误差的基本性质与处理

第1章绪论1-1研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。答：研究误差的意义（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。（3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下，得到理想的结果。误差理论的主要内容：（1）讨论形成误差的原因；（2）各类误差的特征及处理方法；（3）对测量结果进行评定。1-2试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答1：测量误差的定义：误差=测得值一真值。测量误差的分类：随机误差、系统误差和粗大误差。各类误差的特点：（1） 随机误差：服从统计规律，具有对称性、单峰性、有界性和抵偿性；（2） 系统误差：不服从统计规律，表现为固定大小和符号，或者按一定规律变化；（3） 粗大误差：误差值较大，明显地歪曲测量结果。答2：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。1-3试述误差的绝对值与绝对误差有何异同，并举例说明。答1：相同点：都是测量值与真值之差。不同点：误差的绝对值都是正值，而绝对误差有正、有负，反映了测得值与真值的差异。例：某长度的绝对误差为一0.05mm,而该误差的绝对值为一0.05lmm=0.05mm。

(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定。1-4什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的测定值经修正后，能否获得被测量的真值？1-4答：1)测量误差：测得值与被测量真值之差。2)修正值：为消除固定系统误差用代数法加到测量结果上的值，是误差的相反数。3)经修正后仍然不能得到被测量的真值，理由是修正值本身也含有误差。1-51)测量误差：测得值与被测量真值之差。2)修正值：为消除固定系统误差用代数法加到测量结果上的值，是误差的相反数。3)经修正后仍然不能得到被测量的真值，理由是修正值本身也含有误差。1-5测得某三角块的三个角度之和为180°00＇02＇＇，试求测量的绝对误差和相对误差。解：真值为180°绝对误差：18°。°°'°2〃—18°。=2相对误差：丽=而圖莎=°-°相对误差：丽=而圖莎=°-°0031%1-6O1-6在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm,已知其最大绝对误差为1pm,试问该被测件的真实长度为多少？解：因为L=5°mm,<5=°.°°1mm所以L=L+6=(5°.°°°+°.°°l)mm°1-7用二等标准活塞压力计测量某压力的100・2Pa,该压力用更准确的办法测得为100・5Pa,问二等标准活塞压力计测量值的误差是多少？解：以1°°.5Pa未约定真值,则二等标准活塞压力计测量值的绝对误差和相对误差为绝对误差：1°°.2Pa－1°°.5Pa=－°.3Pa相对误差：°.3-°.3%1°°.51-8在测量某一长度时，读数为2.31m，其最大绝对误差为20pm，试求其最大相对误差。解：最大相对误差为2°卩m2°卩m2.31m2°x1°-6m2.31m=°.°°°87%1-9使用凯特摆时，g由公式g=4“2(h+h)T2给定。今测出长度他+h2)为(1・04230±0.00005)1212m，振动时间T为(2.0480±0・0005)。试求g及其最大相对误差。如果(h汁h)测出为(1・04220±0.00005)12m,为了使g的误差能小于0・001m/s2,T的测量必须精确到多少？

4兀21解：设="+◎，则g二〒2.04802g=俎=4x3・141592xL。4230=9.8104m/s22.04802T2 ⑵根据相对误差的概念：心106+f），T=T06+fT）其中：f、fT分别为1和T的相对误差，如此有:4兀21 16+f）g= =4兀2—0 rT2 T2（1+f）0Tx2.2005x2.2005=0.051%2.0480fg=少2fT=船+2(3)要求&g<0.001m/s2，且(h]+h2)=(1.04220±0.00005)m根据f根据fg二f1+2fT以及fg弋可得=竺= =0.000048g 9.104220因此fT又fT==1f-f)=0.因此fT又fT=2g 1AT—，故AT=TfT=0.00005s。所以，T的测量必须精确到0.00005s。1-10检定2・5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？解：因为最大误差为2V,故该表的引用误差为—=2%<2.5%100所以该电压表示合格的。1-11为什么在使用微安表等各种电表时，总是希望指针在全量程的2/3范围内使用？答：对于一个确定的电表，其等级是一定的，此时最大绝对误差：AX=±xxs%mmAx x~最大相对误差：r=m=±fxs%xxx由此可见，随着x（测量读数）增大，相对误差减小，超过2/3之后，最大相对误差在可接受范围内。

