《结构力学》教案 第六章 力法

PAGE第六章力法（6学时）主要内容6-1超静定结构的概念6-2力法的基本原理6-3超静定次数的确定与基本结构6-4力法典型方程6-5力法的计算步骤和举例6-6超静定结构的位移计算6-7超静定结构最后内力图的校核6-8对称性的利用6-9温度改变时超静定结构的计算6-10支座位移时超静定结构的计算6-11超静定结构的特性知识点6-1超静定结构的概念超静定结构的基本概念。6-2力法的基本原理力法的基本结构、力法的基本未知量、力法的方程、力法的基本原理。6-3超静定次数的确定与基本结构超静定结构的类型、超静定结构的基本解法、力法的基本结构、超静定次数。6-4力法典型方程二次超静定结构的力法方程、N次超静定结构的力法方程。6-5力法的计算步骤和举例力法的计算步骤；力法解常见超静定结构。6-6超静定结构的位移计算超静定结构位移计算的基本原理、基本步骤。6-7超静定结构最后内力图的校核平衡条件的校核、变形条件的校核。6-8对称性的利用对称结构、对称荷载、反对称荷载；对称性的特点。6-9温度改变时超静定结构的计算温度改变时结构受力特点；温度改变时位移协调条件；考虑温度作用的力法典型方程。6-10支座位移时超静定结构的计算支座位移时结构受力特点；支座位移时位移协调条件；考虑支座位移的力法典型方程。6-11超静定结构的特性超静定结构的特性。重点难点6-2力法的基本原理重点：掌握力法的基本解题过程，能够利用力法求解简单的超静定结构。难点：理解力法的基本概念。6-3超静定次数的确定与基本结构重点：掌握力法基本结构的选取。6-4力法典型方程重点：掌握力法典型方程的物理意义。6-5力法的计算步骤和举例重点：掌握力法解超静定结构，理解不同结构建立力法方程的物理意义。难点：复杂结构的计算。6-6超静定结构的位移计算重点：掌握超静定结构的位移计算。难点：基本结构的合理选择。6-8对称性的利用重点：利用对称性求解对称结构。难点：半结构的选取。6-9温度改变时超静定结构的计算重点：能够计算温度改变时超静定结构的内力。难点：温度改变时位移协调条件的物理意义。6-10支座位移时超静定结构的计算重点：能够计算支座位移时超静定结构的内力。难点：支座位移时位移协调条件的物理意义。第六章力法PAGE66.1超静定结构的概念知识点超静定结构的基本概念。知识点：超静定结构的概念静定结构：无多余约束的几何不变体系；结构的反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定。超静定结构：有多余约束的几何不变体系；结构的反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一的加以确定。

6.2力法的基本原理知识点力法的基本结构、力法的基本未知量、力法的方程、力法的基本原理。重点难点重点：掌握力法的基本解题过程，能够利用力法求解简单的超静定结构。难点：理解力法的基本概念。知识点：力法的基本思路力法的基本思路：把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。（1）确定力法的基本未知量力法的基本体系：含有多余未知力的静定结构力法的基本结构：超静定结构中去掉后多余约束得到的静定结构力法的基本未知量：多余未知力图6.1a图6.1b图6.1b为力法的基本体系，X1为力法的基本未知量。（2）力法的基本方程基本体系上与多余未知力相应的位移与原超静定结构上多余约束处的位移条件一致。图6.1b中：叠加原理：，统一写成其中：Δ1是基本体系上多余未知力X1方向的位移；Δ1P是基本结构在实际荷载作用下沿多余未知力X1方向的位移（图6.1c）；Δ11是基本结构在多余未知力X1单独作用下沿多余未知力X1方向的位移（图6.1d）。位移与多余未知力方向一致时为正。图6.1c图6.1dΔ11=δ11X1δ11表示单位未知力X1=1的作用，使基本结构在多余未知力X1方向产生的位移。力法典型方程：δ11X1+Δ1P=0（3）求解过程图6.1结构杆EI为常数。（a）做基本结构在荷载作用下的荷载弯矩MP（图6.1e）和单位未知力X1=1的作用下的单位弯矩图M1（图6.1e）；图6.1e（b）图乘法计算位移 （c）代入力法方程（d）应用叠加公式得到结构的弯矩图M（图6.1f）。图6.1f

