楚雄州姚安一中高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年云南省楚雄州姚安一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x|x＞0｝,B=｛x｜x2﹣x﹣2＜0｝，则A∩（∁UB)=（）A．（0，2］ B．（﹣1,2] C．[﹣1,2] D．[2,+∞）2．复数(1﹣i）•i的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．已知｜｜=1,||=2，向量与的夹角为60°，则｜+|=（)A． B． C．1 D．24．等差数列｛an｝中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（)A．66 B．99 C．144 D．2975．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60° B．45° C．120° D．150°6．在复平面内，复数z=对应的点位于(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知抛物线x2=2y的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合,则m=(）A． B． C．﹣ D．﹣8．要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位9．已知双曲线=1(a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．10．已知函数f(x）的导函数为f′（x）,且满足f(x）=2xf′(1）+lnx,则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e11．设f′（x）是函数f(x）的导函数，y=f′（x)的图象如图所示,则y=f（x）的图象最有可能的是（)A． B． C． D．12．函数y=sin(x+）+cos(﹣x）的最大值为（)A． B． C． D．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为．14．设tanα=3，则=．15．函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0，则f(2）+f'(2）=．16．已知f(x）=3x2+2x+1,若f（x）dx=2f（a），则a=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=ex(x2+x+1），求函数f（x）的单调区间及极值．18．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A,求A的值．19．在等比数列｛an}中，a1=2,a4=16（1）求数列{an｝的通项公式；（2）令，n∈N*，求数列｛bn}的前n项和Sn．20．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=AC=AA1，，点D是BC的中点．(I）求证：AD⊥平面BCC1B1；（II）求证：A1B∥平面ADC1；（III）求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若a=0时，求函数y=f（x）在点（1,f（1)）处的切线方程；(2）若函数f（x)在［1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．22．设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上,一个顶点坐标为（2，0)，离心率为．（1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积．

2016-2017学年云南省楚雄州姚安一中高二(下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A=｛x|x＞0},B={x｜x2﹣x﹣2＜0}，则A∩(∁UB）=（）A．（0，2] B．(﹣1，2] C．[﹣1，2] D．［2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合A，B，从而得到CUB，由此能求出A∩（∁UB）．【解答】解：∵全集U=R，集合A=｛x|x＞0｝，B=｛x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2｝，∴CUB={x≤﹣1或x≥2｝，A∩(∁UB）={x｜x≥2}=［2，+∞）．故选：D．2．复数(1﹣i）•i的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：由（1﹣i）•i=，则复数（1﹣i）•i的虚部是：1．故选：A．3．已知｜|=1,｜｜=2，向量与的夹角为60°,则｜+｜=（）A． B． C．1 D．2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得=1×2×cos60°=1,再根据|+｜==，计算求得结果【解答】解:∵已知||=1,｜|=2，向量与的夹角为60°，∴=1×2×cos60°=1，∴｜+｜===，故选：B．4．等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①,由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2,把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选B．5．在△ABC中，a2=b2+c2+bc,则∠A等于()A．60° B．45° C．120° D．150°【考点】HR：余弦定理．【分析】由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA与题中等式比较，可得cosA=﹣，结合A是三角形的内角，可得A的大小．【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA又a2=b2+c2+bc,∴cosA=﹣又∵A是三角形的内角，∴A=150°，故选:D．6．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内，复数z对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==,在复平面内,复数z=对应的点的坐标为：（，﹣1），位于第三象限．故选：C．7．已知抛物线x2=2y的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（）A． B． C．﹣ D．﹣【考点】KI:圆锥曲线的综合．【分析】求出抛物线的焦点坐标,椭圆的焦点坐标重合，求解m即可．【解答】解:抛物线x2=2y的焦点（0，）与椭圆+=1的一个焦点（0，)重合，可得=,解得m=．故选：A．8．要得到函数y=cos（2x+1)的图象,只要将函数y=cos2x的图象（)A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【考点】HJ:函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】化简函数y=cos（2x+1）,然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可．【解答】解：因为函数y=cos（2x+1）=cos[2（x+）],所以要得到函数y=cos（2x+1）的图象,只要将函数y=cos2x的图象向左平移个单位．故选C．9．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=±x,再由双曲线离心率为2，得到c=2a，由定义知b==a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【解答】解:∵双曲线C方程为:=1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y=±x又∵双曲线离心率为2，∴c=2a,可得b==a因此,双曲线的渐近线方程为y=±x故选:D．10．已知函数f(x）的导函数为f′(x），且满足f（x)=2xf′(1）+lnx，则f′(1）=（)A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】65：导数的乘法与除法法则；64:导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解;【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x)=2xf′（1)+lnx，(x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B;11．