所以总是希望指针在全量程的2/3范围内使用。1-12用两种方法分别测量L]=50inm,L2=80mm。测得值各为50.004mm、80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。解：由于使用两种不同的方法，测量的是两个不同的长度，故只能用相对误差进行比较。L: 50.004500.004mm —00048105“ 1 ，L501L: 80.006500.006mm —00067.51052・ 2 'L802即：所以对即：所以对l2的测量精度较高。1-13多级弹道火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km;在射击场中，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心。试评述哪一个射击精度高？解：多级弹道火箭：0.1100000.001%射手：0.01解：多级弹道火箭：0.1100000.001%射手：0.01"50"0.02%比较结果表明，多级弹道火箭的射击精度较高。1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为±11“1和±“m;而用第三种测量方法测量另一种零件的长度L2=150mm，其测量误差为是比较三种测量方法精度的高低。解：第一、二种方法测量的是同一个零件的长度，因此，可以直接用其绝对误差进行比较。根据题意第二种测量方法精度高于第一种。第三中采用了其它方法，测量的是另一零件的长度，因此，用相对误差进行比较9m 12m因为 0.000082 0.00008。所以，第三种方法的测量精度最高，第二种次之,110mm 150mm第一种最低。1-15某量值y由被测量x表示为y4x2x，若x的相对误差为1%时，求y的相对误差是多少。解：设X的相对误差为fx，则x=x0(1+fX)y4x1f0xx1f0x24x1f1f0xxx0=4x-JG+2f)0x xI xo丿所以，y的相对误差为张=2%。1-16如何根据测量误差的特点来减小或消除测量误差？答：(1)随机误差：由于具有抵偿性，可通过多次测量的算术平均值减小或消除测量误差。(2)系统误差：A.找出系统误差产生的原因，从根源上消除；B。找出系统误差的变化规律，在最后结果中加以修正。(3)粗大误差：直接从测量数据中剔除掉。1-17什么是有效数字及数字舍入有哪些规则？答：(1)有效数字：含有误差的任何近似数，若其绝对误差界是最末位数的半个单位，则从这个近似数左方起的第一个非零数字称为第一位有效数字。且从第一位有效数字起到最末一位数止的所有数字，无论是零还是非零的数字，都叫有效数字。(2)数字舍入规则：若舍去部分的数值大于保留部分的末尾的半个单位，则末尾加1。若舍去部分的数值小于保留部分的末尾的半个单位，则末尾不变。若舍去部分的数值等于保留部分的末尾的半个单位，则末尾凑成偶数，即末尾为偶数时不变，末位为奇数时加1。1-18根据数据运算规则，分别计算下是结果：3151・0+65・8+7・326+0.416+152.28=?28.13X0.037X1.473=?解：以65.8为基准，其余各数多取一位，则有原式=3151.0+65.8+7.33+0.42+152.28=3376.83~3376.8以28.13为基准，其余各数多取一位，则有原式=28.13X0.037X1.473=1.041X1.473=1.5334^1.531-19在测量实践中有效数字的作用以及它与测量精度的关系如何?试举例说明之。第2章误差的基本性质与处理2.1试述标准差b、平均误差9和或然误差P的几何意义？答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从N维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解为N条线段的平均长度；2.2试述单次测量的标准差b和算术平均值的标准差b一，两者的物理意义及实际用途有何不同？x2.3试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在［-v'2b,^.-'2b］中的概率？2.4测量某物体重量共8次，测得数据(单位为g)为236.45,236.37,236.51,236.34,236.39,236.48,236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。【解】】①选参考值x二236.00，计算差值Ax二x-x二x-236.00、Ax和残差v等列于表中。0ii0i0i序号xiAxivi1236.450.450.020.00042236.370.37-0.060.00363236.510.510.080.00644236.340.34-0.090.00815236.390.39-0.040.00166236.480.480.050.00257236.470.470.040.00168236.400.40-0.030.0009求和1891.413.41-0.030.0251测量次数平均值平均值8236.430.43参考值236.00x=x+Ax=263.00+0.43=263.4300Ax二1工Ax二0.4308ii=1或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得：x=工1/n=236.43(g)ii=1送V2②计算标准差：用贝塞尔公式计算:b=亠=z=0.0599(g)1n-1 8-12.5用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-4的标准差,并比较之【解】(1)用别捷尔斯法计算c二1.253c二1.253了时xn(n-1)二1.253X041=0.0687(g)8x72)用极差法计算8个测量数据的极差为：°8个测量数据的极差为：°n=xmaxn max-x =xmin3-x=236.51-236.34=0.174查教材P20表2-4,n=8时d二2.85nc二°c二°=0.172.85=0.0596(g)3)最大误差法计算8个测量数据的最大残差为：|v8个测量数据的最大残差为：|vimax|=0.09查教材P20表2-5,n=8时，1/k'=0.61nv.l/v.l/maxk'n=0.09x0.61=0.0549168.54，168.59，168.40，168.50，2.6测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41,试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。168.54，168.59，168.40，168.50，【解】①选参考值x0=168.5,计算差值2—x—168.5、Ax和残差v等列于表中。0 ii 0 i序号xAxivV.2iV」i1168.41-0.09-0.0780.0060840.0782168.540.040.0520.0027040.0523168.590.090.1020.0104040.1024168.40-0.10-0.0880.0077440.0885168.500.000.0120.0001440.012求和842.44-0.060.0000.027080.332算术平均值168.488-0.012或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得：x=士工x=16&488(mA)5i|艺2②计算标准差：用贝塞尔公式计算：c—i—A—0.02708—0.0823(mA)TOC\o"1-5"\h\z1n-1 V4为vl[若用别捷尔斯法计算：c—1.253^!—1.253®—0.0930]■n(n-1) ■5x4[用极差法计算：n=5时dn=2.33，c—叫—168.59-168.40—0.0815(mA)]d 2.33n下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据：或然误差：pQ乞◎二2x0.0823=0.0549(mA)；33平均误差：°Q垮c=-4x0.0823=0.06584(mA)55算术平均值的标准差c-:b-=w=00823=0.037x x>'n 、'5算术平均值或然误差R：Rq仝c=壬x0.037=0.0247(mA)3x3算术平均值平均误差T：Tq4c=4x0.037=0.0296(mA)5x52.7在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为nm)为20.0015,20.0016,20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。【解】】序号xiviV2i|v|i120.00150.00000.000000000.0000220.00160.00010.000000010.0001320.00180.00030.000000090.0003420.00150.00000.000000000.0000520.0011-0.00040.000000160.0004求和100.00750.00000.000000260.0008平均20.0015求算术平均值X:X=才x/n=10严=20・0015(mm)i=1求残余误差：各次测量的残余误差依次为0,0.0001，0.0003，0,-0.0004。求测量列单次测量的标准差用贝塞尔公式计算•：C=\J=\乓唇=°.°°°255讪)工|v|用别捷尔斯公式计算：c'=^253—^=L253皿=O.。00244(mm)nn(n-1) ^'5x4求算术平均值的标准差C= =0.000255=0.000144C'一= =0.000244=0.0001x-n ■■-5 ； n ■-5求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=20(t)=99%，则①(t)=0.495,查附录表1正态分布积分表，得置信系数t=2.6。故：单次测量的极限误差：5x=土tc=2.6x0.000255=0.00066lim算术平均值的极限误差：5x=+t6二2.6X0.000144二0.0003lim x⑥求得测量结果为：x二X±5X二X士t◎-二20.0015士0.0003(mm)lim x2.8对某工件进行5次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差O=0.005mm，若要求测量结果的置信概率为95%，试求其置信限。【解】因测量次数n=5，次数比较少，按t分布求置信限（极限误差）。已知：P=95%,故显著度a=l—P=0.05；而自由度v=n—l=5—l=4。根据显著度a=0.05和自由度v查附录表3的t分度表，得置信系数ta=2.78。所以算术平均值的置信限为：5limX=±taG厂士2.78X0005二±0.00622（mm）2.9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差O=0.004mm，若要求测量结果的置信限为土0.005mm，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。【解】①若测量误差符合正态分布规律已知置信概率：P=99%,查正态分布表有：t=2.6，则置信限为：给定值）5兀=±心=±t孕=±2.6X =±0.005则置信限为：给定值）lim x ■-n '■n求得：n=4.32，取n=5.②若测量误差符合t分布已知置信概率：P=99%，则显著度a=0.01，由置信限：5limX=±taQ广±：壬＜±0.005有关系：tW1.25杨=1.25vVT1lim ax u宅n a当显著度a=0.01时，v=7，查t分度表，有ta=3.50,满足上述等式。即求得：n=v+1=8为必要的测量次数。2.10用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差O=0.001mm,若要求测量的允许极限误差为土0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次。【解】本题与2-9相似。①若测量误差符合正态分布规律已知置信概率：P=0.95，查正态分布表有：t=1.96，则极限误差为：5肿=±2-=±t^=±1.9X0001=±0・0015（给定值）lim x 7n 5求得：n=1.7，取n=2.②若测量误差符合t分布已知置信概率：P=0.95，则显著度a=0.05,

