直线与圆的位置关系课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2章直线和圆的方程2.5.1直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)

3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点)

“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.

这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.位置关系图形

d与r的关系交点个数相离相交相切

d>rd<rd=r0个2个1个实例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求l被圆C所截得的弦长．【分析】思路一判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；解法一：由直线l与圆的方程，得：消去y，得所以，直线l与圆相交，有两个公共点．同时可求得直线l与圆的两个交点是：实例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求l被圆C所截得的弦长．【变通】遇交点坐标计算困难时，可考虑交点坐标“设而不求”；解：由直线l与圆的方程，得：消去y，得所以，直线l与圆相交，有两个公共点．并设为则由韦达定理得故整体代入可得判断直线与圆位置关系的方法：(1)代数法：消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程.列出判别式△，（如有需要还可列出根与系数的关系）

设直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0：若相交,可以解得两交点坐标或韦达定理利用两点间的距离公式求得弦长.联立：判定：列式：消元：思路二可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．实例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求l被圆C所截得的弦长．所以，直线l与圆相交，有两个公共点．

设直线l:Ax+By+C=0,圆C:(x－a)2+(y－b)2=r2.圆心C到直线l的距离为d，通过比较d与r的大小,判断直线与圆的位置关系.则有：判断直线与圆位置关系的方法：(2)几何法：xyOABdC若直线l与圆C相交,则弦长公式为r相交相切相离练一练即kx-y+1-2k=0由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得联立：消元：列式：

[跟踪训练](1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为________．(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(

)x＋2y－3＝0答案：C例3(1)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．解：将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝3.①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.解法1：因此所证命题成立代数方法解法3：mx-y+1-m=0过定点（1，1）而（1，1）在圆内，所以直线与圆相交.

因此所证命题成立<1<r恒成立，几

何

方

法(2)由垂径定理可知变式：求直线l被圆C截得的弦长最小时,直线l的方程.提示：从几何的角度思考，经过圆内一定点的弦中，当该定点为弦的中点时，弦长最小.答案：x=1直线与圆相交时弦长的两种求法：(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：

(1)几何法：如图示，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有：其中k为直线l的斜率.

(x－2)2＋(y＋1)2＝4

法二（代数法）设直线l:y-5=k(x-5),与圆C相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),

1．直线与圆的三种位置关系及判定：②相切⇔d=r⇔Δ=0；①相交⇔d<r⇔Δ>0；③相离⇔d>r⇔Δ<02．求圆的切线一般有三种方法：(1)设切线斜率．利用“d=r”求出斜率．(2)设切点(x0,y0)，利用“替换”写出切线的方程，再由其