设f′（x）是函数f（x）的导函数,y=f′(x）的图象如图所示，则y=f(x）的图象最有可能的是（）A． B． C． D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f’(x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和(2，+∞）上单调递增;当0＜x＜2时，f’(x)＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．12．函数y=sin（x+)+cos（﹣x）的最大值为（)A． B． C． D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】将函数y解析式第一项利用诱导公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的值域,即可得出y的最大值．【解答】解:y=sin（x+）+cos（﹣x)=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx)=sin(x+θ）（其中sinθ=，cosθ=）,∵﹣1≤sin（x+θ）≤1，∴函数y的最大值为．故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为6．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=4+2=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．14．设tanα=3,则=2．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵tanα=3，则=====2,故答案为：2．15．函数f（x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0，则f（2）+f’（2)=﹣3．【考点】62：导数的几何意义．【分析】先将x=2代入切线方程可求出f（2），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（2)的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上,所以f（2）=﹣1，切点处的导数为切线斜率，所以f’(2）=﹣2,所以f（2)+f′(2）=﹣3．故答案为:﹣3．16．已知f（x）=3x2+2x+1，若f(x）dx=2f（a），则a=﹣1或．【考点】67:定积分．【分析】先求出f(x）在［﹣1，1]上的定积分,再建立等量关系，求出参数a即可．【解答】解：∫﹣11f（x)dx=∫﹣11(3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x）｜﹣11=4=2f（a),f（a)=3a2+2a+1=2，解得a=﹣1或．故答案为﹣1或三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=ex（x2+x+1），求函数f（x）的单调区间及极值．【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的定义域以及函数的导数，求出极值点，通过列表判断函数的导数的符号，推出函数的单调性求解函数的极值即可．【解答】解：函数f（x）的定义域为R．当a=1时，f'(x）=ex（x+2）(x+1）…当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：x(﹣∞,﹣2)﹣2（﹣2,﹣1）﹣1（﹣1，+∞）f'(x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗函数f（x)的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（﹣1，+∞），函数f(x）的单调递减区间为（﹣2，﹣1）．函数的极大值为：f（﹣2）=．极小值为：f（﹣1)=．18．已知a，b,c分别是△ABC的角A,B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A,求A的值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）c=2,C=,由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab,利用三角形面积计算公式=，即ab=4．联立解出即可．（2）由sinC=sin（B+A）,sinC+sin(B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA,由正弦定理可得:b=2a，联立解得即可．【解答】解:(1)∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣ab，∵=,化为ab=4．联立，解得a=2,b=2．（2）∵sinC=sin（B+A)，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A,∴sin（A+B）+sin(B﹣A）=2sin2A,2sinBcosA=4sinAcosA，当cosA=0时，解得A=;当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立，解得，b=，∴b2=a2+c2,∴，又，∴．综上可得：A=或．19．在等比数列{an｝中，a1=2，a4=16(1）求数列｛an｝的通项公式；（2）令，n∈N＊,求数列｛bn｝的前n项和Sn．【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）由“a1=2,a4=16”求得公比q再用通项公式求得通项．（2）先将==﹣转化，再用裂项相消法求其前n项和Tn【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q依题意a1=2，a4=16，得∴q3=8，q=2,∴an=2n（2）由（1)得log2an=n，log2an+1=n+1，bn==﹣∴Sn=b1+b2+…+bn=(1﹣）+（+）+…+（﹣）=1﹣=．20．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB=AC=AA1，，点D是BC的中点．（I）求证:AD⊥平面BCC1B1；（II）求证:A1B∥平面ADC1;（III）求二面角A﹣A1B﹣D的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS:直线与平面平行的判定;LW：直线与平面垂直的判定；M1：空间向量的概念．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理进行证明即可，(Ⅱ)根据线面平行的判定定理进行证明即可．(III）根据二面角的定义或者建立空间坐标系，求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可．【解答】解：（I）因AB=AC，D为BC中点，故AD⊥BC．又因在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,CC1⊥平面ABC，故AD⊥CC1．又BC∩CC1=C，故AD⊥平面BCC1B1．用向量方法证明本题请对应给分．本题可分别以AB，AC,AA1为x,y，z轴建立空间直角坐标系,也可分别以DC,DA，AD1(D1为棱B1C1中点）为x，y,z轴建立空间直角坐标系．（II）如图,连接A1C∩AC1=E,连接DE．因D、E分别是BC、A1C的中点，故DE是△A1BC的中位线，故A1B∥DE．因A1B⊄平面ADC1,故A1B∥平面ADC1．用向量方法证明本题请如下给分:求出平面ADC1的法向量，因A1B⊄平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．（III）解法一：连接B1A∩BA1=O,分别取OB、AB中点H、O1，连接DH、DO1．因为四边形ABB1A1是正方形且O1,H分别是BA，BO中点，故HO1⊥AB．又因O1，H分别是BA，BC中点且AB⊥AC，故O1D⊥AB，故∠O1HD就是二面角A﹣A1B﹣D的平面角．设AB=2，则在Rt△HO1D中，∠HO1D=90°且，故,故．解法二：设AB=AC=2，则，故AB2+AC2=BC2,故AB⊥AC,又因三棱柱A1B1C1﹣ABC为直三棱柱,故AB，AC，AA1两两垂直，故可建系如图．则平面AA1B的法向量为．又，设平面A1BD的法向量，则．令z=1可得．设所求二面角为θ,由图可知θ为锐角，故．21．已知函数f(x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．(1）若a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1