《线性代数》 试卷及答案 共5套

年月日第页共页第一套模拟题一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计18分）1．计算3阶行列式.2．设为三阶方阵,且，则.3.设阶方阵满足关系式,则=.4．直线与平面的交点为.5.已知4阶方阵，且，若，，，则非齐次线性方程组的通解为.6.设三阶方阵满足=0,则的特征值为.二、单项选择题（将正确的选项填在括号内）（每小题3分，总计18分）1．下列命题中，正确的是（）.（A）如果矩阵，那么可逆，且；（B）如果阶方阵，均可逆，那么必可逆；（C）如果阶方阵，均不可逆，那么必不可逆；（D）如果阶方阵，均不可逆，那么必不可逆.2．已知三阶方阵，，，，则必有（）.（A）；（B）；（C）；（D）.3．设向量组线性无关，向量组线性相关，则（）.（A）必可由线性表示；（B）必不可由线性表示；（C）必可由线性表示；（D）必不可由线性表示.4．设有向量组，，，，,则该向量组极大无关组是（）.（A）；（B）；（C）；（D）.5．设是矩阵，是矩阵,则线性方程组（）.（A）当时,仅有零解；（B）当时,必有非零解；（C）当时,仅有零解；（D）当时,必有非零解.6．设为阶可逆矩阵，是的一个特征值,则的伴随矩阵的特征值之一是（）.（A）；（B）；（C）；（D）.三、解答下列各题（每小题10分，总计50分）1．计算4阶行列式：.2．已知矩阵，矩阵，其中为三阶可逆矩阵，求.3．设的两个子空间为求与的基与维数.4．设3阶方阵()的每一个列向量均是方程组的解，(1)求;(2)设为此线性方程组的系数矩阵，求.5．若三阶方阵，求一个正交阵,使为对角阵.四、证明题（每小题7分，总计14分）１．已知是矩阵，是矩阵，如果，且，证明矩阵.２．若向量可由线性表示,且表法唯一,证明线性无关．第一套模拟题答案一、1．2000；2．108；3．；4．；5.;6..二、1．D；2．C；3．C；4．B；5．D；6.B.三、1．解：D==……………10分2．解：因为，……………10分3．解：可取作为子空间的一组基，则，故它的一组基为；，，它的基为.……10分4．解：（1）由于3阶方阵(至少有两列不相同)的每一个列向量都是方程组的解，即方程组的解不唯一，则，解得.(2)记则.则…………………10分5．解：因为的特征多项式为,于是的特征值为，对于，解方程组得基础解系为，对于，解方程组得基础解系为，利用施密特正交化方法对正交化.令，，再对单位化，得，，，记,则为正交阵且满足……………10分四、证明：1.因为，所以，又，所以，即………………7分2．向量可由线性表示，且表示方法唯一，所以有解且解唯一.则，那么线性无关……………7分第二套模拟题一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题4分，总计32分）1．设是的伴随矩阵，则.2．过点且垂直于直线的平面为.3.设维向量为阶单位矩阵，矩阵其中的逆矩阵为则.4.设阶矩阵三维列向量已知与线性相关，则.5.设向量则向量与的夹角为.6.设是齐次线性方程组的基础解系，则也是的基础解系的充要条件是.7.设矩阵则.8.设矩阵则的伴随矩阵..其中为元素的代数余子式.二、计算题（每小题8分，总计40分）1.求某多项式空间中基到基的过渡矩阵；并求元素在这两组基下的坐标。2.已知4阶方阵且若求线性方程组的通解.已知三阶方阵的特征值为求.4．化二次型为标准形.5.判断二次型是否正定.三、解答下列各题（每小题11分，总计22分）1.设矩阵与相似，且（1）求的值.（2）求可逆矩阵使.2．设（1）计算行列式（2）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.四、证明题（每小题6分，总计6分）设为阶正交矩阵,证明矩阵的伴随矩阵为正交矩阵.第二套模拟题答案一、填空题（每小题4分，总计32分）1．2．；3．-1；4．；5.；6.7.8.0.二、计算题（每小题8分，总计40分）1．解：所以过度矩阵为在基下坐标为在基下坐标为……………………8分2．解：因为所以是的解，又所以是的解，由所以是的解，所以是的解，且线性无关，而的解空间是2维的，所以是的解.…………8分3.解：因为的特征值为1,，-4，所以故可逆，所以进而的特征值为，所以………………8分4．解：令，所以………………8分5．解：二次型的系数矩阵为的各阶顺序主子式于是二次型不是正定的.………………8分三、解答题（每小题11分，总计22分）1.解：（1）因为矩阵与相似，所以且得……5分(2)因为的特征值为解线性方程组得基础解系解线性方程组得基础解系取则……………………11分2.解：(1)………………5分(2)对增广矩阵作初等行变换得当实数且时，即时，方程组有无穷多解.此时，所以的通解为其中为任意常数.…………………11分四、证明题（每小题6分，总计6分）证明：因为为正交矩阵，所以且可逆，所以进而所以是正交矩阵.…………6分第三套模拟题一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计15分）1．点到平面的距离为.2．设,是的伴随矩阵,则=.3.设是4阶方阵,且,,则=.4．已知4阶方阵=,其中线性无关,.如果,则线性方程组的通解是.5.设为阶方阵且有非零解,则必有一个特征值为.二、单项选择题（将正确的选项填在括号内）（每小题3分，总计15分）1．设均为阶方阵,为阶单位矩阵,若，,则为（）.（A）；（B）；（C）；（D）.2．设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是（）.（A）若线性相关,则线性相关；（B）若线性相关,则线性无关；（C）若线性无关,则线性相关；（D）若线性无关,则线性无关.3．设为阶方阵,若,则的基础解系所含向量的个数是（）.（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）个.4．