13、第十二章-动量矩定理1

第十二章动量矩定理第十二章动量矩定理§12-1.质点的动量矩定理mF

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动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系，它是描述质点系随同质心的运动情况，而不能描述质点系相对于质心的运动情况。一、质点的动量矩二、质点的动量矩定理mF

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将质点的动量矩对时间取一次导数有：投影式为:例：质量为m的质点在平面oxy内运动，其运动方程为：，其中a,b,p皆为常量，求：该质点对坐标原点o的动量矩。解：因质点在oxy平面内运动，故该质点对坐标原点的动量矩就等于对oz轴的动量矩。如果作用于质点上的力对于某定点o的矩恒等于零，那么质点对该点的动量矩保持不变，即：§11-2.质点的动量矩守恒定律如果作用于质点上的力对于某定轴的矩恒等于零，那么质点对该轴的动量矩保持不变，即：§11-3.质点系的动量矩定理1、质点系的动量矩质点系对某点o的动量矩等于各质点对同一点o的动量矩的矢量和，即：质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一z轴的动量矩的代数和，即：2、绕定轴转动刚体对转轴z的动量矩rimimivizω质点mi对z轴的动量矩为:整个刚体对z轴的动量矩为:即，转动刚体对转轴的动量矩为:其中，为刚体对转轴的转动惯量，为一常数.yoxz3、质点系的动量矩定理········mimivi

对于第i个质点应用质点的动量矩定理，有:0即为质点系的动量矩定理ri假设在运动过程中，作用在质点系上的合力对某固定轴的矩恒为0，那么该质点系对该轴的动量矩守恒。质点系动量矩定理的投影式为：m1m2OR解：研究系统，分析受力：m1gm2gYOXOv1v2分析运动：例1：半径为R的滑轮上绕一不可伸长的绳子，绳子两端分别挂有质量为m1和m2的两重物，设m1＞m2，求m1运动的加速度。滑轮及绳子的质量不计。例2：由动量矩定理可知：1、质点系的内力不能改变质点系的动量矩，只有作用于质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化。2、当外力对于某定点或定轴的主矩〔或力矩的代数和〕等于零时，质点系对于该点〔或该轴〕的动量矩保持不变，称动量矩守恒。1.转动惯量

定义:将刚体体内各个质点的质量与该质点到某一确定轴的距离平方的乘积之和定义为刚体对该轴的转动惯量.用J表示,即式中分别为第个质点的质量和到该轴的距离J=§11-4.转动惯量、平移轴定理说明假设刚体的质量是连续分布的,就可以引入积分形式表示:

式中为质量为的微元到该轴的距离M表示积分范围普及刚体全部质量.

刚体的转动惯量是一个与其运动状态无关的而仅与其质量分布有关的特征量

M:刚体的总质量:刚体对z轴的回转半径或惯量半径如刚体对z轴的转动惯量表示为

它可视为将刚体的全部质量都集中于距z轴距离为的某一点对z轴的转动惯量.例：

一直均质的细长杆的质量为M，长为L，求杆对通过其质心，且垂直与杆的z轴的转动惯量和回转半径。xyCx(1)建立坐标系，如下图，沿杆向取微段，其坐标为〔x,0,0〕，其质量为解：=(2)上述质量微元离z轴的距离为，杆对z轴转动惯量为：(3)杆对z轴的回转半径为例：厚度相等的均质薄圆盘的半径为R，质量为M，求圆盘对过其中心，且垂直于圆盘平面的z轴的转动惯量和回转半径x

yCr解：1．取半径为r,宽度为的圆环，其质量是:3．圆盘对z轴的回转半径为2．上述圆环的各质点到z轴的距离都为r,于是圆盘对z轴的转动惯量为:说明由转动惯量的平行轴定理和转动惯量叠加定理，可以快捷的的求出由几个简单图形组合而成的刚体对任意轴的转动惯量。有空心刚体=无空心整体-空心局部(转动惯量〕刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方的乘积记为2.转动惯量的平行轴定理

