2017届高考数学理二轮复习提优导学案江苏专用第一部分课时专题六数列与归纳法3讲版含答案

第3讲第3讲(本讲对应学生用书第62~64页1.(选修2-2P88练习2改编)用数学归纳法证明在验证n=1时，左边计算所得的式子 【答案】

【解析】n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，所以左边是的值，可以猜想f(n)能被数 【答案】想f(n)能被8整除 -a 1通过求a1，a2，a3的值猜想出

n 6n-2n- 6n-【解析】由a1=1，a23，a3=5，a4=7进行猜想，可得an=2n-14.(选修2-2P98复习题7改编)从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般 1，1，1，5.(选修2-2P10313改编)

13355779，…1 n2n 【解析】S1=3=211，S2=5=221，S3=7=231，推测Sn=2n1例1 已知

(n∈N*).求证：1)=n[f(n)-值【解答】当n=2时，左边1

左边=右边，等式成立=(k+1)f(k)-f(k1)-1=(k+1) 所以当n=k+1时结论仍然成立变 1-2+3-4+…+2n-1-2n=n1+n2+n3+…+2n-1+2n 【解答】①当n=1时，左边=1-2=2，右边11=2，左边=右边.n=1时，等式成立 即1234+…2k-1-2kk1k2k3+…+2k 左边=1234+…2k-1-2k2k12(k =k1+k2+k3+…+2k+2k1-2(k =k2+k3+…+2k1

k1

=(k1)1+(k1)2+…+2k+2k1+2(k所以当n=k+1时，等式也成立 由①②知1-2+3-4+…+2n-1-2n=n1+n2n3+…+2n-1+2n，1例 (2016扬州期末)已知函数f(x)=2x-3x2，设数列{an}满足a1=41n∈N*，都有0<an3 【解答】(1)①当n=1时，a14，有0<a13，1②假设当n=k(k∈N*)时，不等式成立，即0<ak3a a a a 3k k3则当n=k+1时，ak+1=f(ak)=2ak-3k=-3 =-3 +3，于 3-

2 23-ak

因为0<ak<3，所以0<3 <3，即0<3-ak+1<3，可得0<ak+1<3，1由①②可知，对任意的正整数n，都有0<an<3

由

-

-a =3 n1 3nlog3 =1+2log3

n1 1log33-an =2 1log33-an

1所以数列 是以log34为首项、2为公比的等比数列

12n--an

1

所以1+log3

=2n-1log34，化简求得3-an=3×4 ，所 n=3×42 Cn- n-1 n-1 n-1 当n=1时，2n-1所以n∈N*时，2n-1≥n，所以 =342≥34n1

1+ 2+…+ n=3(42+42+…+42)≥3(41+42+…+4n)=4n+1- 313120162611 当x42时，f(x8 设0<a1<2，an+1=f(an)，n∈N*，求证：an<n1 3x-a 【解答】(1)由题意，知f(x)=ax-2x2=-2 3+63 3又f(x)max≤6，所以f =6≤6所以11 又x42时，f(x8 a a 2 f1

28 a-3所以 8即4 所以

解得1①当n=1时，0<a1<2，结论显然成立01

，2时，0<f(x)≤6 所以0<a2=f(a1)≤6<3故n=2时，原不等式也成立1②假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，不等式0<ak<k1成立3由(1)知a=1，f(x)=x-2 因为f(x)=x-2x2的对称轴为直线x=3所以当

1 所以由0<akk1≤3，得0<f(ak)<fk1 k k

k

+k

-k2

k2

2(k1)2(k

<k2所以当n=k+1时，原不等式也成立1根据①②知对任意的n∈N*，不等式an<n1成立 1 例 2015b1b1b2

n并给出证明

a1a2a1a2a3a1a2…an【分析】利用bn=n1+

推测出a1a2…an=(n+1)n，再用数学归纳法进行证明. 11 1 【解答】1 1212b b1212

1aa a

12=12 =(2+1)=312b12

bb

1123aaa aaa 123123=123=3 =(3+1)=4a1a2…an①当n=1时，左边=右边=2，等式成立

bk aa…a aa…a

k

12 kk1=12 kk1=(k+1)(k+1)· =(k+2)，根据①②可知猜想对一切正整数n都成立变式2014a2a(1)当n=2，3nan-1an+1的值

判断

【解答】(1)由题得a2a所以n=2nan-1an+1=-a2a当n=3时，nan-1an+1=-

=-猜想：

①当n=2时，结论成立a2a即kak-1ak+1=-a2a可得k

2aa 则当n=k+1时，k1-akak+2=k1-ak(3ak+1-ak)=k1-3akak+1+ka2anan-1an+1=-500(n≥2)为定值.2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-2>2k2- 2.(2016淮阴信息卷)已知f(n)=1233343+…n3，g(n)22n2 当n=2时，f(2)8，g(2)=8，所以 当n=3时，f(3)216，g(3)216，所以 1+23+33+43+…+k3<2-2k2 那么当n=k+1时，f(k+1)=f(k)(k1)322k2(k1)3 21