力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：（1）确定基本体系—确定基本未知量确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并用相应的约束反力来代替。（2）根据位移协调条件—写出力法基本方程利用基本体系与原结构在相应约束处的变形条件，建力力法典型方程。（3）作基本结构的荷载弯矩图，单位弯矩图（4）求出系数和自由项——单位荷载法（5）解力法方程——求解基本未知量（6）叠加法作内力图按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的内力，然后画出内力图。

6.3超静定次数的确定与基本结构知识点超静定结构的类型；超静定结构的基本解法；力法的基本结构、超静定次数。重点掌握力法基本结构的选取。知识点：超静定结构的类型（1）超静定梁（2）超静定桁架（3）超静定拱（4）超静定刚架（5）超静定组合结构知识点：超静定结构的基本解法综合考虑二个方面的条件：平衡条件和几何条件。具体求解时，有两种基本(经典)方法：力法和位移法。知识点：力法的基本结构、超静定次数超静定次数：超静定结构中多余约束的个数；也可以认为多余未知力的数目。将超静定结构中多余约束去掉，可变为相应的静定结构，则去掉多余约束的个数n即为原结构的超静定次数。结构去掉多余约束的方式有以下几种：（1）去掉一根支座链杆、切断一根链杆、将刚性连接改为单铰，等于去掉一个约束（图6.2）。（2）去掉一个固定铰支座或撤去一个单铰，等于去掉两个约束（图6.3）。（3）去掉一个固定端或切断一个梁式杆，等于去掉三个约束（图6.4）。图6.2图6.3图6.4例1：超静定次数的确定（图6.5）。图6.5例2：超静定次数的确定（图6.6）。图6.6解：对于具有较多框格的结构，可按框格的数目确定，因为一个封闭框格，其超静定次数等于3。当结构框格数目为f，则n=3f。本图21次。第六章力法PAGE326.4力法典型方程知识点二次超静定结构的力法方程；N次超静定结构的力法方程。重点掌握力法典型方程的物理意义。知识点：二次超静定结构的力法方程知识点：N次超静定结构的力法方程

位移互等定理：δij=δjiδij表示单位力Xj=1在基本结构沿Xi方向产生的位移，称柔度系数。ΔiP表示在基本结构实际荷载沿Xi方向产生的位移。注：以上方程的前提条件是支座位移为零。