由极限误差3limx=±yx=±：亠<±0.0015有关系：t<1.5Jn=1.5屮'v+1lim ax ayn a当显著度a=0.05时，v=3，查t分度表，t=3.18>1.5、；v+1=3（不合要求）av=4，查t分度表，t=2.78<1.5.v+1=3.354（满足要求）a即求得：n=v+1=4+1=5为必要的测量次数。【解】2-11已知某仪器测量的标准差为0.5卩m。①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为，【解】序号xiAxivv.2I126.20250.00050.00000.00000000226.20280.00080.00030.00000009326.20280.00080.00030.00000009426.20250.00050.00000.00000000526.20260.00060.00010.00000001626.20220.0002-0.00030.00000009726.20230.0003-0.00020.00000004826.20250.00050.00000.00000000926.20260.00060.00010.000000011026.20220.0002-0.00030.00000009求和262.0250.0050.00000.00000042算术平均值26.20250.0005参考值26.202测量次数10试写出测量结果。②若重复测量10次，测得值（单位为mm）为26.2025,26.2028,26.2028,26.2025,26.2026,26.2022,26.2023,26.2025,26.2026,26.2022,试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。①若按正态分布，§iimx=±2，x=X±5肿，取t=3x=x±§x=(26.2025±0.0015)mmlim②若按正态分布，§x=±矩，x=x±8x；lim lim单次测量的标准差&-0,0005mm算术平均值的标准差&-=亠=0.000158mm兀 \n