13

k3 1

2(k 2k-(k1) 1) 2(k1)k因 - -2k 所以f(k+1)22(k1)23.(2016新海中学月考)S2=2+3=5，S3=4+5+6=15，…当n=3 所以当n=k+1时，等式也成立第3讲

用数学归纳法证明：对n∈N*，都有12+2334+…n(n1)=n1

11n(n 23 1n(n3.(2016f(n)=(2n+7)3n+94.(2016泰州三校联考)设f(x)=x2，x1=1，xn=f(xn- 5.(2016苏北四市期末)已知数列{an}满足an=3n-2，函数f(n)=a1+a2+…+an1求证：g(2)31求证：当n≥3时，g(n)36.(2016 7.(2016点A(0，-1)，P(xn，yn)， 8.(2016苏锡常镇二模)设实数a1a2ana1+a2+…+an=0，且an |a1|+|a2|+…+|an|≤1(n∈N*且n≥2)，令bnn(n∈N*).求证：|b1+b2+…+bn|22n第3讲 ①当n=1时，左边12=2 右边11=2，左边=右边所以n=1时，等式成立

②假设当n=k时成立，即12+23+…+k(k1)=k1， 12+23+…+k(k1)+(k2)(k =k1+(k2)(kk(k2)k22k=(k1)(k(k=(k1)(kk=(k1)1所以当n=k+1时，等式也成立 由①②知12+2334+…+n(n1)n1 <1，不等式成立1 23 1(k1(k1)(k1(k1)(k 231(k1)(k

1k1 k1 即证明(k1)(k2) (k1)(k2)2k又

2k12k(k1)=k2+3k+2- k(kk(k 于是有(k1)(k2)> 由f(n)=(2n+7)3n+9得f(1)=36，f(2)=3×36，f(3)=10×36，f(4)=34×36想f(k)=(2k+7)3k+9=t36.f(k+1)=[2(k+1)+7]3k+1+9=(2k+7)3k+1+23k+1+9=3[(2k+7)3k+9]+18(3k-=336t+182s所以当n=k+1时结论成立由①②可知，对一切正整数n，f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除，m的最大值为23 2

21 2(1)x2=f(x1)=3，x3=f(x2)= =2=4，x4=f(x3)=2根据(1)的计算结果，可以归纳猜想xn=n1

=52①当n=1时，x111=1，与已知相符，归纳出的公式成立2②假设当n=k(k≥1，k∈N*)时成立，即xk=k12x2xk则当n=k+1时，有xk+1=f(xk)=kx

k2 =k =2k4=k112由①②知，对任意n∈N*，有xn=n1(1)由题意知an=3n- g(n)=an+an1+an2+…+an2 当n=2时，g(2)a2a3a447101403(2) =7+10+13+16+19+22+

1 1 1 =7+ +

1 1 1 >8+ + =8+16+32>8+16+16>3所以当n=3时，结论成立1②假设当n=k(k≥3，k∈N*)时，结论成立，即g(k)3， g(k+1)=g(k)+ak21+ak22+…+a(k1)2- 1 a ak2

a a>3+

k 2k1 1>3+3(k1)2-2-3k-1=31

(2k1)(3k-2)-[3(k1)2-=3+[3(k1)2-2](3k-2)1由k≥3可知，3k2-7k-3>0，即g(k+1)>3所以当n=k+1时，结论也成立1综合①②可得，当n≥3时，g(n)>3(1)因为fn(x)为fn-1(x)所以f1(x)=f'0(x)=(sinx+cosx)+x(cosx-sinx)=(x+1)cosx+(x-1)(-sinx)，同理，f2(x)=-(x+2)sinx-(x-2)cosx.(2)由(1)得f3(x)=f'2(x)=-(x+3)cosx+(x-3)sinx，x x πx x 2 2 +(x- x x 2πx x 2 2 x x x x 2 2f3(x)=(x+3)sin +(x- x x nπ x x 2 2猜测 +(x- 下面用数学归纳法证明上述等式x x x x 2 2 +(x- x2 x2 x2 -sinx2 +(x+k)cos +cos +(x-k) k x2 -sinx2 x +k+1)cos xk1

=[x+(k+1)]sin +[x-xnπ xnπ 2 2 +(x- (1)因为k1=2

y0x0

x2 x0 解得x0=1，y0=1，所以点P1的坐标为x1

xn1 xn (2)因为 0 = +yn x2n

+0+0x 0 x00

1

x0

1 k

0+0=

0-

1-k2k①因为k1是偶数，所以k2=1-2也是偶数1所以2|a1|=|a1|+|a2|≤1，即|a1|2|a a1 =2