6.5力法的计算步骤和举例知识点力法的计算步骤；力法解常见超静定结构。重点难点重点：掌握力法解超静定结构，理解不同结构建立力法方程的物理意义。难点：复杂结构的计算。知识点：力法的计算步骤（1）确定基本体系——找基本未知量（2）根据位移协调条件——写出力法基本方程（3）作基本结构的荷载弯矩图，单位弯矩图求出系数和自由项——单位荷载法（4）解力法方程——求解基本未知量（5）叠加法作弯矩图知识点：力法解常见超静定结构（1）超静定刚架例1：绘图6.7a超静定刚架的弯矩图。解：（1）基本体系（图6.7b）（2）力法方程基本体系应满足B点无水平位移的变形条件。力法方程为δ11X1+Δ1P=0（3）计算系数和自由项分别画出实际荷载及单位未知力X1=1的作用的弯矩图（图6.7c、d），利用图乘法计算系数。图6.7 （4）求多余的未知力（5）作弯矩图（图6.7e）（2）超静定桁架桁架是链杆体系，计算力法方程的系数和自由项时，只考虑轴力的影响。例2：计算图6.8a超静定桁架的各杆内力。解：（1）基本体系（图6.8b）（2）力法方程基本体系应满足原结构任一截面两侧没有相对位移的变形条件。力法方程为δ11X1+Δ1P=0图6.8（3）计算系数和自由项分别画出实际荷载及单位未知力X1=1的作用的各杆的轴力（图6.8c、d），利用图乘法计算系数。 （4）求多余的未知力（5）作轴力图（图6.8e）（3）超静定组合结构组合结构中既有链杆也有梁式杆，计算系数时，链杆只考虑轴力的影响，而梁式杆则只考虑弯矩的影响。例3：计算图6.9a超静定组合结构，EI＝9EA，且EI为常数。解：（1）选择基本体系切断多余链杆CD，在切口处用未知力X1代替（图6.9b）（2）建立力法方程δ11X1+Δ1P=0图6.9（3）计算系数和自由项分别画出荷载和单位未知力的内力图（图6.9c、d） （4）求多余的未知力（5）作内力图按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的内力，然后画出内力图(图6.9e）。图6.9e（4）排架结构例4：计算图6.10a排架结构，E为常数。解：（1）确定基本体系，图6.10b（2）写力法基本方程：图6.10a图6.10b（3）画弯矩图（图6.10c），求系数图6.10c（4）解力法方程求多余未知力（5）叠加原理作M图，图6.10d图6.10d6.6超静定结构的位移计算知识点超静定结构位移计算的基本原理、基本步骤。重点难点重点：掌握超静定结构的位移计算。难点：基本结构的合理选择。知识点：超静定结构位移计算的基本原理因为原结构在外因作用下产生的受力和位移，与基本体系在外因和多余未知力作用下产生的受力和位移相同，图6.11。因此求原结构的位移可转化为求基本体系的位移。虚拟的单位荷载可加在基本体系。图6.11图6.12虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上，单位弯矩图虽然不同，但求得的位移相同。所以，应选一个便于计算的基本体系虚拟单位荷载，图6.12。知识点：基本步骤求出原结构的弯矩图M；在基本体系加单位力，画出虚拟的单位弯矩图；基本体系的位移（亦即原结构的位移）为：实例：例1：求图6.13a结构AB跨中竖向位移：图6.13a图6.13b图6.13c图6.13d解：（1）原结构的弯矩图M，图6.13b（2）在基本体系加单位力，画出虚拟的单位弯矩图方法一：图6.13c方法一：图6.13d例2：已知图6.14a结构荷载下的弯矩图M，给出求K点竖向位移的基本体系。图6.14a解：以下给出3种不同的情况，见图6.14b~d：图6.14b图6.14c图6.14d