算术平均值的极限误差8x=±ZH-=0.000474mmlim x因此，取t=3,测量结果:x=x±8x=(26.2025±0.0005)mm。因此，取t=3,测量结果:lim单次测量的标准差&—③根据贝塞尔公式G=单次测量的标准差&—③根据贝塞尔公式G=昱V2丐h，可以求得=°.°°°216°25咖=°.°°°216咖算术平均值的标准差&x=蔦=0.000683mm单次测量的极限误差8x=±t&lim算术平均值的极限误差8x=±t&-lim x因此，取t=3，对①，测量结果：x=x±8x=(26.2025±0.0006)mmlim对②，测量结果：x=x±8x=(26.2025±0.0002)mm。lim2.12某时某地由气压表得到的读数(单位为Pa)为102523.85,102391.30,102257.97,102124.65,101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。【解】序号xipipxiiviV2iPV2ii|v|i1102523.851102523.85495.51245530.16245530.1601495.512102391.33307173.90362.96131739.962395219.8848362.963102257.975511289.85229.6352729.9369263649.6845229.634102124.657714872.5596.319275.616164929.312796.315101991.338815930.64-37.011369.740110957.920837.016101858.016611148.06-170.3329012.3089174073.8534170.337101724.694406898.76-303.6592203.3225368813.29303.658101591.362203182.72-436.98190951.52381903.0408436.98求和816463.16363673020.33平均102057.895102028.34加权102028.34236.441905077.147由计算加权算术平均值及其标准差的公式直接计算。加权算术平均值为：p.x.x=p二=M02523.85+3辺02391.30+5辺0257.97+7辺02124.65+8辺01991.33+6辺01858.01+4辺01724.69+2辺01591.36Y 1+3+5+7+8+6+4+2pii=1=3673020.33=102028.3425沁102028.34(p)36 a加权算术平均值的标准差的计算，先求各测量结果的残余误差(见上表中)：算术平均值的标准差为：£pv2=1x495.512+3x362.962+5x229.632+7x96.312+8x(-37.01)2iii=1+6x(-170.33)2+4x(-303.65)2+2x(-436.98)2=1905077.1471区pv2・O_=|—日'' =■'1905077.147=86.95(p)…X £ V(8-1)x36 a(m-1)p.2-13测量某角度共两次，测得值为J=24。13'36〃,a=24。13'24'',其标准差分别为12=3.1；o=13.8〃，试求加权算术平均值及其标准差。2【解】：p:p= : =19044:9611 2o2o212X=24。13'20''+19044x16''+961x4”=2401335''19044+961o_=o_xSf19044p—=3.1''x q3.0''19044+961P.、i=12-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角a各重复测量5次，测得值如下:a:7。2'20〃,7。3'0〃,7。2'35〃,7。2'20〃,7。2'15〃;甲a:70225,70225,70220,70250,70245;乙试求其测量结果。解】甲：兀甲=72'+20"+60"+35"+20"+15"5=72'30"空空v.2I i(—10〃)2+(30〃)2+5〃2+(—10〃)2+(—15〃)24=18.4"o_X甲o18.4"鳶=r8.23"乙：兀乙=72'+25"+25"+20"+50"+45"=72'33"Op:p= 甲乙c_2x甲—=3648:67738.2326.042px甲+px乙 3648X30"+6773x33"3648+6773x=^甲^ 乙^= +72'=72'32"3648+6773p中+p中

