集合的基本运算

集合的基本运算一、交集1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B”2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}3、图形语言：阴影部分为A∩B4、交集常用的运算性质性质定义满足交换律空集与任何集合的交集都是空集集合与集合本身的交集仍为集合本身多个集合的交集满足结合律若，则交集关系与子集关系的转化两个集合的交集是其中任一集合的子集5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。二、并集1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3、符号语言：阴影部分为A∪B4、并集的常用运算性质性质定义满足交换律任何集合与其本身的并集等于这个集合本身任何集合与空集的并集等于这个集合本身多个集合的并集满足结合律,任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U.2、补集（1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作.（2）符号语言：（3）符号语言：（4）补集的常用运算性质性质定义任何集合与其补集的并集为全集任何集合与其补集的交集为空集任何集合补集的补集为集合本身全集的补集为空集，空集的补集为全集【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。四、德摩根律与容斥原理1、德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有（1）（2）2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：（1）（2）五、交集、并集、补集的基本运算方法1、进行集合运算时，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于且属于；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集。2、解决集合的混合运算问题时，一般先算括号内的部分；3、当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合用描述法表示时（如不等式行事表示的集合），则可运用数轴求解。六、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围：，若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则2、根据交集求参数范围：若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则七、运用补集思想解题的步骤当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其解题步骤为：第一步：否定已知条件，考虑反面问题；第二步：求解反面问题对应的参数范围；第三步：取反面问题对应的参数范围的补集。题型一交集的概念与运算【例1】（2022秋·湖北黄冈·高一校考期中）已知集合，集合，则A∩B是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为集合，集合，则A∩B.故选：B.【变式11】（2023秋·江苏南通·高一校考开学考试）已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以；由已知，所以；又，所以.故选：C.【变式12】（2023春·江西宜春·高一上高中学校考期中）若集合，或，则集合等于（）A．或B．C．D．【答案】C【解析】，或，则.故选：C.【变式13】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合则=________．【答案】【解析】由题意可得，解方程可得，故．故答案为：题型二根据交集运算求参数【例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，，．∴．故选：A.【变式21】（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）若，则实数等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，且，则，解得，此时，，合乎题意.故选：B.【变式22】（2023·全国·高一专题练习）已知m是实数，集合，，若，则m=.【答案】1【解析】因为集合，，，所以，对比即得，因此解得.故答案为：1.【变式23】（2023春·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考）已知集合，，若，则实数a取值集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，知，因为，，若，则方程无解，所以；若，，则，因为，所以，则；故实数取值集合为.故选：D.题型三并集的概念与运算【例3】（2022秋·甘肃武威·高一校考期中）若集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，故选：A【变式31】（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，因为，所以，故选：B【变式32】（2022秋·广东梅州·高一校考期中）设集合，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C【变式33】（2023秋·高一课时练习）若集合，或，则集合等于（）A．或B．C．D．【答案】A【解析】利用数轴如图所示，则或．故选：A.题型四根据并集运算求参数【例4】（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）集合，若，的值组成的集合为【答案】【解析】若，则，即，由，则有或，若，解得或，当时，与集合中元素的互异性矛盾，∴．若，解得.所以的值组成的集合为.故答案为：．【变式41】（2022秋·陕西·高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．（2022秋·陕西·高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，因为，，所以，解得，所以，实数的取值范围是，故选：D【变式42】（2023·全国·高一课堂例题）设集合，其中t为实数．令，．若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为（）A．1B．C．8D．【答案】D【解析】由条件知，1，2，4，，（允许有重复）为C的全部元素．因为（恒成立），，所以与其余几个数重复，故只可能是，且，于是（经检验符合题意），此时C的所有元素之积为．故选：D.【变式43】（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知集合，，或.（1）若，求的取值范围．（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以.当时，满足，此时解得；当时，要使，则解得.综上，的取值范围为.（2）因为，所以解得.题型五补集的概念与运算【例5】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）设全集，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，故选：C.【变式51】（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，又，∴．故选：C．【变式52】（2023秋·重庆北碚·高一统考期末）已知全集，，则（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】因为全集，，所以或.故选：B【变式53】（2023秋·福建漳州·高一统考期末）已知集合则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为,所以，故选:A.题型六根据补集的运算求参数【例6】（2023秋·江苏南通·高一校考开学考试）设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意集合，，又因为，且全集，所以，解得，但当时，集合违背了元素之间的互异性，而当时，集合，，满足题意,综上所述：.故选：A.【变式61】（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）（多选）若全集，集合满足，则的值可能为（）A．B．C．D．0【答案】AB【解析】因为，所以根据元素互异性可知，所以，显然，则或.故选：AB【变式62】（2022秋·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则实数的值为．【答案】【解析】由集合，可得，解得，又由且，可得，解得，经验证满足条件，所以实数的值为.【变式63】（2023秋·高一课时练习）设集合，，，若，则，．【答案】1【解析】因为，则，注意到，可得，解得.故答案为：1；.题型七交并补综合运算【例7】（2023春·湖南株洲·高一统考期末）已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，而，所以.故选：A【变式71】（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）若全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.故选：B.【变式72】（2023春·安徽阜阳·高一安徽省临泉第一中学校考）若全集，，，则集合等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为全集，，，因为，，，，，，则集合，故A、B、C错误，D正确.故选：D．【变式73】（2022秋·湖南张家界·高一民族中学校考）已知集合，或．（1）若全集，求、；（2）若全集，求；【答案】（1）或；或；（2）【解析】（1）由题意可得，或且或，则或（2）根据题意，且，则可得则题型八根据交并补运算求参数【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由集合，，可得，因为，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：C.【变式81】（2022秋·浙江金华·高一校考）记不等式的解集为A，集合或．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1），，即，当时，，又集合或；（2）由已知，，，.【变式82】（2023秋·江西新余·高一新余第一中学校考开学考试）已知集合或，．（1）若，求的取值范围；（2）若，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知：；，；①当，即时，满足，此时；②当时，若，则，解得：；综上所述：的取值范围为.（2），，，即，解得：，，；①当，即时，，，解得：；②当，即时，，，解得：；③当，即时，，不合题意；综上所述：的取值范围为.【变式83】（2023春·四川眉山·高一校考开学考试）已知集合，.（1）若，，求实数的取值范围；（2）若，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵集合，，∴，若，则，若，故解得，综上：，即实数m的取值范围是.（2），由题意得，∴，∴实数m的取值范围是．题型九韦恩图在集合运算中的应用【例9】（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）设全集，则图中阴影部分对应的集合是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】图中阴影部分表示，，则或，因为，所以，故选：D．【变式91】（2022秋·四川攀枝花·高一攀枝花第三高级中学月考）（多选）如图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】A选项：，则，故A正确；B选项：，则，故B错误；C选项：，则，故C错误；D选项：，，故D正确.故选：AD.【变式92】（2023秋·河南南阳·高一校考）如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】阴影部分由两部分构成，左边部分在内且在外，转换为集合语言为，右边部分在内且在外，转换为集合语言为，故阴影部分表示的集合为，C正确；其他选项，经过验证均不合要求.故选：C【变式93】（2022秋·湖北·高一华中师大一附中校考期末）如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，即.故选：C.题型十集合运算中的元素个数问题【例10】（2023秋·重庆南岸·高一第十一中学校校考期末）某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为_______．【答案】4【解析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：由图可知：，解得，所以同时参加数学和化学小组有人.故答案为：4【变式101】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）我们