：数学归纳法证明有关数或式整除的问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）都能被一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除.例9求证：对于整数，能被133整除.证明：(1)当时，能被133整除.(2)假设时，，命题成立.则时，.所以因为，且.所以，即能被133整除，又由数学归纳假设可知能被133整除，再根据整除性质可知也能被133整除.由（1）（2）可知，命题对任意的整数都成立.用数学归纳法解决几何问题例10平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这条直线把平面分割成个区域.分析：这是一道关于几何上证明区域的问题，时是否成立，假设时，推出时的情况，由小到大用数学归纳法证明即可.证明：(1)当时，，即一条直线把平面分成两个区域，命题成立.(2)假设时，命题成立，即条满足题意的直线把平面分割成了个区域.则当时，条直线中的条直线把平面分成了个区域，第条直线被条直线分成段，每段把它们所在区域分成了两块，因此增加了个区域，所以条直线把平面分成了个区域.这说明时命题也成立.由（1）（2）可知，对于一切,命题成立.点评：这些存在正整数的题目，往往可以用数学归纳法证明.利用数学归纳法的注意事项利用数学归纳法证明命题注意事项：数学归纳法只能解决与自然数有关的命题；数学归纳法证题的基本结构是两个步骤，一个结论.数学归纳法证题的两个步骤是缺一不可的，因为只有第一步没有第二步，我们就无法递推下去，所以对于取以后的值我们就无法判断命题是否正确；同样的只有第二步而没有第一步，就是缺少了递推依据，那么第二步就没有意义了.四、总结通过上述论证可以看出，数学归纳法是十分有效和广泛的方法，也是一种认识可数无限集合性质的重要方法.使用数学归纳法进行论证，将会更加深刻的理解所要论证的命题，实现有限到无限的飞跃.当然，并非一切与自然数有关的命题的证明都一定要采用数学归纳法，有些命题虽与自然数有关，但不用数学归纳法也可证明.另外，对于有些问题运用数学归纳法比较简单，而另一些则以不用数学归纳法较为方便，因此在具体问题中，何时运用数学归纳法比较捷，必须根据具体情况来定，而题设命题的可数性则是用数学归纳法的必要条件.总之，尽管数学归纳法是一种证明方法，但实质是递推思想，只要把握住“递推”，巧妙地进行转化，以递推分析为主，这样就可以理解其实质