甲 p中

甲 x甲 p+p甲乙=8.23〃X3648+6773=4.87”X=x土3c_=72'32''±15''x2.15试证明n个相等精度测得值的平均值的权乘以任一个测量值的权。2.16重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m/s2、标准差为0.014m/s2。另外30次测量具有平均值9.802m/s2、标准差为0.022m/s2。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准差。【解】已知20次测量的标准差q=0.014(m/s2),30次测量的标准差G2=0.022(m/s2)，由此可确定其权的大小。p:p=丄：丄=—i:―i=121:491 2 ci2丐 °・°142O.0222然后再按不精度测量有关公式直接计算。50次测量的加权算术平均值：为piv2x=,=|1'=121x9.811+49x9.802=9.8084歹 121+49 (m/s2)乙pii=150次测量的加权算术平均值的标准差：c_x或：c-x=0.014c_x或：c-x=0.014x=0.022x=0.012=0.0122.17对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。【解】先计算算术平均值：x=14.96。各测量数据的残余误差分别为:序号xiviV2i|v|i114.7-0.260.06760.26215.00.040.00160.04315.20.240.05760.24414.8-0.160.02560.16515.50.540.29160.54614.6-0.360.12960.36714.9-0.060.00360.06814.8-0.160.02560.16915.10.140.01960.141015.00.040.00160.04求和149.60.00.6242平均14.96从表中可以看出：v=—0.26v=0.04v=0.24v=—0.16v=0.5412345v=—0.36v=—0.06v=—0.16v=0.14v=0.04678910①根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，因此可判断该测量列无变化的系统误差存在。②采用不同公式计算标准差比较法。按贝塞尔公式：b1乙按贝塞尔公式：b1乙2i~T^1n—1=0.263用别捷尔斯法计算：b二用别捷尔斯法计算：b二1.253x-B二1.253x=二0.2642 '■■■n(n—1) 10x9令色=0,264=1.004=1+U令：巧0.263因为：吕=0667因为：吕=066710—1u=0.004，故无根据怀疑测量列存在系统误差。③按残余误差校核法：前5个残余误差和与后5个残余误差的差值△为A二工v—艺v二0.4—(0.4)二0.8iji=1 j=6两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有系统误差。(为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差 这就提醒我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。)