设是非奇异矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值（）.（A）；（B）；（C）；（D）.5．设矩阵，,则与（）.（A）合同且相似；（B）合同,但不相似；（C）不合同,但相似；（D）既不合同,也不相似.三、解答下列各题（每小题10分，总计60分）1．计算4阶行列式：.2．已知矩阵，矩阵满足,其中是的伴随矩阵,求.3．设四个函数，，，的所有实系数线性组合构成实数域上一个4维线性空间，求微分变换在基下的矩阵.4．确定常数,使向量组,,可由向量组,,线性表示,但向量组不能由向量组线性表示.5．若三阶方阵与相似,矩阵的特征值为,求.6．用正交变换化二次型为标准形,并求出所用的正交变换．四、证明题（每小题5分，总计10分）１．若，且．证明是不可逆矩阵.２．设为实矩阵，且，证明为正定的充要条件是．第三套模拟题答案一、1．；2．=；3．3；4．其中为任意常数；5.0.二、1．A；2．A；3．C；4．B；5．B.三、1．解：原式=…=……………………10分2．解：由,用矩阵左乘方程的两端,有得.由于,故……10分3．解：所以基下矩阵为……10分4．解：由题意,向量组:可由向量组:线性表示,则有;由向量组不能由向量组线性表示,必有,即.于是.解得或.另一方面当时,,.即线性无关,显然向量组可由线性表示,而向量组不能由线性表示,即是符合题意要求的.当时,,.不满足,所以不符合题意,应舍去.综上所述.……………………10分5．解：因为与相似,所以存在可逆矩阵使.易知,又存在可逆矩阵,使,故,所以……………10分6．解：二次型的矩阵，的特征值为5，（二重），对应5的一个基础解系为，对应的一个基础解系为，，现将正交化，.将单位化后，可得的一组标准正交基，，.故所求正交阵为且正交变换化二次型为标准形.………………10分四、证明：1.因(1)(2)由(1),(2)可知,得即(3)又因得(4)将(4)代入(3)可知,因,所以可逆,即,代入上式可知,故不是可逆阵.………5分2．()若正定,则对均有即，即只有零解,故()若,则齐次方程组只有零解.于是对于,均有,故,即正定.……………5分第四套模拟题一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计15分）1．设为3阶方阵,是的伴随矩阵,,则.2．设阶矩阵满足,则=.3.设向量组,,线性无关,则必满足关系式.4．平面内曲线绕轴旋转的旋转面方程.5.设3阶方阵满足,则的特征值为.二、单项选择题（将正确的选项填在括号内）（每小题3分，总计15分）1．设为3阶方阵,表示中的三个列向量,则（）.（A）；（B）；（C）（D）.2．设是阶方阵,且,则（）.（A）；（B）；（C）；（D）.3．设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是（）.（A）；（B）；（C）；（D）.4．齐次线性方程组的系数矩阵记为,若存在3阶矩阵,使得,则（）.（A）且；（B）且；（C）且；（D）且.5．设3阶矩阵,已知矩阵相似于矩阵,则（）.（A）2；（B）3；（C）4；（D）5.三、解答下列各题（每小题9分，总计63分）1．计算行列式：.2．设3阶方阵满足关系式,且，求.3．考虑向量组,,，,,求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.4．求齐次线性方程组的一个基础解系和通解.5．设矩阵,问是否与对角阵相似?若相似,求对角阵及可逆矩阵,使得.6．利用配方法将二次型化为标准形,并求出所用的非退化线性替换及替换矩阵．7.设线性变换在的一个基下的矩阵为,求的特征值和对应的线性无关的特征向量.四、证明题（共7分）设为阶方阵，满足,且．证明是不可逆矩阵.第四套模拟题答案一、1．64；2．；3．；4．；5..二、1．D；2．B；3．A；4．C；5．C.三、1．解：…………………9分2．解：由已知推出,所以………9分3．解：=，可见为一个极大无关组,且,……………9分4．解：由题对方程组的系数矩阵作变换得,得基础解系,,,则通解为其中是任意常数.…………………9分5．解：因为,所以与对角阵相似.因,所以的特征值为.当时,的基础解系为:,,当时,的基础解系为:.取,故.…………9分6．解：,于是可得标准形为,可得,即,令,则为所求.………………………9分7.解：故的特征值为当时，的基础解系为所以的属于特征值的特征向量为当时，的基础解系为所以的属于特征值的特征向量为………………………9分四、证明：因,移项整理得,即,故.…7分第五套模拟题一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题4分，总计20分）1．设4阶方阵,则.2．已知,则=.3.已知，，且，则.4．已知向量组,,,,则该向量组的秩是.5.设方程组有无穷多解,则.二、单项选择题（将正确的选项填在括号内）（每小题4分，总计20分）1．设均为阶方阵,则必有（）.（A）;（B）；（C）;（D）.2．设是矩阵,是阶可逆矩阵,矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（）.（A）；（B）；（C）；（D）与的关系依而定.3．设均为阶矩阵,为阶单位阵，若，，则为（）.（A）；（B）；（C）；（D）.4．对任意实数线性无关的向量组是（）.（A）,,；（B）,,；（C）,,；（D）,,.5．已知矩阵与相似,则与之和等于（）.（A）2；（B）3；（C）4；（D）5.三、解答下列各题（每小题10分，总计50分）1．已知多项式空间的子空间求与的基与维数.2．设,判断是否可逆，若可逆，求.3．对于线性方程组，讨论取何值时方程组无解、有唯一解和无穷多解，在方程组有无穷多解时，求出其一般解.4．设向量组A:,；向量组B:,,讨论向量组A和B是否等价.5．设矩阵,问是否与对角阵相似?若相似,求对角阵及可逆矩阵,使得.四、证明题（每小题