二重积分论文(年度)

浅谈二重积分的计算方法刘晓蕾（数学学院09级汉本二班09041100316）摘要：解决许多几何、物理以及其他实际问题，不仅需要一元函数的积分，而且还需要各种不同的多元实值函数的积分。二重积分是数学分析中的重点和难点，而学习好二重积分的计算是关键，本文主要介绍了几种二重积分的计算方法以及如何将积分区域用不等式组表示出来。关键词：二重积分积分区域积分次序积分限二重积分的概念设二元函数f(x,y)在有界闭区域R有定义。用任意分法T将R分成n个小区域:，设它们的面积分别是。在小区域上任取一点（k=1,2,…..,n），作和，称为二元函数f(x,y)在区域R的积分和。令=max定义设二元函数f(x,y)在有界闭区域R有定义。若当0时，二元函数f(x,y)在区域R的积分和存在极限I（数I与分法T无关，也与点的取法无关），记为即，有则称函数f(x,y)在R可积，I是二元函数f(x,y)在R的二重积分，记为或例题按照二重积分的定义，求二重积分，其中。解：二元函数f(x,y)=xy是初等函数，则在上连续，所以f(x,y)=xy在上是可积的。有重积分的定义可知，对于某区域上的可积函数，其积分值不依赖于对区域具体的划分及取值。下面采用特熟分法及取值。用两族平行等距直线（i,k=0,1,2,….n-1）,将R划分为个边长等于的正方形区域，则的面积为。在每个区域上取点（i,k=0,1,2,…,n-1）.作积分和为=当时，对任意i,k=0,1,2,….n-1,有。所以得二重积分的性质定理1函数f(x,y)在有界闭区域R可积定理2若函数f(x,y)在有界闭区域R连续，则函数f(x,y)在R可积定理3若函数f(x,y)在有界闭区域R有界，间断点只分布在有限条光滑曲线上，则函数f(x,y)在R可积。定理4若f(x,y)=1，则,其中表示R的面积。定理5若函数f在R可积，k是常数，则函数kf在R也可积，且定理6若函数与在R都可积，则函数在R也可积，且定理7若函数f在与都可积，则f在也可积，当与没有公共内点时，有定理8若函数与在R都可积，且，有，则定理9若函数f在有界闭区域R连续，则至少存在一点，使其中表示R的面积。定理10若函数f(x,y)在闭矩形域R可积，且，定积分存在，则累次积分也存在，且定理11设有界闭区域R是x型区域，若函数f(x,y)在R可积，且，定积分存在，则累次积分也存在，且例题1证明：若函数f(x,y)在有界闭区域R连续，且f(x,y)>0,则证明：由题设函数在有界闭区域R上连续，有闭区域上连续函数的性质，函数在R上取到最小值，记为，即对任意(x,y)R，有f(x,y)>0，所以。再根据上述定理有，于是有例题2证明：若连续函数列在有界闭区域R上一致收敛于函数f(x,y)则证明：由题设连续函数列在有界闭区间R上一致收敛，即对任意，存在自然数，对任意自然数n>,对任意，有。则（其中表示R的面积，为正实数）。即二重积分的计算1，计算步骤二重积分的计算有一定的方法和步骤,如按照步骤进行分析和解题,就比较容易做题。在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:画出积分区域草图;确定积分区域是否为X-型区域或Y-型区域，若既不是X型也不是Y型区域，则要将区域划分成几个X型区域或Y型区域，并用不等式组表示几个X型区域或Y型区域。用公式化二重积分为二次积分。计算二次积分的值。例题1计算，其中D：。解：做出积分区域D的图1.由于D又是X型又是Y型，因此两种积分次序都可以计算二重积分。在此把它看做X型区域。。例题2计算，其中D是由围成的区域。解：由于积分区域是Y型区域，有=902.交换积分次序若给定的积分为二次积分，它不能用初等函数形式表示出来或者积分的计算量很大，可以考虑交换积分次序，其一般步骤：先根据给定的二次积分限，写出积分区域的不等式表达式，并依次做出区域图形。再根据区域图形，确定正规区域及积分限，化为另一种类型的积分。例题交换积分次序解：由所给的二次积分，可得积分区域D为，改变积分次序，即先对x积分再对y积分，此时D可以表示为，所以有，3.选择适当的坐标系计算二重积分时，选择适当的坐标系，就可以使计算过程简单，往往是可以事半功倍，如果选择坐标系不当，计算过程就有可能非常繁难，甚至于无法计算。坐标系的选择，要从被积函数和积分区域两方面考虑。一般情况下，积分区域是矩形或三角形区域，通常用直角坐标来计算；若被积函数为的形式，或者积分区域是圆域、环域、扇域及环扇域时，通常用极坐标来计算。例如求积分，其中D是由x=0,y=0以及x+y=1所围成的区域。因为积分与都不能用有限形式表示出来，所以在直角坐标系下积分无法计算，但注意到为的形式，积分在极坐标下有可能积出来。事实上，将直线x+y=1化为极坐标方程：，积分区域D：则=例题计算其中D是由和与直线y=x,y=0所围成的第一象限区域。解：在极坐标系下D可表示为：。可得：4.在极坐标下用二次积分计算二重积分的步骤（1）在一般情况下，积分区域是圆域或其一部分，或者D的边界由极坐标方程给出较为简单，或者被积函数含有等表达式时，用极坐标比较简单。（2）作变量代换，，（a,b为常数，由被积函数或区域来确定）。（3）改变面积元素例题计算以圆域R：为底，R上的曲面是的曲顶柱体的体积。解：已知曲顶柱体的体积作极坐标变换。它将圆域R：变换为矩形域，且。有=5.二重积分的一般变量替换的步骤在运用前两种方法比较困难时考虑一般变量替换。作变量替换或者改变面积元素区域D作了变量替换后变成区域，再按照前两种方法进行判断和计算。掌握了以上解二重积分的技巧后，只要给出一个二重积分题，对症下药，问题就迎刃而解了。例题计算曲线（a>0,b>0）与y=0所围成区域R的面积。解：已知区域R的面积（被积函数）设或。这个函数组将xy平面上的区域R变换为平面上的区域，是曲线所围成的区域。。有总结：通过本文的具体概括，对二重积分有了更深刻的理解，从这些例