6.7超静定结构最后内力图的校核知识点：平衡条件的校核、变形条件的校核。知识点：平衡条件的校核从结构中任意取出的一部分，都应满足平衡条件。一般作法：取出一个杆件或一个结点检查是否满足平衡方程。知识点：变形条件的校核变形条件的一般校核方法是：任选一基本体系，任选一多余未知力Xi，由最后内力图计算出Xi方向的位移，并检查是否与原结构对应位移相等。在荷载作用下，超静定结构的最后弯矩图，与任意基本体系的任一多余未知力的单位弯矩图图乘结果如果等于零，则满足变形条件。荷载作用：梁和刚架：封闭框架：，若EI为常数，则：实例：例1：校核图6.15a结构的内力图。图6.15a解：（1）平衡条件校核图6.15b满足平衡条件。（2）变形条件校核图6.15c变形条件不满足，计算结果错误。6.8对称性的利用知识点对称结构、对称荷载、反对称荷载；对称性的利用。重点难点重点：利用对称性求解对称结构。难点：半结构的选取。知识点：对称结构、对称荷载、反对称荷载对称结构的特征：（1）结构的几何形状、支承情况关于某条直线对称（此条直线称为对称轴）；（2）杆件截面和材料性质关于对称轴对称。对称荷载：沿对称轴对折，两部分上的荷载重合（图6.16a）。反对称荷载：沿对称轴对折，两部分上的荷载作用点重合，方向相反（图6.16b）。图6.16对称结构的受力特点：在对称荷载作用下，只考虑对称未知力（M和N）；在反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力（Q）。知识点：对称性的利用符合对称结构特点的可以将结构进行简化计算。对称荷载时，去掉反对称的约束；反对称荷载时，去掉对称的约束（图6.17）。图6.17实例：例：求解图6.18a结构。图6.18a图6.18b解：（1）半结构，图6.18b。（2）基本体系、荷载下、单位荷载下弯矩图，图6.18c~图6.18e图6.18c图6.18d图6.18e图6.18f（3）求系数和自由项（4）解力法方程（5）结构弯矩图，图6.18f6.9温度改变时超静定结构的计算知识点温度改变时结构受力特点；温度改变时位移协调条件；考虑温度作用的力法典型方程。重点难点重点：能够计算温度改变时超静定结构的内力。难点：温度改变时位移协调条件的物理意义。知识点：温度改变时结构受力特点温度改变引起的自内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度EI的绝对值成正比；知识点：温度改变时位移协调条件、力法典型方程力法典型方程的形式、系数与荷载作用时相同，自由项不同；实例：例：已知图6.19a结构，求C支座的支座反力。图6.19a图6.19b图6.19c图6.19d解：（1）基本体系，图6.19b（2）力法方程（3）单位荷载下弯矩图和轴力图，图6.19c和图6.19d（4）求系数和自由项（5）解方程

6.10支座位移时超静定结构的计算知识点支座位移时结构受力特点；支座位移时位移协调条件；考虑支座位移的力法典型方程。重点难点重点：能够计算支座位移时超静定结构的内力。难点：支座位移时位移协调条件的物理意义。知识点：支座位移时结构受力特点对静定结构不产生内力对超静定结构产生内力、反力知识点：支座位移时位移协调条件、力法典型方程特征是：典型方程中的自由项不同，是由支座位移引起。图6.20力法的基本方程：图6.20a：图6.20b：图6.20c：图6.20c：

6.11超静定结构的特性知识点超静定结构的特性。知识点：超静定结构的特性。类型静定结构超静定结构组成无多余约束几何不变体系有多余约束几何不变体系反力和内力计算平衡条件能完全确定反力和内力平衡条件不能完全确定反力和内力荷载作用内力与刚度无关内力与刚度绝对值无关与刚度相对值有非荷载因素作用无内力内力与刚度绝对值成比例

小结超静定结构的特性：有多余约束的几何不变体系；结构的反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一的加以确定。力法是把去多余约束，把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。

力法计算超静定结构的步骤：（1）确定基本体系——找基本未知量确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并用相应的约束反力来代替。（2）根据位移协调条件——写出力法基本方程利用基本体系与原结构在相应约束处的变形条件，建力力法典型方程。（3）作基本结构的荷载弯矩图，单位弯矩图（4）求出系数和自由项——单位荷载法（5）解力法方程——求解基本未知量力法典型方程：其中：：支座移动产生的位移（6）叠加法作内力图超静定结构位移计算可转化为求基本体系的位移。超静定结构内力图的正确性可通过平衡条件校核和变形条件来校核。对称结构的受力特点：在对称荷载作用下，只考虑对称未知力（M和N）；在反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力（Q）。

练习一、选择题1.图1E结构的弯矩图轮廓是（）图12.图2结构（k为弹簧的刚度系数）（）A.MA＞MCB.MA=MCC.MA<MCD.MA=-MC图23.图3结构的超静定次数为（）图3A.2B.3C.4D.54.图4a、b的两个刚架的关系（）图4A.内力相同，变形不相同B.内力相同，变形相同C.内力不相同，变形不相同D.内力不相同，变形相同5.图5结构用力法求解时，基本体系不能选（）A.C为铰结点，A为不动铰支座