2.18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）：50.82,50.83,50.87,50.89,50.78,50.78,50.75,50.85,50.82，50.81。试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。序号xiviV2i|v|i150.820.000.00000.00250.830.010.00010.01350.870.050.00250.05450.890.070.00490.07550.78-0.040.00160.04650.78-0.040.00160.04750.75-0.070.00490.07850.850.030.00090.03950.820.000.00000.001050.81-0.010.00010.01求和508.200.000.01660.32平均50.82解法一】用t用t检验法进彳丁检验前4次测量的算术平均值后6次测量的算术平均值x=i工x=50.85254y=+工y=50.79836b2=i工(x—x)2=0.00082 b2=i工(y—y)2=0.00105x4i y6i 4%(4+62)———=2.44(4+6)(4X0.00082+6x0.00105)t=(x—y) "心n+ 4%(4+62)———=2.44(4+6)(4X0.00082+6x0.00105)("1+n2)(niXb2+n2Xb2)由v=4+6-2=8及取a=0.05，查t分布表，得ta=2.31。因|t|=2.44>：=2.31，可判断两组数据可能存在系统误差解法二】用秩和检验法进彳检验。将两组数据按从小到大混合排列成下表T12345678910xi50.8250.8350.8750.89yi50.7550.7850.7850.8150.8250.85已知：n=4,n=6；计算秩和T：Tx=5.5+7+9+10=31.5,Ty=l+2+3+4+5.5+8=23.5（取测量次数较少一组12的秩）

查表：T=14,T=30；-+因：T=31.5>T=30,可判断两组数据可能存在系统误差。+b=b=^n=50.8950.82=0.034；1d2.06n第一组数据：X=+工x=50.8525；4b=X'5〜n-1J3.7257x103=0.033第二组数据：y=十工y=50.7983；b=\目=62.8334x104=0.0356y 1n-16-1［注：若以极差法计算标准差,计算结果也相近：b=叫=50.8550.75=0.04]2d' 2.53n两组数据算术平均值之差为：A=X-y=50.8525-50.7983=0.0542其标准差为：b=Jb2+b2=$0.0332+0.0352=0.0481因：A=0.0542<2沖+b2=0.0962，故两组数据间无系统误差。（以上计算,本人经过多次推导,应该无误！解法三得出了与前两种方法互为矛盾的结论,原因何在？请同学们仔细分析。）（本人分析原因如下：①所给两组数据包含的误差并不是服从正态分布，因此不能用t检验法检验；②解法三在计算标准差时，因测量次数少，用贝塞尔公式计算标准差误差大；极差法计算标准差也是要求测量误差服从正态分布；③解法二适合非正态分布的误差，得出的结论正确；④以上几种系统误差的判别法具有一定的适应范围，有局限性。）2.19等精度测得某一电压10次，测得结果（单位为V）为25.94,25.97,25.98,26.01,26.04,26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位为V）为25.93,25.94,25.98,26.02,26.01,25.90,25.93,26.04,25.94,26.02。试用t检验法（取a=0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差。【解】计算两组测量结果的算术平均值：1组 2组序号xiviV2i|v|i一序号xiViV2i|v|i125.94-0.060.00360.06125.93-0.040.00160.04225.97-0.030.00090.03225.94-0.030.00090.03325.98-0.020.00040.02325.980.010.00010.01

426.010.010.00010.01426.020.050.00250.05526.040.040.00160.04526.010.040.00160.04626.020.020.00040.02625.90-0.070.00490.07726.040.040.00160.04725.93-0.040.00160.04825.98-0.020.00040.02826.040.070.00490.07925.96-0.040.00160.04925.94-0.030.00090.031026.070.070.00490.071026.020.050.00250.05求和260.010.000.01550.35259.710.000.02150.43平均26.00125.97x二26.001y=25.971b2二十工(x-x)2=0.00155b2二十工(y-y)2=0.00215xni y ny ixynn(n亠n—2)xyxy(n+n)(nn(n亠n—2)xyxy(n+n)(nb2+nb2)xyxxyy由v=10+10-2=18及取a=0.05，查t分布表，得t=2.1。a(10+10)(10x0.00155+10x0.00215)因|t|=1.48<t=2.1，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。a2.20对某量进行了12次测量，测得数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。【解】先计算算术平均值：x=20.125。各测量数据的残余误差分别为：序号xiviV2i|v|i120.06-0.0650.0042250.065220.07-0.0550.0030250.055320.06-0.0650.0042250.065420.08-0.0450.0020250.045520.10-0.0250.0006250.025620.12-0.0050.0000250.005720.11-0.0150.0002250.015820.140.0150.0002250.015920.180.0550.0030250.0551020.180.0550.0030250.0551120.210.0850.0072250.0851220.190.0650.0042250.065求和241.500.0000.0321000.55平均值20.125根据残余误差观察法：计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符号相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。按残余误差校核法：前6个残余误差和与后6个残余误差的差值△为