刚体对任意轴的转动惯量JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动惯量JC加上刚体的总质量与两轴间距离d的平方的乘积。可见，刚体对质心轴的转动惯量最小。例：均质圆轮质量为m，半径为R，求对质心轴C的转动惯量。CRdθrdr解：取单位厚度的圆轮研究，取一面积微元dm∵∴对轮缘上任一点，有：解：取一微元dx∵∴对杆端，有：例：均质杆质量为m，长为l，求对质心轴C的转动惯量。CdxxOxz§11-5.刚体定轴转动的微分方程将质点系的动量矩定理应用于刚体定轴转动的情形，有：及定轴转动的动量矩即为刚体定轴转动的微分方程。刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴的矩的代数和。由上可知：1、如果作用于刚体上的主动力对转轴的力矩的代数和不等于零，那么刚体的转动状态一定发生改变；2、如果作用于刚体上的主动力对转轴的矩的代数和等于零，那么刚体作匀速转动，如果主动力对转轴的矩的代数和为恒量，那么刚体作匀速转动。3、在一定的时间间隔内，当主动力对转轴的矩一定时，刚体的转动惯量越大，转动状态变化越小，转动惯量越小，转动状态变化大。刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态的难易程度，因此说，转动惯量是刚体转动时惯性的度量。刚体转动微分方程可以解决两类问题：1、刚体的转动规律，求作用于刚体上的主动力；2、作用于刚体上的主动力，求刚体的转动规律。例：半径为R、质量为m的均质圆轮绕质心轴z以匀角速ω0转动。今欲制动，闸瓦压力Q、摩擦系数f，求制动所需时间。Qω0O解：研究轮子，分析受力：FmgYOXO列出动力学方程：问：制动过程中，轮子转过了多少圈？§11-6.质点系相对于质心的动量矩定理上式即为质点系相对于质心C的动量矩定理，其形式与对固定点的动量矩定理完全相同。〔证明从略〕质点系对任一点O的动量矩等于集中于系统质心的动量对于点O的动量矩再加上此系统对于质心C的动量矩Lc(为矢量和）§11-7.刚体平面运动的微分方程刚体的平面运动可以分解为随任选基点的平动和绕该基点的转动。假设以质点系的质心C为基点，那么随质心C的平动用质心运动定理、绕质心C的转动用相对于质心的动量矩定理，即得刚体平面运动的微分方程：其投影式为：或：

实际上，动量矩定理除了对固定点O、固定轴z、质心C可以取矩外，还可以对瞬心P取矩，但是要求瞬心P到质心C的距离保持为常量，其公式的形式不变。O：固定点z：固定轴C：质心P：瞬心，要求PC=常量在圆轮作纯滚动及椭圆规机构中，此式显得特别方便。例：如下图，两均质圆轮半径分别为rA和rB，重为PA和PB，鼓轮B上作用主动力偶矩M，A轮与斜面间无相对滑动，求B轮从静止开始转过φ角时的角速度ωB及支座B处的反力。αBAMPAPB解：先研究B，作受力图：