A二》v-国v=-0.26-0.26=-0.52iji=1 j=7两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有线性系统误差采用不同公式计算标准差比较法。按贝塞尔公式：按贝塞尔公式：b=1用别捷尔斯法计算：b2=1.253启=1.253%肯=0.06令:七=-0^=1.11=1+0.11=1+ub1 0.054因为：=*=0.603> =0.11，故无根据怀疑测量列存在系统误差。、'n-1' 叫1（又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？）2.21对某量进行两组测量，测得数据如下：xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解】将两组数据按从小到大混合排列成下表：T123456789101112131415xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.30yi0.991.121.211.25T161718192021222324252627282930xi1.341.391.411.57yi1.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95已知n=n=15，因x•组数据的秩和较小，故以其数据的次序计算秩和:12iTx=l+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174（取秩较小的一组的秩）Ty=3+4+10.5+13+16+17+19+21.5+23+24+26+27+28+29+30=291因n=n=15>10,秩和T近似服从正态分布。12N（a,b）=N（竹（n+n+1）,时2（ni+n+1））2*12其中数学期望a和标准差。分别为:a—a—竹(n+勺+1)—15(15+15+1)—232.5,b—22n$2(n+\+1)= 15x15(15+15+1)=24.111212则置信系数t为:t—T=^—174—232.5——2.43则置信系数t为:b24.11选取置信概率99%(p—1—a,a—1—p，显著度0.01),即取①(t)=0.495,由附录表1查得：ta=2.60因|t|—2.43<ta—2.60，故无根据怀疑两组数据间有系统误差。2.22对某量进行15次测量,测得数据为28.53,28.52,28.50,29.52,28.53,28.53,28.50,28.49,28.49,28.51,28.53,28.52,28.49,28.40,28.50,若这些测得值已消除系统误差,试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。【解】将有关计算数据：平均值、残差Vj等列于表中:序号xvV2Ivl剔去4V'V'2128.53-0.040.00160.0428.530.030.0009228.52-0.050.00250.0528.520.020.0004328.50-0.070.00490.0728.500.000.00429.520.950.90250.950.000.000.00528.53-0.040.00160.0428.530.030.0009628.53-0.040.00160.0428.530.030.0009728.50-0.070.00490.0728.500.000.00828.49-0.080.00640.0828.49-0.010.0001928.49-0.080.00640.0828.49-0.010.00011028.51-0.060.00360.0628.510.010.00011128.53-0.040.00160.0428.530.030.00091228.52-0.050.00250.0528.520.020.00041328.49-0.080.00640.0828.49-0.010.00011428.40-0.170.02890.1728.40-0.100.011528.50-0.070.00490.0728.500.000.00求和428.560.000.98031.90399.040.000.0148平均值28.5728.50直接求得15个数据的算术平均值和标准差fv2x—28.57；b—亠——0.26515i n—1 15—1i—1用莱以特准则判别粗大误差因|v4|—0.95>3b—0.795，故第4个测量数据含测量粗大误差，应当剔除。再对剩余的14个测得值重新计算,得：

14 ［牙v'2 x'=丄才x'=28.50b'=、日’=/0.0148=0.033714 i ； n-1 '14-1i=1由表知第14个测得值的残余误差：|v'14|=0.17>3b=0.1011，故也含粗大误差，应剔除。再重复验算，剩下的13个测得值已不包含粗大误差。用格罗布斯准则判别已经计算出15个测量数据的统计特征量：x=28.57，b=0.265。将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：x=28.40, X—x=28.57—28.40=0.17(1)(1)x=29.52,x—x=29.52—28.57=0.95(15) (15)首先判别x首先判别x()是否含有粗大误差:(15)g=x(15)—x=0.95=3.585(15)b 0.265查表2-13得：g(15,0.05)=2.410则：g=3.585>g(15,0.05)=2.41则：(15) 0故第4个测得数据包含粗大误差，应当剔除。再对剩下的14个测得值计算，判断x(i)是否含有粗大误差。已知：x'=2