YBXBT〔1〕εB再研究ANTFεA〔2〕〔3〕xy再列补充方程——一般为运动学关系：〔4〕〔5〕以上5个未知量均可求解。从中解出εB为常量，那么有：欲求支座反力，那么需对轮B列质心运动定理：〔6〕〔7〕BMPBYBXBTxy概念题.圆轮重Q，受外力作用，问地面光滑和有摩擦时，圆轮质心如何运动?FFF••1).地面光滑时:左图质心保持不动，因为水平方向的和外力为零;右图质心将沿力F方向运动.2).地面有摩擦时:左图质心将向右运动，右图中:a.假设主动力F≤Nf，那么质心不动;b.假设主动力F＞Nf，那么质心向右运动.概念题.1、两相同的均质圆轮绕质心轴转动，角速度分别为ω1和ω2，且ω1>ω2，问：1〕哪个动量大?分别为多少?2〕哪个动量矩大?分别为多少?答：1〕一样大，均为02〕Jω1>Jω22、汽车为何不能在光滑的水平路面上行使？答：系统在水平方向无外力，质心在水平面运动守恒。概念题.1、均质圆轮半径均为r，求在以下不同形式下的动量、对O点的动量矩。ωωω只滚不滑CCOOO答：1〕动量：0、mrω、mrω2〕动量矩：Joω、Joω、Joω2、三个质点的质量同为m，同时自点A以相同的速度v0沿不同的方向抛出，问该三点落到水平面时的速度的大小和方向是否相同？答：JZε=Pr，两系统的转动惯量不同，所以角加速度不同。概念题.1、两质量同为m的均质轮，一作用一力P，一挂一重物重P，问两轮的角加速度是否相同？是多少？PPPOO答：vx=v0cosα，vy=v0sinα-gt，由于v0方向不同，所以速度不同。概念题.1、怎样用旋转的方法区别生蛋和煮熟的鸡蛋，为什么？答：旋转时间较长的是熟蛋，时间短的是生蛋。因为，熟蛋的壳、青、黄为一整体，而生蛋的那么相对别离，开始时由于惯性，壳转，青、黄不转，内阻力使其早早停止转动。2、大队人马过桥时，为什么不能步调一致？答：共振3、芭蕾舞演员伸臂抬腿旋转，收回臂、腿时将会出现什么现象？为什么？答：旋转速度更快，因为对z轴动量矩守恒。4、开山定向爆破时，根据什么原理确定飞出的石块的落地位置？质心运动定理。5、夯实地基的电夯是根据什么原理制成的？质心运动定理。概念题.1、水在直管中流动时对管壁有无动压力？无。2、人坐在转椅上，双脚离地，能否用双手将转椅转动？为什么？不能，因为对z轴动量矩守恒3、骑自行车转弯时，车身要向里倾，而船只转弯时，船身却要向外倾，为什么？练习题4：均质圆柱体半径为r，重为Q，放在粗糙的水平面上，设质心速度v0，具有初角速度ω0，且rω0<v0，圆柱与地面间的摩擦系数为fk，问〔1〕经过多少时间，圆柱体才能只滚不滑地向前运动？并求该瞬时圆柱体中心的速度，〔2〕到达只滚不滑状态时圆柱体中心移动了多少距离？v0ω0C解:受力如图:QNF用平面运动微分方程:只滚不滑时，代入后积分上式有:只滚不滑前，xyS=?同学们自己做.练习题:均质圆柱体重P，半径为r，放在倾角为600的斜面上，一细绳缠绕其上，圆柱体与斜面间的摩擦系数为f=1/3。求圆柱体沿斜面下落的加速度。600ACP2rB解：研究圆柱体，分析受力：TFN由刚体平面运动的微分方程有：xyD此处，D为瞬心ac补充：ε高炉运送矿石用的卷扬机如下图。鼓轮的半径为R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动贯量为J，轨道的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。θOMωW1vW2FN

取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。以顺时针为正，此质点系对O轴的动量矩为作用于质点系的外力除力偶M，重力W1和W2外，尚有轴承O的反力FOx和FOy，轨道对小车的约束力FN。θOMωW1FOxFOyvW2W2NW2tFN解：而W2t=P2sinθ=m2gsinθ，那么系统外力对O轴的矩为其中W1，FOx，FOy对O轴力矩为零。将W2沿轨道及其垂直方向分解为W2t和W2N，W2N与FN相抵消。由质点系对O轴的动量矩定理，有

因，，于是解得

假设，那么,小车的加速度沿斜坡向上。θOMωW1FOxFOyvW2W2NW2tFN匀质圆柱的质量是